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北师大版 数学 选择性必修第一册
课程标准 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.
2.能解决有限制条件的组合问题.
基础落实·必备知识一遍过
课程标准 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.
2.能解决有限制条件的组合问题.
知识点　组合的有关概念
　　　　 　　　　 这n个元素不相同
一般地,从n个不同元素中任取m(m≤n,且m,n∈N+)个元素为一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的所有组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的组合数,记作 .
可用排列数公式表示
名师点睛
自主诊断
1.将5本不同的书分给4名同学,每名同学至少1本,不同的分法有
　　　　种.
240　
2.[人教A版教材习题](1)空间中有8个点,其中任何4个点不共面,过每3个点作一个平面,可以作多少个平面
(2)空间中有10个点,其中任何4个点不共面,过每4个点为顶点作一个四面体,可以作多少个四面体
解 (1)因为“三个不共线的点确定一个平面”,且所确定的平面与点的顺序无关,所以共可确定的平面数是
(2)因为四面体由四个顶点唯一确定,且与四个点的顺序无关,所以共可确定的四面体个数是
3.[人教A版教材习题]在一次考试的选做题部分,要求在第1题的4个小题中选做3个小题,在第2题的3个小题中选做2个小题,在第3题的2个小题中选做1个小题,有多少种不同的选法
提示 因为只要选出要做的题目即可,所以是组合问题.可以分三步分别从第1,2,3题中选题,因此由分步乘法计数原理得,不同的选法种数为
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　有限制条件的组合问题
【例1】 现有男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名,选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法
(1)男运动员3名,女运动员2名;
(2)至少有1名女运动员;
(3)既要有队长,又要有女运动员.
规律方法　有限制条件的抽(选)取问题,主要有两类:
有限制条件的选取问题 类型 处理方案 注意事项
含有“特殊元素”的问题 先取出“特殊元素”,然后利用分步乘法计数原理 分类时做到不重不漏
含有“至多”与“至少”的问题 方法一:直接分类法;
方法二:间接法
变式训练1(1)某组织从4名男运动员、6名女运动员中各选一名运动员作为最佳运动员,不同的选法种数为(　　)
A.12 B.30 C.15 D.24
D
(2)从(1)中的4名男运动员、6名女运动员中选出3人参加某公益活动,则至多有2名男运动员的选法有　　　　　种.
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探究点二　　分组、分配问题
角度1.不同元素分组、分配问题
【例2】 有6本不同的书,按下列方式分组或分配,则共有多少种不同的
方式
(1)分成三组,每组分别有1本,2本,3本;
(2)分给甲、乙、丙三人,其中一个人1本,一个人2本,一个人3本;
(3)分成三组,每组都是2本;
(4)分给甲、乙、丙三人,每人2本.
规律方法　分组、分配问题的求解策略
(1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种:
①完全均匀分组,每组的元素个数均相等;
②部分均匀分组,应注意不要重复,若有n组均匀,最后必须除以n!;
③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.
(2)分配问题属于“排列”问题.分配问题可以按要求逐个分配,也可以分组后再分配.
变式训练2《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著,该书介绍了我国古代的14种算法,其中的13种需要计算器械.某研究性学习小组3人分工搜集整理这13种计算器械的相关资料,其中一人搜集5种,另两人每人搜集4种,则不同的分配方法种数可表示为(　　)
A
角度2.相同元素分配问题
【例3】 将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中,分别求下列要求下的放法的种数.
(1)每个盒子都不空;
(2)恰有一个空盒子;
(3)恰有两个空盒子.
解 (1)先把6个相同的小球排成一行,在首尾两球外侧放置一块隔板,然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板,有 =10(种).
规律方法　相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法:如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,便可看作在排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法,此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m),有 种方法.可描述为
(n-1)个空中插入(m-1)块隔板.
变式训练3把16个相同的小球放到三个编号分别为1,2,3的盒子中,且每个盒子内的小球数要大于盒子的编号数,则不同的放法种数为(　　)
A.18 B.28 C.36 D.42
C
解析 根据题意,16个相同的小球放到三个编号分别为1,2,3的盒子中,且每个盒子内的小球数要大于盒子的编号数,先在1号盒子里放1个球,在2号盒子里放2个球,在3号盒子里放3个球,则原问题可以转化为将剩下的10个小球,放入3个盒子,每个盒子至少放1个的问题,将剩下的10个球排成一排,它们之间有9个空位,在9个空位中任选2个插入“隔板”,故有 =36(种)不同的放法.
探究点三　　与几何有关的组合应用题
【例4】 如图,在以AB为直径的半圆周上,有异于A,B的六个点C1,C2,…,C6,线段AB上有异于A,B的四个点D1,D2,D3,D4.
(1)以C1,C2,C3,C4,C5,C6,D1,D2,D3,D4这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形 其中含C1点的有多少个
(2)以图中的12个点(包括点A,B)中的4个点为顶点,可作出多少个四边形
规律方法　1.图形多少的问题通常是组合问题,要注意共点、共线、共面、异面等情形,防止多算.常用直接法,也可采用间接法.
2.把一个与几何相关的问题转化为组合问题,体现了数学抽象及数学运算的核心素养.
变式训练4空间中有10个点,其中有5个点在同一个平面内,其余点无三点共线,无四点共面,则以这些点为顶点,共可构成四面体的个数为(　　)
A.205 B.110 C.204 D .200
A
学以致用·随堂检测促达标
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A 级 必备知识基础练
B
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2. [探究点一]某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为(　　)
A.14 B.24 C.28 D.48
A
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3.[探究点一]在含有3件次品的50件产品中,任取2件,则恰好取到1件次品的不同方法数共有(　　)
A
解析 50件产品中含有3件次品,所以有47件不是次品,任取2件,则恰好取到1件次品的不同方法数共有 .故选A.
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4. [探究点二(角度1)]将2名教师、4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有　　　　　种.
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5. [探究点一]在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共有　　　　　种.
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6. [探究点一]在5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员,现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有1名老队员,且1,2号中至少有1名新队员的排法有　　　　　种.
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7.[探究点三](1)以正方体的顶点为顶点,可以确定多少个四面体
(2)以正方体的顶点为顶点,可以确定多少个四棱锥
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B 级 关键能力提升练
A.3 B.5 C.7 D.15
AB
解析 由组合数的性质得n=2n-3或n+2n-3=12,解得n=3或n=5,故选AB.
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9.编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯,晚上用时只亮三盏灯,且任意两盏亮灯不相邻,则不同的开灯方案有(　　)
A.60种 B.20种 C.10种 D.8种
C
解析 4盏熄灭的灯产生的5个空中放入3盏亮灯,即 =10(种).
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10.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案共有(　　)
A.16种 B.36种
C.42种 D.60种
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11. 某中学24届篮球赛正如火如荼地进行中,全年级共20个班,每四个班一组,如1~4班为一组,5~8班为二组……进行单循环小组赛(没有并列),胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛,最后胜出的三个班级再进行单循环赛,按积分的高低(假设没有并列)决出最终的冠亚季军,则此次篮球赛的场数是(　　)
A.51 B.42 C.39 D.36
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12.中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱、问天实验舱和梦天实验舱,假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验,三舱中每个舱至少一人至多三人,则不同的安排方法数有(　　)
A.450 B.72 C.90 D.360
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13. 共有6名志愿者要到A,B,C三个社区进行志愿服务,每个志愿者只去一个社区,每个社区至少安排1名志愿者,若要2名志愿者去A社区,则不同的安排方法共有　　　　　种.(用数字作答)
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14.对于所有满足1≤m≤n≤5的自然数m,n,方程x2+ y2=1所表示的不同椭圆的个数为　　　　　.
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15.将甲、乙等5名同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读,每所大学至少保送一人.
(1)有　　　　　种不同的保送方法;
(2)若甲不能被保送到北京大学,则有　　　　　种不同的保送方法.
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(2)由(1)可知,共有 =25(种)分组方法.因为甲不能被保送到北京大学,所以有甲的那组只有上海交通大学和浙江大学两个选择,剩下的两组无限制,一共有4种方法,所以不同的保送方案共有25×4=100(种).
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16.将四个编号为1,2,3,4的相同小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中(用数字作答).
(1)若每个盒子放一个小球,求有多少种放法;
(2)若每个盒子放一球,求恰有1个盒子的号码与小球的号码相同的放法种数;
(3)求恰有一个空盒子的放法种数.
(2)假设1号小球放在1号盒子内,先放2号小球,若2号小球放在3号盒子里,则3号小球只能放在4号盒子里,4号小球只能放在2号盒子里,有1种放法,若2号小球放在4号盒子里,则3号小球只能放在2号盒子里,4号小球只能放在3号盒子里,有1种放法,故恰有1个盒子的号码与小球的号码相同的放法有4×2=8(种).
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17.从1到6这6个数字中,取2个偶数和2个奇数组成没有重复数字的四位数.试问:
(1)能组成多少个不同的四位数
(2)在四位数中,2个偶数排在一起的有几个
(3)2个偶数不相邻的四位数有几个 (所得结果均用数值表示)
(3)由(1)(2)知两个偶数不相邻的四位数有216-108=108(个).
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C 级 学科素养创新练
所以(n+5)(n+4)(n+1)-(n+4)(n+1)n=90,
即5(n+4)(n+1)=90,所以n2+5n-14=0,即n=2或n=-7.注意到n≥1且n∈N+,所以n=2.
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19.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,求与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数.
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