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(共60张PPT)
北师大版 数学 选择性必修第一册
课程标准 1.通过实例理解组合及组合数的概念.
2.能利用计数原理推导组合数公式,并会应用公式解决简单的组合问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　组合的概念
一般地,从n个不同的元素中,　　　　 　　　　　　　　　　　　,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
　　　 只取不排,与排列不同之处
名师点睛
1.组合概念的两个要点:(1)n个对象是不同的;(2)“只取不排”,即取出的m个对象组成的组合与取出对象的先后顺序无关,无序性是组合的特征性质.
2.如果两个组合中的对象完全相同,那么不管对象的顺序如何,它们都是相同的组合.如果两个组合中的对象不完全相同(即使只有一个对象不同),那么它们就是不同的组合.
任取m(m≤n,且m,n∈N+)个元素为一组
思考辨析
两个组合相同有什么特点 与两个排列相同有什么区别
提示 只要两个组合的元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的组合.而只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的.两者的差别就在于是否要求顺序相同.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)2,3,5与5,3,2是同一个组合.(　　)
(2)“10人相互通一次电话,共通多少次电话 ”是组合问题.(　　)
√
√
2.[人教A版教材习题]已知平面内A,B,C,D这4个点中任何3个点都不在一条直线上,写出以其中任意3个点为顶点的所有三角形.
解 △ABC,△ABD,△ACD,△BCD.
3.[人教A版教材习题]现有1,3,7,13这4个数.
(1)从这4个数中任取2个数相加,可以得到多少个不相等的和
(2)从这4个数中任取2个数相减,可以得到多少个不相等的差
解 (1)任取2个数相加可得一个和,是一个组合问题:
1+3=4,1+7=8,1+13=14,3+7=10,3+13=16,7+13=20.
共可以得到6个不相等的和.
(2)2个数相减,作为被减数与作为减数是不同的,是一个排列问题,但1-7与
7-13,7-1与13-7的值分别相等,故共可以得到 -2=10(个)不相等的差.
知识点2　组合数的概念
从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的　　　　　　的个数,叫作从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的组合数,记作　　　　　　.
所有组合
思考辨析
某班需要从5人中选出2人担任正、副班长,与从5人中选出2人去参加数学竞赛有什么区别吗
提示 从5人中选出2人担任正、副班长与顺序有关,是排列,共有
=5×4=20(种)不同的选法;而5人中选出2人去参加数学竞赛与顺序无关,不是排列,共有10种不同的选法.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
×
√
2.5个相同的球,放入8个不同的盒子中,每个盒里至多放一个球,则不同的放法有(　　)
B
解析 由于球都相同,盒子不同,每个盒里至多放一个球,所以只要选出5个不同的盒子即可.故共有 种不同的放法.
3.高二(1)班共有50名同学,从中选出3名共青团员,共有　　　　　种选法(用组合数表示).
知识点3　组合数公式及组合数的性质
1
名师点睛
思考辨析
某校高一年级将在月底进行一场篮球比赛,某班包括体育委员在内,有篮球运动员8人,按照篮球比赛规则,比赛时一个球队的上场队员是5人,则可以有多少种队员上场方案 你能用两种思路给出解决吗 可以得出什么结论
自主诊断
5或7
解析 由题意得,2n-3=n+2或2n-3+n+2=20,即n=5或7.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　组合的概念
【例1】 给出下列问题:
(1)从a,b,c,d四名学生中选两名学生完成一件工作,有多少种不同的安排
方法
(2)从a,b,c,d四名学生中选两名学生完成两件不同的工作,有多少种不同的安排方法
(3)a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛,共需赛多少场
(4)a,b,c,d四支足球队争夺冠、亚军,有多少种不同的结果
在上述问题中,哪些是组合问题,哪些是排列问题
解 (1)两名学生完成的是同一件工作,没有顺序,是组合问题.
(2)两名学生完成两件不同的工作,有顺序,是排列问题.
(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题.
(4)冠、亚军是有顺序的,是排列问题.
规律方法　排列组合的区别
变式训练1判断下列问题是排列问题还是组合问题,并求出相应的结果.
(1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少
(2)某小组有9名同学,从中选出正、副组长各一个,有多少种不同的选法 若从中选出2名代表参加一个会议,有多少种不同的选法
解 (1)由于集合中的元素是没有顺序的,一个含三个元素的集合就是一个从0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合.这是一个组合问题,组合的个数是
(2)选正、副组长时要考虑次序,所以是排列问题,排列数是 =9×8=72,所以选正、副组长共有72种选法;选代表参加会议是不用考虑次序的,所以是组合问题,所以不同的选法有 =36(种).
探究点二　　组合数公式与性质的应用
角度1.有关组合数的计算与证明
D
C
角度2.含组合数的方程或不等式
规律方法　1.解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误,注意不要忽略n∈N+.
2.与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式,以及组合数的性质,求解时,要注意由 中的m∈N+,n∈N+,且m≤n确定m,n的范围,因此求解后要验证所得结果是否符合题意.
探究点三　　简单的组合问题
【例4】 有10名教师,其中6名男教师,4名女教师.
(1)现要从中选2名教师去参加会议,有　　　　　种不同的选法;
(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议,有　　　　　种不同的选法;
(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有　　　　　种不同的
选法.
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解析 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,即
规律方法　1.解简单的组合应用题时,首先要判断它是不是组合问题,组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关,而组合问题与取出元素的顺序无关.
2.把一个实际问题转化为组合问题,体现了数学抽象的核心素养.
变式训练4一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:
(1)这位教练从这17名学员中选择上场队员,可以形成多少种学员上场方案
(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情
学以致用·随堂检测促达标
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A 级 必备知识基础练
1.[探究点一](多选题)下列问题不是组合问题的是(　　)
A.把5本不同的书分给5个学生,每人一本有多少种不同的分法
B.从7本不同的书中取出5本给某个同学有多少种不同的取法
C.某人射击8枪,击中4枪,且命中的4枪均为2枪连中,共有多少种不同的结果
D.10个人互发一个电子邮件,共发了多少个邮件
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解析 选项A,由于书不同,每人每次拿到的也不同,有顺序之分,故是排列问题;选项B,从7本不同的书中,取出5本给某个同学,在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序,故它是组合问题;选项C,每次击中显然有顺序,故它是排列问题;选项D,发邮件与顺序有关,故它是排列问题.
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A.9 B.8 C.7 D.6
D
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3.[探究点三]从小到大排列的2,3,…,8七个自然数中任取三个数组成有序数组a,b,c且aA.35 B.42 C.105 D.210
A
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4.[探究点三]某施工小组有男工7名,女工3名,现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队,不同的选法有(　　)
D
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5.[探究点三]若已知集合P={1,2,3,4},则集合P的子集中含有2个元素的子集数为　　　　　.
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6. [探究点三]从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘,有m个不同的积;任取两个不同的数相除,有n个不同的商,则 =　　　　　.
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8.[探究点三]某地区发生了重大交通事故,某医院从9名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员,其中这9名医疗专家中有4名是外科专家.
(1)抽调6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种
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B 级 关键能力提升练
9.(多选题)下列各式成立的有(　　)
BC
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C
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11. 现从含有甲的5位志愿者中选出4位到江西,湖北和安徽三个省宣传,每个省至少一个志愿者.若甲不去安徽,其余志愿者没有条件限制,共有多少种不同的安排方法(　　)
A.228 B.132 C.180 D.96
B
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A.1 B.4 C.6 D.8
AC
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13.(多选题)在100件产品中,有98件合格品,2件不合格品,从这100件产品中任意抽出3件,则(　　)
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14.[2023辽宁沈阳校考阶段练习]将5名志愿者分配到世界杯的3个不同体育场进行志愿者服务,每名志愿者分配到1个体育场,每个体育场至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有　　　　　种.
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15.已知集合A={1,2,3,4,5},则至少含一个偶数的集合A的子集个数为　　　　　.
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16.从5名男生和5名女生中选出4人去社区做志愿者.
(1)如果4人中男生、女生各选2人,有多少种选法
(2)如果男生甲与女生乙至少有一人参加,有多少种选法
(3)如果4人中既有男生又有女生,有多少种选法
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C 级 学科素养创新练
17.[2024甘肃凉州模拟]n位校验码是一种由n个“0”或“1”构成的数字传输单元,分为奇校验码和偶校验码,若一个校验码中有奇数个1,则称其为奇校验码,如5位校验码“01101”中有3个1,该校验码为奇校验码.那么6位校验码中的奇校验码的个数是(　　)
A.6 B.32 C.64 D.846
B
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18.某次足球比赛中,共有32支球队参加,它们先平均分成8个小组进行循环赛,决出16强(每队均与本组其他队赛一场,各组第一、二名晋级16强),这16支球队按确定的程序(每两个队比赛一场)进行淘汰赛,最后决出冠、亚军,此外还要决出第三名、第四名,请问这次足球赛总共进行多少场比赛
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