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(共89张PPT)
北师大版 数学 选择性必修第一册
课程标准 1.理解两异面直线所成的角与它们的方向向量之间的关系,会用向量方法求两异面直线所成的角.
2.理解直线与平面所成的角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成的角.
3.理解二面角的平面角与两个平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的平面角的大小.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　两条直线所成的角
当两条直线a与b相交时,我们把两条直线交角中范围在 内的角叫作两条直线所成的角.
当两条直线平行时,规定它们所成的角为0.
两直线重合时,它们所成角也为0
当两条直线a与b是异面直线时,在空间任取一点O,过点O作直线a'和b',使得a'∥a,b'∥b,把a',b'所成的角叫作异面直线a与b所成的角(如图).
若向量a,b分别为直线a,b的方向向量,则直线a与b所成的角θ∈ ,且θ与两个方向向量所成的角相等或互补,也就是说:
当0≤≤ 时,θ=;
如图:
当 <≤π时,θ=π-,故cos θ=|cos|.
如图:
名师点睛
不要将两直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来,因为两直线所成角的范围是 ,而两个向量夹角的范围是[0,π],事实上,两直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系.
思考辨析
怎样用向量法求两条异面直线所成的角的余弦值
提示 设两条异面直线a与b的夹角为θ,直线a,b的方向向量分别为a,b,且其夹角为φ,则有cos θ=|cos φ|= .
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.(　　)
(2)两条异面直线所成的角一定不能为0°.(　　)
×
√
2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知M,N分别是BD和AD的中点,则B1M与D1N所成角的余弦值为(　　)
A
解析 以D为坐标原点,分别以直线DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则B1(2,2,2),M(1,1,0),D1(0,0,2),N(1,0,0),
3.[人教A版教材习题]如图,M,N分别是正方体ABCD-A'B'C'D'的棱BB'和B'C'的中点.求:
(1)MN和CD'所成角的大小;
(2)MN和AD所成角的大小.
知识点2　直线与平面所成的角
设向量l为直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则直线l与平面α所成的角θ∈
指直线和它在平面内的投影所成角
图1
图2
故sin θ=|cos|.
名师点睛
1.直线与平面平行或在平面内时,规定直线与这个平面所成角为0.
2.直线与平面垂直,规定直线与这个平面所成角为 .
3.若是一个锐角,则θ= -;若是一个钝角,则θ=- .
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量夹角的余角.(　　)
(2)直线与平面所成的角可以是钝角.(　　)
×
×
2.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos=- ,则l与α所成的角为(　　)　　　　　　　　　　　　　
A.30° B.60° C.120° D.150°
A
解析 设l与α所成的角为θ,则θ∈[0°,90°],
则sin θ=|cos|= ,∴θ=30°.
3.[人教A版教材习题]如图,在三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直,OA=OC=3,OB=2.求直线OB与平面ABC所成角的正弦值.
解 ∵OA,OB,OC两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系.
∵OA=OC=3,OB=2,
知识点3　两个平面所成的角
一般地,已知n1,n2分别为平面α,β的法向量,则二面角α-l-β的平面角与两法向量所成角相等(如图(1))或互补(如图(2)).
图(2)
图(1)
名师点睛
1.二面角的平面角的取值范围是[0,π].
2.利用向量求二面角的平面角有两种方法.
(1)几何法:若AB,CD分别在二面角α-l-β的两个半平面内,且是与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量 的夹角(或其补角)(如图1).
图1
图2
(2)向量法:设n1,n2是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图2).
思考辨析
1.两个平面的夹角与二面角的平面角有何区别
2.[人教B版教材习题]如果n1,n2分别是平面α1,α2的一个法向量,设α1与α2所成角的大小为θ,写出cos θ与cos之间的关系.
提示 平面α与平面β的夹角:平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.区别:二面角的取值范围是[0,π],而两个平面的夹角的取值范围是[0, ].
提示 θ=或θ=π-,故cos θ=cos或cos θ=-cos.故cos θ=|cos|.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)二面角的平面角的大小就是该二面角两个半平面的法向量的夹角的大小.(　　)
(2)若二面角两个半平面的法向量的夹角为120°,则该二面角的平面角的大小等于60°或120°.(　　)
×
√
2.[人教A版教材习题]如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,求二面角A-A1B-C1的平面角的余弦值.
解 ∵正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,取BC的中点O,则AO⊥BC,∴AO⊥平面BB1C1C.
取B1C1的中点H,连接OH,
∴AO,BO,OH两两垂直,以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系.
3.[人教A版教材习题]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在BB1,DD1上,且AE⊥A1B,AF⊥A1D.
(1)求证:A1C⊥平面AEF;
(2)当AB=4,AD=3,AA1=5时,求平面AEF与平面D1B1BD的夹角的余弦值.
(1)证明 (方法一)∵CB⊥平面A1ABB1,
∴A1C在平面A1ABB1上的投影为A1B.
由A1B⊥AE,AE 平面A1ABB1,得A1C⊥AE.
同理可证A1C⊥AF.
∵AF∩AE=A,∴A1C⊥平面AEF.
∴A1C⊥AE.同理A1C⊥AF.
∵AE∩AF=A,∴A1C⊥平面AEF.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　利用向量方法求两异面直线所成的角
【例1】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知DA=DC=4,DD1=3,求异面直线A1B与B1C所成角的余弦值.
规律方法　1.若异面直线l1与l2所成角为θ,且它们的方向向量分别为向量a,b,利用向量计算θ的步骤如下:
2.求两条异面直线所成的角的两个关注点.
(1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值,而对应的方向向量的夹角可能为钝角.
(2)范围:异面直线所成角的范围是 ,故两直线方向向量夹角的余弦值为负时,应取其绝对值.
解 建立如图所示的空间直角坐标系,
探究点二　　利用向量方法求直线与平面所成的角
【例2】 如图所示,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC, AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(1)求证:MN∥平面PAB;
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
规律方法　若直线l与平面α的夹角为θ,利用法向量计算θ的步骤如下:
变式训练2 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)
D
探究点三　　利用向量方法求两个平面所成的角
【例3】 如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD, ∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点.
(1)求证:AE⊥PD;
(2)若PA=AB=2,求二面角E-AF-C的平面角的余弦值.
(1)证明 由四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC为正三角形.因为E为BC的中点,所以AE⊥BC.
又BC∥AD,因此AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD,AE 平面ABCD,所以PA⊥AE.而PA 平面PAD,AD 平面PAD,且PA∩AD=A,所以AE⊥平面PAD.
又PD 平面PAD,所以AE⊥PD.
取z1=-1,则m=(0,2,-1).连接BD,因为BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,所以BD⊥平面AFC.
规律方法　用几何法求二面角,往往需要作出其平面角,这是几何中的难点之一;而用向量法求解二面角的平面角,只需求出平面的法向量,经过简单运算即可.
变式训练3如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(1)求证:AA1⊥平面ABC;
(2)求二面角A1-BC1-B1的平面角的余弦值;
(3)在线段BC1上是否存在点D(异于B,C1两点),使得AD⊥A1B,并求 的值.
(1)证明 ∵四边形AA1C1C为正方形,
∴AA1⊥AC.
∵平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,
∴AA1⊥平面ABC.
(2)解 由(1)知A1A⊥AC,AA1⊥AB,由题意知,AB=3, BC=5,AC=4,则AB⊥AC.
如图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4).设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z).
学以致用·随堂检测促达标
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A 级 必备知识基础练
1. [探究点一]若若两异面直线l1与l2的一个方向向量分别是n1=(1,0,-1), n2=(0,-1,1),则直线l1与l2的夹角为(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
B
解析 由题意,两异面直线l1与l2的一个方向向量分别是n1=(1,0,-1),
n2=(0,-1,1),
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2.[探究点一]将正方形ABCD沿对角线BD折起,使得平面ABD⊥平面CBD,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(　　)
A
解析 取BD中点为O,连接AO,CO,所以AO⊥BD,CO⊥BD,又因为平面ABD⊥平面CBD且交线为BD,AO 平面ABD,所以AO⊥平面CBD,OC 平面CBD,则AO⊥CO,设正方形的对角线长度为2,
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3. [探究点二]如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AA1=3, AB=AC=BC=2,则AA1与平面AB1C1所成角的大小为(　　)
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
A
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4. [探究点三]已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角为(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
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5. [探究点二、三](多选题) 如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC, AD⊥AB,AE=BC=2, AB=AD=1,CF= ,则(　　)
A.BD⊥EC
B.BF∥平面ADE
C.二面角E-BD-F的平面角的余弦值为
D.直线CE与平面BDE所成角的正弦值为
BC
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解析 以点A为坐标原点,AB,AD,AE所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略),
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6. [探究点一]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知DA=DC=4,DD1=3,则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为　　　　　.
解析 如图,以D1为坐标原点,D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
由已知得A1(4,0,0),B(4,4,3),B1(4,4,0),C(0,4,3).
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7. [探究点三]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的平面角的余弦值为　　　　　.
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8.[探究点一、三·2024安徽芜湖镜湖期末]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,DD1的中点.
(1)求直线B1D与EF所成角的余弦值;
(2)求平面A1EF与平面A1B1C1D1夹角的余弦值.
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解 (1)以A为坐标原点,分别以直线AB,AD,AA1为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.不妨设AB=2,则E(2,1,0),F(0,2,1),B1(2,0,2),D(0,2,0),所以
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B 级 关键能力提升练
9.如图,在三棱锥C-OAB中,OA⊥OB,OC⊥平面OAB,OA=6,OB=OC=8,
CE= CB,D,F分别为AB,BC的中点,则异面直线DF与OE所成角的余弦值为
(　　)
B
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C
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11.(多选题) 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=CB=2,AA1=3, ∠ACB=90°,则(　　)
A.点C1到平面A1B1C的距离为1
BD
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解析 在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC∥平面A1B1C1,
又因为正方形BB1C1C,所以BC1⊥B1C,且A1M⊥平面BB1C1C,以M为坐标原点,分别以直线MB,MB1,MA1为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
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14. 《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年,书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,四面体PABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且PA=AB=BC=1,
则二面角A-PC-B的平面角的余弦值为　　　　.
解析 依据题意建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),所以
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15. 如图1,在等边三角形ABC中,点D,E分别为边AB,AC上的动点且满足DE∥BC,记 =λ.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB,连接MB,MC得到图2,点N为MC的中点.
图1
图2
(1)当EN∥平面MBD时,求λ的值;
(2)试探究:随着λ值的变化,二面角B-MD-E的平面角的大小是否改变 如果改变,请说明理由;如果不改变,请求出二面角B-MD-E的平面角的正弦值大小.
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解 (1)取MB的中点为P,连接DP,PN,
因为MN=CN,MP=BP,所以NP∥BC.
又因为DE∥BC,所以NP∥DE,即N,E,D,P四点共面,
又因为EN∥平面BMD,EN 平面NEDP,
平面NEDP∩平面MBD=DP,
所以EN∥PD,即四边形NEDP为平行四边形,
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(2)取DE的中点O,连接MO,则MO⊥DE,因为平面MDE⊥平面DECB,平面MDE∩平面DECB=DE,且MO⊥DE,所以MO⊥平面DECB,建立空间直角坐标系,如图,
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C 级 学科素养创新练
16.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD, AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD= ,BC=2 ,PA=2.
(1)取PC的中点N,求证:DN∥平面PAB.
(2)求直线AC与PD所成角的余弦值.
(3)在线段PD上,是否存在一点M,使得平面MAC与平面ACD所成锐二面角的平面角为45° 如果存在,求出BM与平面MAC所成角的大小;如果不存在,请说明理由.
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(1)证明 取BC的中点E,连接DE,交AC于点O,连接ON,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,-1,0),B(2,-1,0),C(0,1,0),D(-1,0,0),P(0,-1,2).
∵点N为PC的中点,
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由图知平面ACD的一个法向量为n=(0,0,1),
设直线BM与平面MAC所成的角为φ,
∴φ=30°.故存在点M,使得平面MAC与平面ACD所成锐二面角的平面角为45°,此时BM与平面MAC所成的角为30°.

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