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北师大版 数学 选择性必修第一册
课标定位
素养阐释 1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系.
2.理解和掌握二项式系数的性质,并会简单应用.
3.理解和初步掌握赋值法及其应用.
4.通过学习二项式系数的性质,培养直观想象和逻辑推理素养.
5.借助二项式系数的性质的应用,提升数学运算素养.
自主预习 新知导学
二项式系数表(杨辉三角)
【问题思考】
1.当n依次取1,2,3,…时,(a+b)n的展开式的二项式系数,如图5-4-1.
图5-4-2
根据图5-4-1,回答下列问题:
(1)每行两端的数字有什么规律
提示:表中每行两端都是1.
(2)除1以外的每一个数与它“肩上”的两个数有什么关系
提示:表中每行除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之和.
2.(1)二项式系数表,如图5-4-1.　
此表叫作二项式系数表,历史上也称为杨辉三角.　
图5-4-1
(2)二项式系数的性质:
①表中每行两端都是1 .
3. (1)在(a+b)n的展开式中,第2项与第6项的二项式系数相等,则n=(　　).
A.6 B.7 C.8 D.9
(2)(1-2x)15的展开式中的各项系数和是(　　).
A.1 B.-1 C.215 D.315
(2)令x=1,可得(1-2x)15的展开式中的各项系数和为(1-2)15=-1.
答案:(1)A　(2)B
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
√
×
×
合作探究 释疑解惑
探究一
“杨辉三角”的应用
【例1】 如图5-4-3,在“杨辉三角”中斜线AB的左上方,从1开始箭头所示的数组成一列数:1,2,3,3,6,4,10,5,….求这列数中前19个数的和.
图5-4-3
分析:解决本题的关键是观察这列数的特征及这列数的每一个数在杨辉三角中的位置,把各数还原为二项展开式中的二项式系数,再利用组合数求解.
解决与“杨辉三角”有关的问题的一般方法　
【变式训练1】 如图5-4-4,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第　　　　　行中从左至右第14个数与第15个数之比为2∶3.
图5-4-4
答案:34
探究二
求展开式中各项系数的和
分析:先观察所求式子与展开式各项的特点,再利用赋值法求解.
【例2】 设(1-2x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024(x∈R).
(1)求a0+a1+a2+…+a2 024的值;
(2)求a1+a3+a5+…+a2 023的值;
(3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 024|的值.
1.本例条件不变,求a0+a2+a4+a6+…+a2 020的值.　
2.本例条件不变,求a0,a1的值.
解:令x=0,得a0=(1-0)2 024=1.
由展开式,得a1为x的系数.
即a1=-4 040.
“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法,根据题目要求,灵活赋给字母不同值.一般地,要使展开式中项的关系变为系数的关系,令x=0可得常数项,令x=1可得所有项的系数之和,令x=-1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.
【变式训练2】 已知(x-2)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.
求:(1)a1+a2+…+a7;
(2)a1+a3+a5+a7;
(3)a0+a2+a4+a6.
解:令x=1,
则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1.①
令x=-1,
则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=-37.②
令x=0,则a0=-27.③
(1)由①-③,得
a1+a2+a3+…+a7=-1+27=127.
探究三
求展开式中系数(或二项式系数)的最大项
(1)求二项式系数最大的项;
(2)求展开式中系数最大的项.
分析:求二项式系数最大的项,利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项;求展开式中系数最大的项,必须将字母前的系数均考虑进去,包括“+”“-”号.
解:令x=1,则展开式中各项系数的和为(1+3)n=4n,又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知,4n-2n=992,即(2n)2-2n-992=0,即(2n+31)(2n-32)=0,所以2n=-31(舍去)或2n=32,解得n=5.
(1)由于n=5为奇数,故展开式中二项式系数最大的项为中间两项,它们分别
是
1.二项式系数最大的项的求法
求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论.
(1)当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大.
(2)当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.
2.展开式中系数最大的项的求法
求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的,需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数最大的项,一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为a0,a1,a2,…,an,且第(r+1)项的系数最大,应用　　　　　解出r,即得出系数最大的项.
【变式训练3】 在(3x-2y)20的展开式中,求:
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数的绝对值最大的项;
(3)系数最大的项.
易错辨析
混淆系数最大和二项式系数最大而致误
【典例】 在(1+2x)n的展开式中,最后三项的二项式系数和为56,则展开式中系数最大的项为第　　　　　项.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何
防范
提示:错解混淆了展开式中系数最大项与二项式系数最大项.
答案:8
求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况,一般采用列不等式组,解不等式组的方法求得.
【变式训练】 已知(1+2x)n的展开式中第6项和第7项的系数相等,则展开式中系数最大的项为第　　　　项.
答案:6,7
随堂练习
1.(a+b)n的二项展开式中与第(r-1)项二项式系数相等的项是(　　).
A.第(n-r)项 B.第(n-r+1)项
C.第(n-r+2)项 D.第(n-r+3)项
答案:D
2.已知(a+b)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n等于(　　).
A.11 B.10 C.9 D.8
解析:只有第5项的二项式系数最大,则展开式为9项,故n=8.
答案:D
3.(多选题)下列关于(a-b)10的说法,正确的有(　　).
A.展开式中的二项式系数之和是1 024
B.展开式的第6项的二项式系数最大
C.展开式的第5项或第7项的二项式系数最大
D.展开式中第6项的系数最小
答案:ABD
4.若(x+3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a+b)10的展开式中二项式系数的和,则n的值为　　　　　.
答案:5
由于n=21,因此展开式一共有22项,又展开式中各项的二项式系数与项的系数相同,所以系数最大的项即二项式系数最大的项,即展开式的第11项和第12项.
6.已知(a-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,a∈R,若a2=80,求a0+a1+a2+…+a5的值.

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