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(共47张PPT)
北师大版 数学 选择性必修第一册
课程标准 1.掌握直线方程的两点式和截距式.
2.会选择适当的方程形式求直线方程.
3.能用直线方程的两点式与截距式解答有关问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　直线方程的两点式
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围
两点
式 P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中x1≠x2,y1≠y2
　 　 斜率存在
且不为0
名师点睛
1.当过两点(x1,y1),(x2,y2)的直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时,不能用两点式表示,即两点式不能表示与坐标轴垂直的直线.
2.在记忆和使用直线方程的两点式时,必须注意坐标的对应关系,即x1,y1是同一个点的坐标,x2,y2是另一个点的坐标.
3.对于两点式中的两个点,只要是直线上的两个点即可;另外,两点式方程与这两个点的顺序无关,如直线过点P1(1,1),P2(2,3),由直线方程的两点式可得
思考辨析
1.如图,若直线l过点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2).试推导出直线l的方程.
2.过原点的直线能否用直线方程的两点式表示
提示 过原点且斜率为0或过原点且斜率不存在这两种情况不能用直线方程的两点式表示,其他情况能表示.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)直线方程的两点式适用于直线斜率存在的情况.(　　)
(2)能用直线方程的两点式表示的直线也可以用直线方程的点斜式表示.
(　　)
×
√
2.[人教B版教材习题]已知点(a,1),(-1,b)确定的直线方程是y=-3x+1,求a,b的值.
解 将两点分别代入,得1=-3a+1,b=-3×(-1)+1=4,∴a=0,b=4.
3.[人教B版教材习题]分别求下列直线的方程.
(1)经过A(0,-1),B(-1,1)的直线l1;
(2)经过C(3,-1),D(-2,-1)的直线l2;
(3)经过E(1,3),F(1,-2)的直线l3.
解 (1)l1:y=-2x-1.(2)l2:y=-1.(3)l3:x=1.
知识点2　直线方程的截距式
名师点睛
直线方程的截距式是直线方程的两点式的特殊情况,由直线方程的截距式可以直接读出直线在x轴和y轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便.
思考辨析
在x轴和y轴上截距相等的直线可以用直线方程的截距式表示吗
提示 当这条直线过原点时不可以,当这条直线在x轴、y轴上的截距相等且不为0时可以.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)直线y=x在x轴和y轴上的截距均为0.(　　)
(2)不经过原点的直线都可以用方程 表示.(　　)
(3)能用直线方程的截距式表示的直线都能用直线方程的两点式表示.
(　　)
√
×
√
2.[人教A版教材习题]根据下列条件求直线的截距式方程,并画出图形.
(1)在x轴、y轴上的截距分别是2,3;
(2)在x轴、y轴上的截距分别是-5,6.
①
②
3.[人教A版教材习题]根据下列条件,求直线的方程.
(1)过点(0,5),且在两坐标轴上的截距之和为2;
(2)过点(5,0),且在两坐标轴上的截距之差为2.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　直线方程的两点式
★【例1】 (1)若直线l经过点A(2,-1),B(2,7),则直线l的方程为　　　　　.
x=2
解析 于点A与点B的横坐标相等,所以直线l方程没有两点式,所求的直线方程为x=2.
(2)在△ABC中,A(-3,2),B(5,-4),C(0,-2).
①求BC所在直线的方程;
②求BC边上的中线所在直线的方程.
规律方法　求直线方程的两点式的策略以及注意点
当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式的适用条件:两点的连线不平行于坐标轴.若满足,则考虑用两点式方程.
-2　
变式训练1(1)若点P(3,m)在过点A(2,-1),B(-3,4)的直线上,则m=　　　　.
(2)已知三角形的顶点是A(1,3),B(-2,-1),C(1,-1),求这个三角形三边所在直线的方程.
直线AC垂直于x轴,故AC边所在直线的方程为x=1.
直线BC平行于x轴,故BC边所在直线的方程为y=-1.
探究点二　　直线方程的截距式
【例2】 直线l过点(-3,4),且与x轴,y轴的正半轴围成的三角形的面积等于3,则直线l的方程是(　　)
A
变式探究1将本例中的条件“与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于3”改为“在两坐标轴上的截距之和为12”,求直线l的方程.
变式探究2将本例中的条件“与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于3”改为“在两坐标轴上的截距的绝对值相等”,求直线l的方程.
规律方法　求解直线方程的截距式一般是用待定系数法,其步骤是
变式训练2直线l过点 ,且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点.当△AOB的周长为12时,求直线l的方程.
学以致用·随堂检测促达标
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A 级 必备知识基础练
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1.[探究点一·2024江苏扬州期中]经过两点A(-3,2),B(0,-3)的直线的方程为(　)
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2.[探究点二]直线3x+2y+1=0在x轴上的截距为(　　)
D
解析 由直线3x+2y+1=0,令y=0,解得x=- .故选D.
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3.[探究点二·2024福建福州质检]过两点(-2,4)和(4,-1)的直线在y轴上的截距为(　　)
C
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4.[探究点二]若直线y=x+2m与两坐标轴围成的三角形面积不小于8,则实数m的取值范围为　　　 　　.
(-∞,-2]∪[2,+∞)
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5.[探究点二·2024江苏南京期末]若直线l过点A(1,2),且在两坐标轴上的截距互为相反数,则直线l的方程为　　　　　　 　　.
2x-y=0或x-y+1=0
解析 当直线l在两坐标轴上的截距都为0时,因为直线l过点A(1,2),则直线l的方程为y=2x,即2x-y=0.当直线l在两坐标轴上的截距都不为0时,可设直线l的方程为x-y=a,因为直线l过点A(1,2),则1-2=a,解得a=-1,所以直线l的方程为x-y+1=0.综上所述,直线l的方程为2x-y=0或x-y+1=0.
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6.[探究点一·2024江西宜春期末]已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3), C(0,2),求:
(1)边AC所在直线的方程;
(2)边BC上的中线所在直线的方程.
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解 (1)∵A(-5,0),C(0,2),∴直线AC的方程的截距式为 ,化简得
2x-5y+10=0.
即边AC所在直线的方程为2x-5y+10=0.
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B 级 关键能力提升练
7.[2024广东广州期中]经过两点(x1,y1),(x2,y2)的直线方程都可以表示为(　)
解析 当x1≠x2,y1≠y2时,由直线方程的两点式可得直线方程为
化为(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1).当x1=x2或y1=y2时,方程(y-y1)(x2-x1)
=(x-x1)(y2-y1)也成立,因此直线方程为(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1).故选C.
C
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8.(多选题)[2024海南琼海月考]下列四个结论中正确的是(　　)
A.方程 与方程y-2=k(x-1)可表示同一条直线
B.直线l:x+y+3=0在x轴上的截距为-3
C.直线l过点P(1,2),斜率为0,则其方程为y=2
D.过点P(1,2),且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程仅有x+y-3=0
BC
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9.已知△ABC的三个顶点分别为A(2,8),B(-4,0),C(6,0),则过点B将△ABC的面积平分的直线方程为(　　)
A.2x-y+4=0 B.x+2y+4=0
C.2x+y-4=0 D.x-2y+4=0
D
解析 由题得,|AB|=|BC|=10,且AC的中点坐标为D(4,4),则过点B将△ABC的面积平分的直线过点D(4,4),则由两点式可得所求直线方程为 ,即x-2y+4=0.
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10.已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,则xy(　　)
A.无最小值,且无最大值 B.无最小值,但有最大值
C.有最小值,但无最大值 D.有最小值,且有最大值
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11.(多选题)经过点(2,1),且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是(　　)
A.x+y-3=0 B.x+y+3=0
C.x-y-1=0 D.x-y+1=0
AC
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12.过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为　　　　　　　　　　.
x+y-3=0或x+2y-4=0
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C 级 学科素养创新练
13.某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,行李票费用y(单位:元)与行李质量x(单位:千克)的关系如图.试求:
(1)直线AB的方程;
(2)旅客最多可免费携带的行李质量.
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解 (1)由题图知点A(60,6),B(80,10),故直线AB的方程是 ,化简得x-5y-30=0.
(2)结合(1),令y=0,解得x=30,
即旅客最多可免费携带30千克的行李.

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