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(共47张PPT)
北师大版 数学 选择性必修第一册
课程标准 1.掌握直线方程的点斜式和斜截式,并会用它们求直线的方程.
2.了解直线方程的斜截式与一次函数的关系.
3.会用直线方程的点斜式与斜截式解决直线的平行与垂直问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　直线方程的点斜式
1.直线的方程
一般地,如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解,并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上,那么这个方程称为　　　　　　　.
2.直线方程的点斜式
已知直线l经过点P(x0,y0),且斜率为k,设Q(x,y)是直线l上不同于点P的任意一点,因为点P,Q都在直线l上,所以 ,即　　　　　　　,称为直线方程的点斜式.
直线l的方程
y-y0=k(x-x0)
名师点睛
1.点斜式应用的前提是直线的斜率存在,若斜率不存在,则不能应用此式.
2.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以.
3.当直线与x轴平行或重合时,方程可简写为y=y0.特别地,x轴所在直线方程是y=0;当直线与y轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x0.特别地,y轴所在直线方程是x=0.
思考辨析
已知直线l经过点P(0,3),且斜率k=2,Q(x,y)为直线l上的任一点,试推导x,y满足的关系式.
提示 当点Q与点P不重合时,有 =2,即y=2x+3;当点Q与点P重合时,把P(0,3)代入y=2x+3,式子成立,故x,y满足的关系式为y=2x+3.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)y轴所在直线方程为y=0.(　　)
(2)直线y-10=k(x+6)恒过定点(-6,10).(　　)
(3)经过点P0(x0,y0)的所有直线都能用直线方程的点斜式来表示.(　　)
×
√
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2.[2024四川绵阳期末]已知直线l过点(1,1),且倾斜角为90°,则直线l的方程为(　　)　　　　　　　　　　　　　
A.x+y=1 B.x-y=1
C.y=1 D.x=1
D
解析 因为直线l的倾斜角为90°,所以该直线斜率不存在,与x轴垂直,又因为直线l过点(1,1),所以直线l的方程为x=1.故选D.
3.[人教A版教材习题]写出下列直线的点斜式方程.
(3)y-3=0.
知识点2　直线方程的斜截式
若直线l经过点(0,b)且斜率为k,则点斜式中的点P(x0,y0)就可以为点(0,b),所以该直线方程的点斜式为y-b=k(x-0),即y=kx+b.该方程中的k为直线l的斜率,b为直线l在y轴上的　　　　.称y=kx+b为直线方程的斜截式.
注意与一次函数的区别
名师点睛
1.直线方程的斜截式是直线方程的点斜式的特殊情况.
2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.
3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距,如直线y=2x-1的斜率k=2,在y轴上的截距为-1.
截距
思考辨析
直线l过点P(0,b)且斜率为k,如何表示直线l的方程
提示 根据直线方程的点斜式有y-b=k(x-0),即y=kx+b.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离.(　　)
(2)直线y=kx-b在y轴上的截距为b.(　　)
(3)斜率相等,在y轴上的截距相等的两直线重合.(　　)
×
×
×
2.[人教B版教材习题改编]根据下列直线方程,分别求出直线的斜率及在y轴上的截距.
(1)y-2=x+1;
(2)y+4= (x-2);
(3)4x+y-3=0.
3.[人教B版教材习题]写出下列直线的斜截式方程.
(1)斜率是 ,在y轴上的截距是-2;
(2)斜率是-2,在y轴上的截距是4.
(2)y=-2x+4.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　直线方程的点斜式
【例1】 写出下列直线方程的点斜式.
(1)经过点(2,5),倾斜角为45°;
(2)直线l经过点(1,1),且l的一个方向向量为(1,2);
(3)经过点C(-1,-1),且与x轴平行;
(4)经过点D(1,1),且与x轴垂直.
解 (1)因为倾斜角为45°,所以斜率k=tan 45°=1,且过点(2,5),所以直线的方程为y-5=x-2.
(2)由题意,得直线l的斜率为2,又l过点(1,1),所以直线l的点斜式方程为 y-1=2(x-1).
(3)由题意知,直线的斜率k=tan 0°=0,
所以直线方程的点斜式为y-(-1)=0,即y+1=0.
(4)由题意可知直线的斜率不存在,所以直线的方程为x=1,该直线方程没有点斜式.
规律方法　求直线的点斜式方程的步骤
[注意]当斜率不存在时,过点P(x0,y0)的直线与x轴垂直,直线上所有点的横坐标相等,都为x0,故直线方程为x=x0.
变式训练1求满足下列条件的直线方程的点斜式.
(1)过点P(-4,3),斜率k=-3;
(2)过点P(3,-4),且与x轴平行;
(3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点.
解 (1)∵直线过点P(-4,3),斜率k=-3,由直线方程的点斜式得直线方程为
y-3=-3(x+4).
(2)与x轴平行的直线,其斜率k=0,由直线方程的点斜式可得直线方程为
y-(-4)=0×(x-3),即y+4=0.
(3)过点P(-2,3),Q(5,-4)的直线的斜率
又直线过点P(-2,3),
∴直线方程的点斜式为y-3=-(x+2).
探究点二　　直线方程的斜截式
【例2】 已知直线l的斜率为2,在y轴上的截距为m.
(1)求直线l的方程;
(2)当m为何值时,直线过点(1,1)
解 (1)利用直线方程的斜截式,可得方程为y=2x+m.
(2)将点(1,1)代入直线y=2x+m,有1=2×1+m,所以m=-1.
变式探究1将本例的条件“在y轴上的截距为m”改为“在x轴上的截距为m”,如何求直线的方程
解 直线在x轴上的截距为m,即直线过点(m,0),又已知直线的斜率为2,则由直线方程的点斜式,可得所求直线方程为y-0=2(x-m),即y=2x-2m.
变式探究2本例的条件不变,试问m为何值时,直线与坐标轴所围成的三角形的面积为1
规律方法　求直线的斜截式方程的策略
(1)直线方程的斜截式是点斜式的特殊情况,其适用前提是直线的斜率存在,只要点斜式中的点在y轴上,就可以直接用斜截式表示.
(2)直线方程的斜截式y=kx+b中只有两个参数,因此要确定直线方程,只需知道参数k,b的值即可.
(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活,如果已知斜率k,只需引入参数b;同理如果已知截距b,只需引入参数k.
变式训练2求满足下列条件的直线方程的斜截式.
(1)在y轴上的截距为-6,且与y轴的夹角为30°;
(2)过点(2,3),(0,2).

学以致用·随堂检测促达标
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A 级 必备知识基础练
1.[探究点一·2024河南开封月考]直线l经过点(2,5),斜率为-2,则直线l的方程的点斜式为(　　)
A.y+5=-2(x+2) B.y-5=-2(x-2)
C.y-5=2(x+2) D.y-5=-2(x+2)
B
解析 经过点(2,5),斜率为-2的直线,其方程的点斜式为y-5=-2(x-2).故选B.
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2. [探究点一]已知直线的方程是y+7=-x-3,则(　　)
A.直线经过点(-3,7),斜率为-1
B.直线经过点(7,-1),斜率为-1
C.直线经过点(-3,-7),斜率为-1
D.直线经过点(-7,-3),斜率为1
C
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3. [探究点二]已知直线的倾斜角为60°,在y轴上的截距为-2,则此直线的方程为(　　)
D
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4. [探究点一]斜率为2的直线经过(3,5),(a,7)两点,则a=　　　　.
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5. [探究点二]将直线y= (x-2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线方程的斜截式是　　　 　　　　.
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6.[探究点二·2024北京海淀质检]直线y=-x-2的倾斜角是　　　　　,在y轴上的截距为　　　　　.
-2
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7. [探究点一]根据下列条件,分别画出经过点P,且斜率为k的直线,并写出倾斜角α:
(1)P(1,2),k=1;
(2)P(-1,3),k=0;
(3)P(0,-2),k=- ;
(4)P(1,2),斜率不存在.
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B 级 关键能力提升练
8.(多选题)[2024四川乐清质检]方程y=ax+ 对应的直线可能是(　　)
AB
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10.在等腰三角形AOB中,|AO|=|AB|,点O(0,0),A(1,3),点B在x轴的正半轴上,则直线AB的方程为(　　)
A.y-1=3(x-3)
B.y-1=-3(x-3)
C.y-3=3(x-1)
D.y-3=-3(x-1)
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11.直线l1:y=ax+b与直线l2:y=bx+a(ab≠0,a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是(　　)
D
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12.(多选题)下列四个结论,其中正确的为(　　)
BC
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解析 对于A,方程 ,表示的直线不含点(-1,2),方程y-2=k(x+1)表示的直线过点(-1,2),故这两个方程表示不同的直线,A错误;对于B,直线l过点P(x1,y1),倾斜角为 ,直线垂直于x轴,则其斜率不存在,其方程为x=x1,B正确;对于C,因为斜率为0,故方程为y=y1,显然正确;对于D,斜率不存在的直线就没有点斜式方程.故D错误.
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13.直线y+2=- (x+1)的倾斜角为　　　　,其在y轴上的截距为　　　　.
120°　
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14.在x轴上的截距为-2,倾斜角的正弦值为 的直线的方程为　　 　　　　.
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15.[2024海南儋州质检]已知直线l的斜率为- ,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6,求直线l的方程.
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C 级 学科素养创新练
16.已知点A(1,3),B(-2,-1).若直线l:y=k(x-2)+1与线段AB相交,且包括线段AB的端点,则k的取值范围是　　　　　.
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17.已知直线l:y=kx+2k+1.
(1)求证:直线l恒过一个定点;
(2)当-31
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(1)证明 由y=kx+2k+1,得y-1=k(x+2).
由直线方程的点斜式可知,直线l恒过定点(-2,1).

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