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北师大版 数学 选择性必修第一册
课程标准 1.了解直线方程的一般式的形式特征,理解直线方程的一般式与二元一次方程的关系.
2.能正确地进行直线方程的一般式与特殊形式的方程的转化.
3.能运用直线方程的一般式解决有关问题.
4.了解直线方程的点法式,会利用方向向量推导出直线的一般方程.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　直线方程的一般式
1.定义
在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都有一个表示这条直线的关于x,y的　　　　　　 ;任何关于x,y的二元一次方程都表示　　　　　.方程　　 　　　　　　　　　　称为直线方程的一般式.
结构特征:
①方程是关于x,y的二元一次方程.
②方程中等号的左侧自左向右一般按x,y,常数的先后顺序排列.
③x的系数一般不为分数和负数.
二元一次方程
一条直线
Ax+By+C=0(其中A,B不全为0)
2.直线方程的一般式与其他形式的互化
思考辨析
在方程Ax+By+C=0中,A,B,C满足什么条件时,(1)方程表示直线 (2)方程表示过原点的直线
提示 (1)A,B不全为0.(2)A,B不全为0,C为0.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)在平面上任何直线的方程都能表示为一般式.(　　)
(2)在平面上任何一条直线的方程的一般式都能与直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式互化.(　　)
(3)对于二元一次方程Ax+By+C=0,当A=0,B≠0时,方程表示斜率不存在的直线.(　　)
√
×
×
×
×
2.[人教A版教材习题]根据下列条件,写出直线的方程,并把它化为一般式.
(1)经过点A(8,-2),斜率是- ;
(2)经过点B(4,2),平行于x轴;
(3)经过点P1(3,-2),P2(5,-4);
(4)在x轴、y轴上的截距分别是 ,-3.
解 (1)y+2=- (x-8),一般式为x+2y-4=0.
(2)y-2=0.
3.[人教B版教材例题]已知直线l的一般式方程为2x-3y+6=0,求直线l的斜率以及在x轴和y轴上的截距.
在方程中令y=0,可得x=-3,
因此l在x轴上的截距为-3.
知识点2　直线方程的点法式
1.法向量
与直线的方向向量　　　　的向量称为直线的法向量,直线的法向量和方向向量都反映了直线的方向.若直线l经过点P,且一个法向量为n,则直线l上不同于点P的任意一点M都满足　　　　　　.反之,满足n· =0的任意一点M一定在直线l上.
垂直
2.直线方程的点法式
在平面直角坐标系中,已知直线l经过点P(x0,y0),且它的一个法向量为n=(A,B),直线l上的任意一点M的坐标为(x,y),则方程　　　 　　　　称为直线方程的点法式.
名师点睛
确定直线方程的点法式需要知道直线的法向量和一个确定的点,这个点可以是直线上任意一点;如果已知直线上两点也可以用点法式确定直线的方程,首先求出直线的方向向量,然后求出直线的法向量代入点法式即可.
A(x-x0)+B(y-y0)=0
自主诊断
1.[人教B版教材习题](1)如果直线l过点P(-1,-2),且直线l的方向向量为a=(1,-2),求直线l的方程;
(2)如果直线l过点P(x0,y0),且直线l的方向向量为a=(u,v),求直线l的方程.
解 (1)k=-2,∴l:y+2=-2(x+1),即l:y=-2x-4.
2.[人教B版教材习题](1)如果直线l过点P(1,3),且直线l的法向量为a=(-3,1),求直线l的方程;
(2)如果直线l过点P(x0,y0),且直线l的法向量为a=(u,v),求直线l的方程.
解 (1)k=3,∴l:y-3=3(x-1),即l:y=3x.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　直线方程的一般式
【例1】 (1)根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式.
①斜率是 ,且经过点A(5,3);
②经过点A(-1,5),B(2,-1)两点.
★(2)求适合下列条件的直线的方程的一般式:
①经过点A(2,-3),并且其倾斜角等于直线x- y+1=0的倾斜角的2倍的直线方程;
②求经过点A(-2,2)并且和两条坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程.
规律方法　1.
2.当求直线方程时,设一般式有时并不简单,常用的还是根据给定条件选择四种特殊形式之一求方程,然后再转化为一般式.
变式训练1(1)直线2x-y-2=0绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90°所得的直线方程是(　　)
A.x-2y+4=0 B.x+2y-4=0
C.x-2y-4=0 D.x+2y+4=0
D
★(2)[2024浙江杭州模拟]数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,这条直线称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(0,0),B(0,2),C(-6,0),则其欧拉线方程的一般式为(　　)
A.3x+y=1 B.3x-y=1
C.x+3y=0 D.x-3y=0
C
探究点二　　直线方程的点法式
【例2】 已知直线l经过点A(3,2),而且v=(3,-4)是直线l的一个法向量,求直线l方程的一般式.
变式探究将本例中的“v=(3,-4)是直线l的一个法向量”改为“v=(3,-4)是直线l的一个方向向量”,求直线方程的一般式.
解 设直线的法向量为n=(a,b),
则n·v=3a-4b=0,令a=4,得b=3,∴n=(4,3).
∴直线方程的点法式为4(x-3)+3(y-2)=0,
化简,得直线的一般式为4x+3y-18=0.
变式训练2已知P是直线l上一点,且v是直线l的一个法向量,根据下列条件分别求直线l的方程.
(1)P(1,2),v=(3,-4);
(2)P(-1,2),v=(3,4).
解 (1)∵直线l过点P(1,2),其法向量是v=(3,-4),
∴直线l的方程是3(x-1)+(-4)(y-2)=0,整理,得3x-4y+5=0.
(2)∵直线l过点P(-1,2),其法向量是v=(3,4),
∴直线l的方程是3(x+1)+4(y-2)=0,
整理,得3x+4y-5=0.
学以致用·随堂检测促达标
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A 级 必备知识基础练
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1.[探究点一]过点(2,1),斜率k=-2的直线方程为(　　)
A.x-1=-2(y-2)
B.2x+y-1=0
C.y-2=-2(x-1)
D.2x+y-5=0
D
解析 根据直线方程的点斜式可得,y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.
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2. [探究点一、二]已知直线l经过点(-1,4),且它的一个方向向量为n=(-2,4),则(　　)
D.直线l的一般式方程为x+2y-7=0
C
解析 因为直线l的一个方向向量为n=(-2,4),所以直线l的斜率k= =-2.因为直线l经过点(-1,4),所以直线l的点斜式方程为y-4=-2(x+1),斜截式方程为y=-2x+2,截距式方程为x+ =1,一般式方程为2x+y-2=0.
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3.[探究点一]点M(x0,y0)是直线Ax+By+C=0上的点,则直线方程可表示为(　)
A.A(x-x0)+B(y-y0)=0
B.A(x-x0)-B(y-y0)=0
C.B(x-x0)+A(y-y0)=0
D.B(x-x0)-A(y-y0)=0
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4.[探究点二]若直线l的一个方向向量是n=( ,1),则直线l的倾斜角是(　　)
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6. [探究点二]写出直线l:2x-y-1=0的一个法向量a=　　　 　.
(2,-1)(答案不唯一)
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7. [探究点一]已知直线(a+2)x+(a2-2a-3)y-2a=0在x轴上的截距为3,则该直线在y轴上的截距为　　　　　.
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8. [探究点一]若直线mx-y+(2m+1)=0恒过定点,则此定点是　　　　.
(-2,1)　
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9. [探究点一]在y轴上的截距为-6,且倾斜角为45°的直线的一般式方程为　　　　　　　　　　.
x-y-6=0
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10. [探究点一]根据下列条件分别写出直线方程,并化成一般式:
(1)斜率是 ,经过点A(8,-2);
(2)经过点B(-2,0),且与x轴垂直;
(3)斜率为-4,在y轴上的截距为7;
(4)经过点A(-1,8),B(4,-2).
(2)直线方程为x=-2,即x+2=0.
(3)由斜截式,得y=-4x+7,化成一般式为4x+y-7=0.
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11. [探究点一]设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
解 (1)当直线l过原点时,直线l在x轴和y轴上的截距都为零,显然相等,所以a=2,方程为3x+y=0.当直线l不过原点时,由截距存在且均不为0,得
解得a=0,所以直线l的方程为x+y+2=0.
综上所述,所求直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.
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12.已知两直线的方程分别为l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它们在平面直角坐标系中的位置如图所示,则(　　)
A.b>0,d<0,aB.b>0,d<0,a>c
C.b<0,d>0,a>c
D.b<0,d>0,aC
B 级 关键能力提升练
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14. 已知直线l:(2m+1)x+(m+1)y+m=0经过定点P,直线l'经过点P,且l'的方向向量a=(3,2),则直线l'的方程为(　　)
A.2x-3y+5=0 B.2x-3y-5=0
C.3x-2y+5=0 D.3x-2y-5=0
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15.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是(　　)
D
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16.(多选题)若直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则直线l的斜率为(　　)
A.1 B.-1 C.-2 D.2
BD
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17.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,2),B(-2,0),C(1,0),分别以AB,AC为边向外作正方形ABEF与ACGH,则直线FH方程的一般式为　　　　　　　　　　.
x+4y-14=0　
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解析 过点H,F分别作y轴的垂线,垂足分别为M,N(图略).∵四边形ACGH为正方形,∴Rt△AMH≌Rt△COA,∴AM=OC=1,MH=OA=2, ∴OM=OA+AM=3,∴点H的坐标为(2,3),同理得到F(-2,4),∴直线FH的方程
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18.已知直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都过点A(2,1),则过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是　　　　　　　　.
2x+y+1=0
解析 ∵点A(2,1)在直线a1x+b1y+1=0上,∴2a1+b1+1=0.由此可知点P1(a1,b1)在直线2x+y+1=0上.∵点A(2,1)在直线a2x+b2y+1=0上,∴2a2+b2+1=0.由此可知点P2(a2,b2)也在直线2x+y+1=0上,∴过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是2x+y+1=0.
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19.已知在△ABC中,点A的坐标为(1,3),AB,AC边上的中线所在直线的方程分别为x-2y+1=0和y-1=0,求△ABC各边所在直线的方程.
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20.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)证明:直线l过定点;
(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;
(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.
C 级 学科素养创新练
(1)证明 直线l的方程可化为y=k(x+2)+1,
故无论k取何值,直线l恒过定点(-2,1).
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