资源简介

(共54张PPT)
北师大版 数学 选择性必修第一册
课程标准 1.能根据直线的斜率和在y轴上的截距判断两条直线相交、平行、重合.
2.能利用直线的法向量推导出两条直线平行的条件.
3.能利用直线的法向量推导出两条直线垂直的条件.
4.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　两条直线平行
1.几何方法判断
对于两条不重合的直线l1,l2,倾斜角分别为α1,α2,则　　 　　　　　是l1∥l2的充要条件.
对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2(其中b1≠b2),l1∥l2 　　　;l1与l2相交 　　　　.
倾斜角相等(α1=α2)　
k1=k2
k1≠k2
2.向量方法判断
对于两条不重合的直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0), l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),
它们的法向量分别是n1=(A1,B1),n2=(A2,B2),
(1)l1与l2相交的充要条件是n1与n2不共线,即A1B2≠A2B1.
(2)l1与l2平行的充要条件是n1与n2共线,即A1B2=A2B1.
名师点睛
若没有指明l1,l2不重合,则k1=k2 l1∥l2或l1与l2重合.用斜率相等证明三点共线时,常用到这一结论.
思考辨析
对于两条不重合的直线l1,l2,倾斜角分别为α1,α2,倾斜角相等(α1=α2)是l1∥l2的充要条件吗 若l1∥l2,则一定能推出两直线的斜率相等吗
提示 是充要条件.不一定,两直线的斜率可能均不存在.
自主诊断
1.[2024四川成都月考]已知直线l1的斜率为3,直线l2经过点A(1,2),B(2,a),若直线l1∥l2,则a=　　　　.
5
2.[人教A版教材习题]判断下列不同的直线l1与l2是否平行.
(1)l1的斜率为2,l2经过A(1,2),B(4,8)两点;
(2)l1经过P(3,3),Q(-5,3)两点,l2平行于x轴,但不经过P,Q两点;
(3)l1经过M(-1,0),N(-5,-2)两点,l2经过R(-4,3),S(0,5)两点.
解 (1)由题意,得直线l2的斜率k2= =2,又因为直线l1的斜率k1=2,所以k1=k2,所以直线l1与直线l2平行.
(2)因为l1经过点P(3,3),Q(-5,3),它们的纵坐标相同,所以直线l1平行于x轴.又l2平行于x轴,且不经过P,Q两点,所以直线l1∥l2.
知识点2　两条直线垂直
1.对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1⊥l2 　　　　　.
2.设直线l1,l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0),A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),则l1⊥l2 　　　　　　.
特别适合解决含参数的两直线垂直求参数的问题
k1k2=-1
A1A2+B1B2=0
　　　　　　
名师点睛
1.(1)过点(x0,y0)且与直线Ax+By+C=0平行的直线可表示为A(x-x0)+B(y-y0)=0;
(2)过点(x0,y0)且与Ax+By+C=0垂直的直线可表示为B(x-x0)-A(y-y0)=0;
(3)与直线y=kx+b(k≠0)垂直的所有直线可以表示为y=- x+m;
(4)与直线Ax+By+C=0垂直的所有直线可以表示为Bx-Ay+m=0.
2.“两条直线的斜率之积等于-1”是“这两条直线垂直”的充分不必要条件.因为两条直线垂直时,除了斜率之积等于-1,还可能一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在.
思考辨析
在平面中,直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,m),b=(1,n),当两条直线互相垂直时,可以得出什么结论
提示 mn=-1.
自主诊断
[人教B版教材习题]求下列过点P且与直线l垂直的直线的方程.
(1)P(4,-3),l:x+5y-3=0;
(2)P(3,-5),l:x+y=0;
(3)P(2,3),l:x+y-2=0.
解 (1)5x-y-23=0.
(2)x-y-8=0.
(3)x-y+1=0.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　两条直线平行的判定
【例1】 已知两直线l1:x+my+6=0;l2:(m-2)x+3y+2m=0,求m为何值时,直线l1与l2:(1)相交;(2)平行;(3)重合.
解 ∵直线l1:x+my+6=0,
直线l2:(m-2)x+3y+2m=0,
∴A1=1,B1=m,C1=6,A2=m-2,B2=3,C2=2m.
(1)若l1与l2相交,则A1B2-A2B1≠0,即1×3-m(m-2)≠0,即m2-2m-3≠0,即
(m-3)(m+1)≠0, 即m≠3且m≠-1.故当m≠3且m≠-1时,直线l1与l2相交.
规律方法　判断两条直线是否平行的步骤
变式训练1已知两直线l1:9x-y+a+2=0;l2:ax+(a-2)y+1=0.求a为何值时,直线l1与l2:(1)相交;(2)平行;(3)重合.
探究点二　　两条直线垂直的判定
【例2】 (1)已知直线l1经过点A(3,2),B(3,-1),直线l2经过点M(1,1),N(2,1),判断l1与l2是否垂直;
(2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值;
(3)已知直线l1:ax+(1-a)y=3与l2:(a-1)x+(2a+3)y=2垂直,求a的值.
解 (1)由题意知直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率为0,所以l1⊥l2.
(2)由题意,知直线l2的斜率k2一定存在,直线l1的斜率k1可能不存在.
当直线l1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k2=0,则l1⊥l2,满足题意.
当直线l1的斜率k1存在时,a≠5,
(3)∵l1⊥l2,∴a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,
即a2+2a-3=0,解得a=1或a=-3.
规律方法　判定两直线垂直的步骤
(1)一看:就是看每条直线所给两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在;若不相等,则进行下一步.
(2)二代:就是将点的坐标代入斜率公式.
(3)求值:计算斜率的值,进行判断.
[注意]若已知点的坐标中含有参数,则利用两直线的垂直关系求参数值时,要注意讨论斜率不存在的情况.
变式训练2(1)(多选题)下列各对直线互相垂直的是(　　)
A.l1过点M(1,1),N(1,2),l2过点P(1,5),Q(3,5)
D.l1过点M(1,0),N(4,-5),l2过点P(-6,0),Q(-1,3)
ABD
(2)已知△ABC的顶点为A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC为直角三角形,求m的值.
探究点三　　两直线平行与垂直的综合应用
【例3】 (1)[2024江苏连云港月考]顺次连接点A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),则四边形ABCD是(　　)
A.平行四边形　　　　 B.直角梯形
C.等腰梯形 D.以上都不对
ABD
★(2)如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.
变式探究将例3(2)改为“已知矩形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t)”,其余条件不变,试求顶点R的坐标.
规律方法　1.利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤
2.判定几何图形形状的注意点
(1)在顶点确定的前提下,判定几何图形的形状时,要先画图,猜测其形状,以明确证明的目标.
(2)证明两直线平行时,仅有斜率相等是不够的,还要注意排除两直线重合的情况.
(3)判断四边形形状,要依据四边形的特点,并且明确不会产生其他的情况.
变式训练3(1)已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点,求点D,使直线CD⊥AB,且BC∥AD.
(2)已知四边形ABCD的顶点B(6,-1),C(5,2),D(1,2).若四边形ABCD为直角梯形,求点A坐标.
解 当A=D=90°时,如图①,由已知AB∥DC,AD⊥AB,而kCD=0,故A(1,-1).
当A=B=90°时,如图②.
①
②
学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
A 级 必备知识基础练
1. [探究点一](多选题) 已知直线l1:mx-y-3=0,直线l2:4x-my+6=0,则下列命题是真命题的有(　　)
A.直线l1恒过点(0,-3)
B.存在m使得直线l2的倾斜角为90°
C.若l1∥l2,则m=2或m=-2
D.不存在实数m使得l1⊥l2
AB
15
16
17
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
2.[探究点二]若点P(a,b)与Q(b-1,a+1)不重合且关于直线l对称,则l的倾斜角为(　　)
A.135° B.45° C.30° D.60°
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
3.[探究点一]已知直线l1:ax+(a+2)y+2=0与l2:x+ay+1=0平行,则实数a的值为(　　)
A.-1或2 B.0或2 C.2 D.-1
D
解析 由l1∥l2知,a×a=1×(a+2),即a2-a-2=0,
∴a=2或a=-1.当a=2时,l1与l2重合,不符合题意,舍去;当a=-1时,l1∥l2,∴a=-1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
4.[探究点二]若直线mx+4y-2=0与直线2x-y+n=0垂直,垂足为(1,p),则实数n的值为(　　)
A.-2 B.-4 C.10 D.8
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
5.[探究点一]“m=-1”是“x+my-2m+2=0与直线mx+y-m+1=0平行”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
6.[探究点三](多选题)设平面内四点P(-4,2),Q(6,-4),R(12,6),S(2,12),下面四个结论正确的是(　　)
A.PQ∥SR B.PQ⊥PS
C.PS∥QS D.PR⊥QS
ABD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
7.[探究点一]已知直线l1的斜率是2,l2过点A(-1,-2),B(x,6),且l1∥l2,则
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
8.[探究点二]直线l与直线x+y-2=0垂直,且它在y轴上的截距为4,则直线l的方程为　　　　　.
x-y+4=0
解析 由题意知直线l的斜率是1,又它在y轴上的截距为4,∴直线l的方程是y=x+4,即x-y+4=0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
9.已知直线l的倾斜角为135°,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2:y=- x+1与直线l1平行,则a+b等于(　　)
A.-4 B.-2 C.0 D.2
B
B 级 关键能力提升练
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
10.已知直线l1:xsin α+y-1=0,直线l2:x-3ycos α+1=0.若l1⊥l2,则sin 2α=(　　)
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
11.(多选题)若直线3x+2y+6=0,2x-3m2y+18=0和2mx-3y+12=0围成直角三角形,则m的值可以为(　　)
A.0 B.1 C.-1 D.
ACD
解析 由题意,若直线3x+2y+6=0和2x-3m2y+18=0垂直,可得3×2+2×
(-3m2)=0,解得m=±1.经验证,当m=1时,有两条直线平行,构不成三角形;当m=-1时符合题意.同理,若直线3x+2y+6=0和2mx-3y+12=0垂直,可得6m-6 =0,解得m=1,应舍去;若直线2x-3m2y+18=0和2mx-3y+12=0垂直,可得4m+9m2=0,解得m=0或m= ,经验证均符合题意.故m的值为0,-1, .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
12.过点A(0, )与B(7,0)的直线l1与过点(2,1),(3,k+1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数k等于(　　)
A.-3 B.3 C.-6 D.6
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
13.已知直线x+a2y+6=0和直线(a-2)x+3ay+2a=0没有公共点,则a的值是
(　　)
A.0或3 B.-1或3
C.0或-1或3 D.0或-1
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
14.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根,若l1⊥l2,则b=　　　　　;若l1∥l2,则b=　　　　　.
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
15.设点P(2,5)关于直线x+y=1的对称点为Q,则点Q的坐标为　　　　,过点Q且与直线x+y-3=0垂直的直线方程为　　　　　　　.
(-4,-1)　
x-y+3=0　
解析 设点Q(a,b),
即点Q的坐标为(-4,-1),设与直线x+y-3=0垂直的直线方程为x-y+c=0,将Q(-4,-1)代入该式,得c=3,所以直线方程为x-y+3=0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
16.已知△ABC的顶点分别为A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC为直角三角形,求m的值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
C 级 学科素养创新练

展开更多......

收起↑