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北师大版 数学 选择性必修第一册
课程标准 1.理解圆的一般方程及其特点.
2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化.
3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　圆的一般方程
名师点睛
1.当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点 ;当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.
2.二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项.
3.几个常见圆的一般方程
(1)过原点的圆的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全为0);
(2)圆心在y轴上的圆的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0);
(3)圆心在x轴上的圆的方程:x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);
(4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);
(5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0).
思考辨析
1.把圆的标准方程(x-1)2+(y+2)2=9展开并化为等号右端为零的形式,得到的方程有什么特点
2.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆需要满足哪些条件
提示 展开后得到x2+y2-2x+4y-4=0,方程为二元二次方程,且x2,y2的系数相等且不为零,不含xy项.
提示 需满足的条件为①A=C,且均不为0;②B=0;③D2+E2-4AF>0.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)同一个圆的一般方程可以与它的标准方程互化.(　　)
(2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是某个圆的方程.(　　)
(3)若方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圆,则E≠0.(　　)
(4)在平面直角坐标系中,任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.(　　)
(5)方程x2+y2+2ax+2by+a2+b2=0表示的图形是点(a,b).(　　)
√
×
√
√
×
2.[2024上海宝山期中]方程x2+y2-2ay+a=0表示圆,则实数a的取值范围是　　　　　　　　　.
(-∞,0)∪(1,+∞)
解析 因为方程x2+y2-2ay+a=0表示圆,则4a2-4a>0,解得a>1或a<0,即实数a的取值范围是(-∞,0)∪(1,+∞).
3.[人教B版教材习题]写出下列圆的圆心坐标和半径:
(1)x2+y2-6x=0;
(2)2x2+2y2-4x+8y+5=0.
解 (1)圆心为(3,0),r=3.
4.[人教B版教材习题]已知a,b为实数,判断x2+y2+2ax-b2=0是否是圆的方程,并说明理由.
解 原方程可化为(x+a)2+y2=a2+b2,当a=b=0时,x2+y2=0,不是圆的方程,它表示原点;
当a,b不同时为零时,方程表示圆心为(-a,0),半径为 的圆.
知识点2　由圆的一般方程判断点与圆的位置关系及与圆有关的轨迹问题
1.已知点M(x0,y0)和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则它们的位置关系如下表:
>
=
<
2.点M的坐标(x,y)满足的　　　 　　称为点M的轨迹方程.求符合某种条件的动点M的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标化”将其转化为关于变量x,y之间的方程.
等量关系式
思考辨析
轨迹和轨迹方程有什么区别
提示 轨迹是指点在运动变化中形成的图形,比如直线、圆等.轨迹方程是点的坐标满足的关系式.
自主诊断
1.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),则圆C的圆心的轨迹是(　　)
A.点 B.直线 C.线段 D.圆
D
解析 ∵圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),∴(1-a)2+(0-b)2=1,∴(a-1)2+b2=1, ∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心,1为半径的圆.
2.[人教B版教材习题]已知坐标原点不在圆x2+y2-ay+a-1=0的内部,求实数a的取值范围.
解 ∵(0,0)不在圆的内部,∴将(0,0)代入圆的方程,得a-1≥0,∴a≥1.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　圆的一般方程初步理解
【例1】 若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求实数m的取值范围,并写出圆心坐标和半径.
规律方法　形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圆时可有如下两种方法:
(1)由圆的一般方程的定义,若D2+E2-4F>0成立,则表示圆,否则不表示圆.
(2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解.
应用这两种方法时,要注意所给方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0这种标准形式,若不是,则要化为这种形式再求解.
变式训练1(1)若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则a的值为(　　)
A.1或-2 B.2或-1
C.-1 D.2
C
解析 因为方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0中二次项系数不一定为1,因此若它表示圆,需要二次项的系数相等且不等于0,且转化为一般式后满足
(2)当圆C:x2+y2-4x-2my+2m=0的面积最小时,m的值是(　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
D
解析 把圆C的方程化为标准方程,得(x-2)2+(y-m)2=m2-2m+4,设圆C的半径为r,则有r2=m2-2m+4=(m-1)2+3≥3,所以m=1时,r2取得最小值,从而圆C的面积S=πr2在m=1时取得最小值.故选D.
探究点二　　求圆的一般方程
【例2】 已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1).
(1)求△ABC的外接圆的一般方程;
(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上,求a的值.
解 (1)设△ABC外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由题意,得
(2)由(1)知,△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上,∴a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或a=6.
变式探究1若例2中将“点C(3,-1)”改为“圆C过A,B两点且圆C关于直线
y=-x对称”,其他条件不变,求圆C的方程.
变式探究2将例2改为“已知圆Q过A(2,2),B(5,3),C(3,-1)三点,点M,N在圆Q上”,试求△QMN面积的最大值.
规律方法　应用待定系数法求圆的方程时应注意:
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程,一般采用圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,再用待定系数法求出a,b,r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),再用待定系数法求出常数D,E,F.
变式训练2已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径长为 ,求圆的一般方程.
探究点三　　求动点的轨迹方程
【例3】 已知点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程.
解 (1)设线段AP的中点为M(x,y),则点P的坐标为(2x-2,2y).∵点P在圆x2+y2=4上,∴(2x-2)2+(2y)2=4,整理得(x-1)2+y2=1.故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.
(2)设线段PQ的中点为N(x,y),
在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.
设O为坐标原点,连接ON,∵|OP|=|OQ|,N为PQ的中点,∴ON⊥PQ,∴|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.
变式探究1在本例条件不变的情况下,求过点B的弦的中点T的轨迹方程.
解 设T(x,y),因为点T是过点B的弦的中点,所以OT⊥BT.当斜率存在时,有kOT·kBT=-1.即 =-1,整理得x2+y2-x-y=0.当x=0或1时,点(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)也都在圆上.故所求轨迹方程为x2+y2-x-y=0.
变式探究2本例条件不变,求BP的中点E的轨迹方程.
规律方法　求轨迹方程的3种常用方法
[注意]求出轨迹方程后,要考虑轨迹上应去掉的点及轨迹不存在的情形.
变式训练3已知线段AB的中点C的坐标是(4,3),端点A在圆x2+y2+2x-3=0上运动,求线段AB的端点B的轨迹方程.
解 设点B的坐标是(x,y),点A的坐标是(x0,y0),由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点,所以 ,于是有x0=8-x,y0=6-y.因为点A在圆x2+y2+2x-3=0上运动,所以点A的坐标满足方程x2+y2+2x-3=0,即(x+1)2+y2=4,把x0=8-x,y0=6-y代入上式,得(8-x+1)2+(6-y)2=4,整理,得
(x-9)2+(y-6)2=4.所以点B的轨迹方程为(x-9)2+(y-6)2=4.
学以致用·随堂检测促达标
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A 级 必备知识基础练
1.[探究点一]圆x2+y2-2x+6y+8=0的面积为(　　)
A.8π B.4π C.2π D.π
C
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2.[探究点一](多选题)若圆x2+y2-2ax+3by=0的圆心位于第三象限,则直线x+ay+b=0一定经过(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
ABC
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3.[探究点二]当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以点C为圆心, 为半径的圆的方程为(　　)
A.x2+y2-2x+4y=0 B.x2+y2+2x+4y=0
C.x2+y2+2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0
C
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4.[探究点一]方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r>0)的圆,则该圆的圆心在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
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5.[探究点一]已知点A(-1,-3)是圆C:x2+y2-8x+ay=0上一点,给出下列结论:
①a=6;②圆C的圆心为(4,-3);③圆C的半径为25;④点(1,1)也是圆C上一点.
则所有正确结论的序号是　　　　　.
①②④
解析 由于点A(-1,-3)是圆C:x2+y2-8x+ay=0上一点,所以1+9+8-3a=0,解得a=6,①正确.圆的方程为x2+y2-8x+6y=0,即(x-4)2+(y+3)2=25,故圆心为(4,-3),半径为5,②正确,③错误.(1-4)2+(1+3)2=25,所以点(1,1)也是圆C上一点,④正确.
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6.[探究点三]已知点P是圆x2+y2=16上的动点,A(12,0),M为PA的中点,求点M的轨迹方程.
解 设M(x,y),∵A(12,0),M为PA的中点,
∴P(2x-12,2y).∵点P为圆x2+y2=16上的动点,
∴(2x-12)2+4y2=16,即(x-6)2+y2=4.
故所求轨迹方程为(x-6)2+y2=4.
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B 级 关键能力提升练
7.已知圆C:x2+y2=4,则圆C关于直线l:x-y-3=0对称的圆的方程为(　　)
A.x2+y2-6x+6y+14=0 B.x2+y2+6x-6y+14=0
C.x2+y2-4x+4y+4=0 D.x2+y2+4x-4y+4=0
A
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8.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为 ,则实数a的值为
(　　)
A.0或2 B.0或-2
C.0或 D.-2或2
A
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9.若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则
(a-2)2+(b-2)2的最小值为(　　)
B
解析 由题意得直线l过圆心M(-2,-1),则-2a-b+1=0,即b=-2a+1.所以
(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=5a2+5≥5,所以(a-2)2+(b-2)2的最小值为5.
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10. 若直线l将圆x2+y2-2x-4y-4=0平分,且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为　　　　　　　　　　.
2x-y=0或x+y-3=0
解析 圆x2+y2-2x-4y-4=0化为(x-1)2+(y-2)2=9,圆的圆心坐标为(1,2),半径为3.由直线l将圆x2+y2-2x-4y-4=0平分,则直线l经过圆心(1,2).若在两坐标轴上的截距都为0,则直线过坐标原点,此时直线斜率为2,直线l的方程为y=2x,
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11.点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程.
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解 (1)设线段AP的中点为M(x,y),由中点公式得点P坐标为P(2x-2,2y).因为点P在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.
(2)设线段PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.设O为坐标原点,连接ON(图略),则ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,整理可得线段PQ的中点N的轨迹方程为
x2+y2-x-y-1=0.
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C 级 学科素养创新练
12.设△ABC的顶点坐标 ,其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.
(1)求圆M的方程.
(2)当a变化时,圆M是否过某一定点 请说明理由.
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