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(共63张PPT)
北师大版 数学 选择性必修第一册
课程标准 1.掌握平面上两点间的距离公式.
2.掌握点到直线的距离公式.
3.会求两条平行直线间的距离.
4.会运用坐标法证明简单的平面几何问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　两点间的距离公式
1.平面上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式|AB|=　　　　　　　　　.
2.两点间距离的特殊情况
(1)原点O(0,0)与任一点A(x,y)的距离|OA|=　　　　　　.
(2)当AB∥x轴(y1=y2)时,|AB|=　　　　　　.
(3)当AB∥y轴(x1=x2)时,|AB|=　　　　　　.
名师点睛
两点间的距离公式与两点的先后顺序无关,即上述公式也可以写成
|x2-x1|
|y2-y1|
思考辨析
已知平面内两点A(x1,y1),B(x2,y2),怎样求这两点间的距离
提示 当AB与x轴平行时,|AB|=|x2-x1|;
当AB与y轴平行时,|AB|=|y2-y1|;
当AB与坐标轴不平行时,如图,过点A作x轴的平行线,过点B作y轴的平行线,两条直线相交于点C,则C(x2,y1).在Rt△ABC中,|AB|2=|BC|2+|AC|2,所以
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)P1(0,a),P2(0,b)两点间的距离为a-b.(　　)
(2)已知平面内的两点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k,则直线上A,B两点间的距离
(3)已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a的值为1.(　　)
×
√
×
2.[人教A版教材习题]求下列两点间的距离.
(1)A(6,0),B(-2,0);
(2)C(0,-4),D(0,-1);
(3)P(6,0),Q(0,-2);
(4)M(2,1),N(5,-1).
解(1)8;
(2)3;
3.[人教A版教材习题]已知P(a,2),Q(-2,-3),M(1,1)三点,且|PQ|=|PM|,求a的值.
解 由题意,得|PQ|2=(a+2)2+25,|PM|2=(a-1)2+1.
由|PQ|=|PM|,得|PQ|2=|PM|2,即(a+2)2+25=(a-1)2+1,解得a=- .
知识点2　点到直线的距离公式
1.平面内点到直线的距离,等于过这个点作直线的　　　　所得_________　　　　　　的长度.
2.点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=　　　　　(其中A,B不全为0).
名师点睛
1.运用公式前首先应把直线方程化为一般式.
2.注意公式特征,分子绝对值符号里面是把坐标(x0,y0)代入直线方程Ax+By+C=0(其中A,B不全为0)的左边得到的.当A=0或B=0时,上述公式仍然成立.
垂线
垂线段
思考辨析
在平面直角坐标系中,已知点P(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0),如何求出点P到直线l的距离d呢
提示 设A≠0,B≠0,如图.则直线l与x轴和y轴都相交,过点P分别作x轴和y轴的平行线,交直线l于点R和S,则直线PR的方程为y=y0,R的坐标为
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)点到直线垂线段的长度就是该点到该直线的距离.(　　)
(2)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为
(3)直线外一点与直线上任意一点的距离的最小值是该点到该直线的距离.(　　)
√
×
√
2.[人教A版教材习题]求下列点到直线的距离.
(1)A(-2,3),l:3x+4y+3=0;
(2)B(1,0),l: x+y- =0;
(3)C(1,-2),l:4x+3y=0.
(2)0;
3.[人教B版教材习题]如果点P(m,n)到直线x+y-1=0的距离为0,写出m,n满足的关系式.
解 m+n-1=0.
知识点3　两条平行直线间的距离公式
1.概念:夹在两条平行直线间的　　　　　　的长度就是两条平行直线间的距离.
2.求法:两条平行直线间的距离转化为　　到　　　　的距离.
3.公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离
(其中A,B不全为0,且C1≠C2).

其实质是点到直线的距离
公垂线段
点
直线
名师点睛
两条平行直线间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式,并且x,y分别对应的系数一模一样的情况,如果两平行直线的方程中x,y的系数对应不同,必须先等价转化为系数对应相同才能套用公式.
思考辨析
直线l1:x+y-1=0上有A(1,0),B(0,1),C(-1,2)三点,直线l2:x+y+1=0与直线l1平行,那么点A,B,C到直线l2的距离分别为多少 有什么规律吗
提示 点A,B,C到直线l2的距离均为 .规律是当两直线平行时,一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)连接两条平行直线上的两点就得到平行线间的距离.(　　)
(2)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也可以看作是两条直线上各任意取一点后,两点之间距离的最小值.(　　)
×
√
2.[2024上海长宁期末]两条平行直线4x-3y+5=0和4x-3y-5=0的距离为　　　　.
2
3.[人教A版教材习题]已知两条平行直线l1:3x-4y+6=0与l2:3x-4y+C=0间的距离为3,求C的值.
解 21或-9.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　两点间的距离
【例1】 如图,已知△ABC的三顶点A(-3,1),B(3,-3),C(1,7).
(1)判断△ABC的形状;
(2)求△ABC的面积.
规律方法　计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),则|P1P2|=
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况,可直接利用两点间距离公式的特殊情况求解.
变式训练1已知点A(-1,2),B(2, ),在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.
探究点二　　点到直线的距离
【例2】 求点P(2,-3)到下列直线的距离.
(1)y= ;(2)3y=4;(3)x=3.
规律方法　点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时,只需把直线方程化为一般式,直接应用点到直线的距离公式求解即可.
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x=a或y=b,求点P(x0,y0)到它们的距离时,既可以用点到直线的距离公式,也可以直接写成d=|x0-a|或d=|y0-b|.
(3)若已知点到直线的距离求参数时,只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数.
变式训练2求在两坐标轴上截距相等,且到点A(3,1)的距离为 的直线方程.
探究点三　　两条平行直线间的距离
【例3】 (1)求两条平行直线3x+4y-12=0与mx+8y+6=0之间的距离;
(2)求到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线的方程.
规律方法　求两条平行直线间距离一般有两种方法:
(1)转化法:将两条平行直线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.由于这种求法与点的选择无关,因此,选点时,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算.
(2)公式法:直接用公式 ,但要注意两直线方程中x,y的系数必须分别相同.
变式训练3(1)[2024北京大兴月考]如图,已知直线l1过点(-1,0),(0,1),直线l2过点(1,0),(0,-1),则l1与l2间的距离为(　　)
B
(2)求与直线l:5x-12y+6=0平行且到l的距离为2的直线方程.
探究点四　　距离公式的综合应用
【例4】 (1)在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得点P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大.
(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程.
解 由题意知过P点且与OP垂直的直线到原点O的距离最大,
∵kOP=2,∴所求直线方程为y-2=- (x-1),即x+2y-5=0.
变式探究在本例(1)中,其他条件不变,在直线l上求到点A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小的点P的坐标.
规律方法　
变式训练4(1)(多选题)两条平行直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),它们分别绕P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离的可能取值为(　　)
A.1 B.3 C.5 D.7
ABC
(2)动点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O为原点,求当|OP|最小时,P点的坐标.
解 直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离,此时OP垂直于已知直线,则kOP=1,
∴OP所在直线方程为y=x.
学以致用·随堂检测促达标
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A 级 必备知识基础练
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1.[探究点一]已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是(　　)
A.2 B.4 C.5 D.
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2.[探究点二]已知点(a,1)到直线x-y+1=0的距离为1,则a的值为(　　)
D
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3.[探究点二]点P(a,0)到直线3x+4y-6=0的距离大于3,则实数a的取值范围为(　　)
A.(7,+∞) B.(-∞,-3)
C.(-∞,-3)∪(7,+∞) D.(-3,7)
C
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4.[探究点四]点P(2,3)到直线ax+(a-1)y+3=0的距离d最大时,d与a的值依次为(　　)
A.3,-3 B.5,2 C.5,1 D.7,1
C
解析 直线ax+(a-1)y+3=0恒过点A(-3,3),根据已知条件可知当直线 ax+(a-1)y+3=0与AP垂直时,点P到该直线的距离最大,最大值为AP=5,此时因为kAP=0,故直线ax+(a-1)y+3=0的斜率不存在,所以a=1.故选C.
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5.[探究点三](多选题)与直线2x+y+1=0的距离等于 的直线方程可以
为(　　)
A.2x+y=0 B.2x-y=0
C.2x+y-2=0 D.2x+y+2=0
AD
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6.[探究点四]已知△ABC的顶点A(3,8),B(-11,3),C(-8,-2),则BC边上的高AD的长度为　　　　　.
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7.[探究点四]如图,已知直线l1:x+y-1=0,现将直线l1向上平移到直线l2的位置,若l2,l1和坐标轴围成的梯形面积为4,则l2的方程为　　　　　.
x+y-3=0
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B 级 关键能力提升练
8.点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为(　　)
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9.(多选题)两条平行直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),它们分别绕P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离可能取值为(　　)
A.1 B.3 C.5 D.7
ABC
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10.在平面直角坐标系中,若点(2,b)到原点的距离不小于5,则b的取值范围是　　　　　 　　.
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11.[2024山东日照期末]已知点M(-1,1),N(3,-3),且过点P(3,0)的直线l分别到点M,N的距离相等,则直线l的斜率为　　　　　.
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13.若直线l1:2x+my+1=0与直线l2:y=3x-1平行,则m=　　　　　,此时直线l1与l2之间的距离为　　　　　.
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C 级 学科素养创新练
14.在数学中,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,
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15.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1和l2的距离是 .
(1)求a的值.
(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点;②P点到l1的距离是P点到l2的距离的 ;③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是 .若能,求出P点坐标;若不能,请说明理由.
(2)设点P(x0,y0).
若P点满足条件①,则x0>0,y0>0.
若P点满足条件②,
则P点在与l1,l2平行的直线l':2x-y+C=0上,
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