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(共53张PPT)
课程标准 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系.
基础落实·必备知识一遍过
知识点　两条直线的交点
1.一般地,对于两条不重合的直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,我们可以用直线的斜率(斜率存在时)或法向量先定性判断两条直线是否相交,若相交,则依据直线方程的概念可知,两条直线l1,l2交点的坐标就是两个方
程的公共解.因此,可通过解方程组 得到两条直线l1,l2的交点坐标.
方法是消元法
2.
方程组 的解 一组 无数组 无解
直线l1和l2公共点的个数 1 无数 0
直线l1和l2的位置关系 　　 　　 　　
名师点睛
若两条直线相交,则交点坐标分别适合两条直线的方程,即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解.
相交
重合　
平行
思考辨析
1.观察下面的直线,发现这些直线都经过点M(4,1),怎么表示出经过点M的直线方程呢
提示 当直线的斜率存在时,y-1=k(x-4)(k∈R);当直线的斜率不存在时,x=4.
2.由两条直线的方程l1:2x-y+3=0,l2:x-2y+6=0,如何判断l1,l2是否相交呢 若相交,如何求出其交点坐标呢
提示 因为直线l1的斜率是2,直线l2的斜率是 ,所以l1与l2不平行,又l1与l2不重合,所以直线l1,l2一定相交.由于l1,l2的交点既在直线l1上,又在直线l2上,也就是说,交点坐标既满足方程2x-y+3=0,又满足方程x-2y+6=0.将这两个方程联立即可求出交点的坐标.解方程组 所以这两条直线的交点坐标为(0,3).
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交.(　　)
(2)若两直线相交,则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.(　　)
(3)无论m为何值,直线x-y+1=0与x-2my+3=0必相交.(　　)
×
√
×
2.[人教A版教材习题]求下列两条直线的交点坐标,并画出图形.
(1)l1:2x+3y=12,l2:x-2y=4;
(2)l1:x=2,l2:3x+2y-12=0.
①
②
3.[人教B版教材习题]判断下列各对直线是否相交,如果相交,求出交点坐标:
(1)l1:2x+y=7,l2:4x+2y=1;
(2)l1:x-3y+2=0,l2:y=3x+4.
解 (1)平行.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　两条直线的交点问题
【例1】 分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点坐标.
(1)l1:2x-y-7=0和l2:3x+2y-7=0;
(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;
(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.
规律方法　求两相交直线的交点坐标
(1)求两相交直线的交点坐标,关键是解方程组.
(2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法.
变式训练1经过两点A(-2,5),B(1,-4)的直线l与x轴的交点的坐标是(　　)
A
解析 过点A(-2,5)和B(1,-4)的直线l的方程为3x+y+1=0,故直线l与x轴的交点的坐标为(- ,0).
探究点二　　求过两条直线交点的直线方程
【例2】 求过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.
变式探究1求过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0垂直的直线方程.
变式探究2求过直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点与原点的直线方程.
规律方法　求过两直线交点的直线方程的方法
(1)方程组法:一般是先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件求出直线方程.
(2)直线系法:求解的步骤
变式训练2直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0的交点,则直线l的方程为(　　)
A.2x+y=0 B.2x-y=0
C.x+2y=0 D.x-2y=0
B
解析 由题意,设直线l的方程为2x+3y+8+λ(x-y-1)=0(λ∈R),即(2+λ)x+(3-λ)y +8-λ=0,因为直线l过原点,所以λ=8.则直线l的方程为2x-y=0.
探究点三　　根据交点求参数的值或取值范围
【例3】 (1)若集合{(x,y)|x+y-2=0且x-2y+4=0} {(x,y)|y=3x+b},则b=　　　　.
2
(2)已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围是　　　　　　.
规律方法　解决此类问题的关键是先利用方程思想,联立两方程,求出交点坐标;再由点在某个象限时坐标的符号特征,列出不等式组进而求得参数的取值范围.
变式训练3 (1)若直线l:y=kx- 与直线x+y-3=0相交,且交点在第一象限,则直线l的倾斜角θ的取值范围是(　　)
C
(2)已知直线ax+2y-1=0与直线2x-5y+c=0垂直相交于点(1,m),则m=　　　　.
解析 两直线垂直得2a-10=0,解得a=5.又点(1,m)在直线上,所以a+2m-1=0,所以m=-2.
-2
探究点四　 与两条直线交点有关的证明问题
【例4】 已知A(1,4),B(-2,-1),C(4,1)是△ABC的三个顶点,求证:△ABC的三条高所在的直线交于一点.
规律方法　证明平面几何中的三条直线交于一点的基本思路:先求其中两条直线的交点坐标,然后证明这一点在第三条直线上.
变式训练4已知m为实数,设直线l1的方程为2x+my=1,直线l2的方程为mx+8y=m-2.当l1与l2相交时,用m表示交点A的坐标,并证明点A一定在某一条定直线上.
学以致用·随堂检测促达标
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A 级 必备知识基础练
1.[探究点一]方程(a-1)x-y+2a+1=0(a∈R)所表示的直线(　　)
A.恒过定点(-2,3) B.恒过定点(2,3)
C.恒过点(-2,3)和点(2,3) D.都是平行直线
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2.[探究点二]过直线x+y-3=0和2x-y+6=0的交点,且与直线2x+y-3=0垂直的直线方程是(　　)
A.4x+2y-9=0 B.4x-2y+9=0
C.x+2y-9=0 D.x-2y+9=0
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3. [探究点二]过两直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为(　　)
A.3x-19y=0 B.19x-3y=0 C.19x+3y=0 D.3x+19y=0
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4. [探究点三]若两条直线x-my+4=0和2mx+5y-4m=0的交点在第二象限,则m的取值范围是(　　)
C
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5. [探究点三]若直线l1:x+by=1与直线l2:x-y=a的交点坐标为(0,2),则a=　　　　,b=　　　　.
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6.[探究点一]当0　　　　　象限.
二
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7. [探究点三]已知直线Ax+3y+C=0与直线2x-3y+4=0的交点在y轴上,则C的值为　　　　　.
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8.[探究点四]证明三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0不能围成三角形的充要条件是a=-1或a=1或a=-2.
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9.已知直线l过直线2x+y-5=0和直线x+2y-4=0的交点,且在两坐标轴上的截距互为相反数,则直线l的方程为(　　)
A.x-y-1=0
B.x+y-3=0或x-2y=0
C.x-y-1=0或x-2y=0
D.x+y-3=0或x-y-1=0
C
B 级 关键能力提升练
因为直线l在两坐标轴上的截距互为相反数,
①当直线l在两坐标轴上的截距不为0时,可设直线l的方程为x-y=a,直线l过两直线的交点,所以把(2,1)代入x-y=a,解得a=1,则直线l的方程为x-y=1,即x-y-1=0;
②当直线l在两坐标轴上的截距都等于0时,设直线l的方程为y=kx(k≠0),直线l过两直线的交点,所以把(2,1)代入y=kx,解得k= ,所以直线l的方程为
y= x,即x-2y=0.
综合①②,直线l的方程为x-y-1=0或x-2y=0.
故选C.
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10.若三条直线x+3y+7=0,x-y-1=0,x+2ny+n=0能围成一个三角形,则n的值可能是(　　)
B
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11.(多选题)已知三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0交于一点,则坐标(m,n)可能是(　　)
A.(1,-3) B.(3,-4)
C.(-3,1) D.(-4,3)
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12.已知直线ax+y+a+2=0恒过一个定点,则过这一定点和原点的直线方程是　 .
2x-y=0
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13.已知直线l:x+y-2=0,一束光线从点P(0,1+ )以120°的倾斜角投射到直线l上,经l反射,则反射光线所在的直线方程为　　　　 　　　.
解析 如图,设入射光线与l交于点Q,反射光线与x轴交于点P',
由入射光线倾斜角为120°可得入射光线所在直线的斜率为- ,
又入射光线过点P(0,1+ ),
过点Q作垂直于l的直线l',显然直线l'的方程为y=x.
由反射原理知,点P(0,1+ )关于l'的对称点P'(1+ ,0)
必在反射光线所在的直线上.
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14.已知两直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4(0C 级 学科素养创新练
解 由题可知两直线l1与l2都过点(2,2),如图所示.
设两直线l1,l2的交点为C(2,2),且两直线的斜率分别为k1和k2,
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