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(共52张PPT)
北师大版 数学 选择性必修第一册
课程标准 1.会用定义推导圆的标准方程,并掌握圆的标准方程的特征.
2.能根据所给条件求圆的标准方程.
3.掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　圆的标准方程
定长
圆心
半径
圆心
半径
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
名师点睛
1.当圆心在原点即A(0,0),半径长为r(r>0)时,方程为x2+y2=r2.
2.当圆心在原点即A(0,0),半径长r=1时,方程为x2+y2=1,称为单位圆.
3.相同的圆,建立的坐标系不同时,圆心坐标不同,导致圆的方程不同,但是半径是不变的.
思考辨析
在初中平面几何中,我们已经学习了圆的定义,那么确定圆的要素是什么 各要素对圆有什么影响
提示 确定圆的要素:圆心和半径.圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2一定表示圆.(　　)
(2)若要确定一个圆,只要给出半径即可.(　　)
(3)圆(x+1)2+(y+2)2=10的圆心坐标是(1,2),半径是10.(　　)
×
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2.[人教B版教材习题]分别写出满足下列条件的圆的标准方程:
(1)圆心为坐标原点,半径为2;
(2)圆心为点(0,1),半径为2;
(3)圆心为点(-2,1),半径为 .
解 (1)x2+y2=4.
(2)x2+(y-1)2=4.
(3)(x+2)2+(y-1)2=3.
3.[人教B版教材习题]求出下列方程表示的圆的圆心坐标和半径:
(1)x2+y2=5;
(2)(x-3)2+y2=4;
(3)x2+(y+1)2=2;
(4)(x+2)2+(y-1)2=3.
解 (1)圆心C(0,0),半径r= .
(2)圆心C(3,0),半径r=2.
(3)圆心C(0,-1),半径r= .
(4)圆心C(-2,1),半径r= .
知识点2　点与圆的位置关系
圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),设
位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标特点
点在圆外 d>r
(x0-a)2+(y0-b)2　　r2
点在圆上 d=r
(x0-a)2+(y0-b)2　　r2
点在圆内 d(x0-a)2+(y0-b)2　　r2
>
=
<
思考辨析
已知点P(x0,y0)和圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),试写出点P在圆C上,在圆C内,在圆C外的充要条件.
提示 点P在圆C上 (x0-a)2+(y0-b)2=r2(r>0);
点P在圆C内 (x0-a)2+(y0-b)20);
点P在圆C外 (x0-a)2+(y0-b)2>r2(r>0).
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)点(0,0)在圆(x-1)2+(y-2)2=1上.(　　)
(2)点(a,b)一定在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)内部.(　　)
(3)点P(1,3)在以A(2,-1)为圆心,半径为5的圆外.(　　)
×
√
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2.若点P(-1, )在圆x2+y2=m2上,则实数m=　　　　.
±2
知识点3　圆x2+y2=r2(r>0)的几何性质
1.范围
圆上任意一点P(x,y)都满足不等式　　　　,|y|≤r.　　　
2.对称性
圆x2+y2=r2是关于　　　和　　　的轴对称图形,也是关于　　　　的中心对称图形.
　　　　　　　
对称轴并非只有这两条
|x|≤r
x轴
　y轴
原点
思考辨析
1.对于圆x2+y2=1,该圆上任意一点P(x,y)的坐标x与y应满足的条件是什么


2.对于圆x2+y2=1上的任意一点P(x,y),关于原点的对称点(-x,-y),关于x轴的对称点(x,-y),关于y轴的对称点(-x,y)是否在该圆上
提示 |x|≤1,|y|≤1.
提示 在该圆上.
自主诊断
1.若直线x+y-3=0始终平分圆(x-a)2+(y-b)2=2的周长,则a+b等于(　　)　　　　　　　　　　　　　
A.3 B.2
C.5 D.1
A
解析 由题意可知,圆心(a,b)在直线x+y-3=0上,∴a+b-3=0,即a+b=3.
2.[人教B版教材习题]已知A(x1,y1),B(x2,y2)是圆的一条直径的两个端点,证明圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
解 设P(x,y)为圆上一动点,则|PA|2=(x-x1)2+(y-y1)2,|PB|2=(x-x2)2+(y-y2)2, |AB|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2.因为|PA|2+|PB|2=|AB|2,所以代入,化简得
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　求圆的标准方程
【例1】 (1)求圆心是(4,0),且过点(2,2)的圆的标准方程;
解 r2=(2-4)2+(2-0)2=8,
∴圆的标准方程为(x-4)2+y2=8.
(2)求圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的标准方程.
解 (方法一)设点C为圆心,
∵点C在直线x-2y-3=0上,∴可设点C的坐标为(2a+3,a).
又该圆经过A,B两点,∴|CA|=|CB|.
解得a=-2.
∴圆心坐标为C(-1,-2),半径r= .
故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
(方法二)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心坐标为(a,b),
故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
规律方法　圆的标准方程的两种求法
(1)几何法
它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程.
(2)待定系数法
由三个独立条件得到三个方程,通过解方程组来得到圆的标准方程中的三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤:
变式训练1(1)求圆心在y轴上,半径为5,且过点(3,-4)的圆的标准方程.
解 设圆心为C(0,b),则(3-0)2+(-4-b)2=52,解得b=0或b=-8,∴圆心为(0,0)或(0,-8).
又r=5,∴圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y+8)2=25.
(2)已知圆过点A(1,-2),B(-1,4),求:
①周长最小的圆的方程;
②圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程.
(方法二)待定系数法.
设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
∴圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=20.
探究点二　　点与圆的位置关系
【例2】 点P(m,5)与圆x2+y2=24的位置关系是(　　)
A.点P在圆内 B.点P在圆外
C.点P在圆上 D.不确定
B
解析 由m2+52=m2+25>24,得点P在圆外.
变式探究1将本例条件改为“点P(m,5)在圆(x-1)2+y2=26上”,则m的值为　　　　.
0或2
解析 由题意知(m-1)2+52=26,则(m-1)2=1,即m-1=±1,所以m=0或m=2.
变式探究2将本例条件改为“点P(m,5)在圆(x-1)2+y2=26内部”,则m的取值范围是　　　　　　.
(0,2)
解析 由题意知(m-1)2+52<26,
即(m-1)2<1,解得0规律方法　1.判断点与圆的位置关系的方法
(1)只需计算该点与圆心之间的距离,与半径作比较即可.
(2)把点的坐标代入圆的标准方程左边,判断式子两边的大小,并作出判断.
2.灵活运用
若已知点与圆的位置关系,也可利用以上两种方法列出不等式或方程,求解参数的取值范围或值.
变式训练2已知a,b是方程x2-x- =0的两个不相等的实数根,则点P(a,b)与圆C:x2+y2=8的位置关系是(　　)
A.点P在圆C内 B.点P在圆C外
C.点P在圆C上 D.无法确定
A
学以致用·随堂检测促达标
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A 级 必备知识基础练
1.[探究点一]圆心是C(-3,4),半径长为5的圆的标准方程为(　　)
A.(x-3)2+(y+4)2=5
B.(x-3)2+(y+4)2=25
C.(x+3)2+(y-4)2=5
D.(x+3)2+(y-4)2=25
D
解析 将C(-3,4),r=5代入圆的标准方程可得.
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2.[探究点一·2024四川泸州期末]已知O为坐标原点,A(2,2),则以OA为直径的圆的标准方程为(　　)
A.(x+1)2+(y+1)2=2
B.(x-1)2+(y-1)2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=8
D.(x+1)2+(y+1)2=8
B
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3.[探究点一]已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则直线l的方程是(　　)
A.x+y-2=0 B.x-y+2=0
C.x+y-3=0 D.x-y+3=0
D
解析 圆x2+(y-3)2=4的圆心为点(0,3),又直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1.由直线方程的点斜式,得直线l的方程为y-3=x-0,化简得 x-y+3=0.
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4.[探究点二]点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则实数a的取值范围
是(　　)
D
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5.[探究点一]与圆(x-2)2+(y+3)2=16有公共圆心,且过点P(-1,1)的圆的标准方程是　　　 　.
(x-2)2+(y+3)2=25
解析 由题意得所求圆的圆心为(2,-3),设所求圆的半径为r,则r2=(-1-2)2 +(1+3)2=25,所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
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6.[探究点二]若点P(-1, )在圆x2+y2=m2上,则实数m=　　　　　.
±2
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7.[探究点一]已知圆心在第二象限,半径为2的圆C与两坐标轴都相切,则圆C的标准方程为　　　　　　　　　;与圆C关于直线x-y+2=0对称的圆的标准方程为　　　　　　　　　.
(x+2)2+(y-2)2=4　
x2+y2=4
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8.[探究点一]求圆心在直线l:x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的标准方程.
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9.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心, 为半径的圆的方程为(　　)
A.(x-1)2+(y+2)2=5
B.(x+1)2+(y+2)2=5
C.(x+1)2+(y-2)2=5
D.(x-1)2+(y-2)2=5
B 级 关键能力提升练
C
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10.已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
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11.(多选题)已知圆C:(x-a)2+y2=4(a为常数,a∈R)不经过第二象限,则实数a可取的值为(　　)
A.-2 B.0 C.2 D.4
CD
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12. 圆x2+(y+1)2=4关于直线x-y-2=0的对称圆的标准方程为　　　　　　　　　　.
(x-1)2+(y+2)2=4
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13.圆(x-1)2+(y-1)2=1上的点到直线x-y=2的距离的最大值是　　　　　.
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14.已知圆C经过A(6,1),B(3,-2)两点,且圆心C在直线x+2y-3=0上.
(1)求经过点A,并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程;
(2)求圆C的标准方程.
解 (1)当直线过原点时,直线的方程为x-6y=0;
当直线不过原点时,设直线的方程为x+y=a,
将点A(6,1)代入解得a=7,即直线的方程为x+y-7=0,
所以所求直线的方程为x-6y=0或x+y-7=0.
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C 级 学科素养创新练
15.等腰三角形ABC底边上的高等于4,底边两端点的坐标分别是B(-3,0)和C(3,0),求它的外接圆的方程.
图①
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图②

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