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北师大版 数学 选择性必修第一册
课程标准 1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　直线与圆的三种位置关系
位置关系 交点个数
相交 有　　　　公共点
相切 只有　　　　公共点
相离 　　　　公共点
两个
一个
没有
思考辨析
利用几何法、代数法都可以判断直线与圆的位置关系,哪种方法简单
提示 一般几何法较为简单.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交.(　　)
(2)过半径外端的直线与圆相切.(　　)
(3)直线l:x=0与圆x2+y2=1的位置关系是相交且过圆心.(　　)
(4)若直线x-y+a=0与圆x2+y2=a(a>0)相切,则a等于4.(　　)
×
×
√
×
2.[2024江苏南通期末]已知圆(x-2)2+(y+3)2=r2与y轴相切,则r=(　　)
C
解析 由圆(x-2)2+(y+3)2=r2的方程可得圆心的坐标(2,-3),再由圆与y轴相切,可得半径r=2,故选C.
3.[人教B版教材习题]已知直线2x+y-5=0和圆(x-1)2+(y+2)2=6.
(1)求圆心到直线的距离d;
(2)判断直线与圆的位置关系.
知识点2　直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2位置关系的判断
几何法为常用方法
位置关系 相交 相切 相离
公共点 　　个 　　个 　　个
判定
方法
几何法:设圆心到直线的距离
d　 r d　 r d　 r
代数法:由 消元得到
一元二次方程的判别式Δ Δ　 0 Δ　 0 Δ　 0
两
一
零
<
=
>
>
=
<
思考辨析
如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系
提示 转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解来判断直线与圆的位置关系,相比几何法用方程组研究位置关系计算量较大,但用代数的方法可以更精确地处理各种数据的关系.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)如果直线与圆的方程组成的方程组有解,则直线和圆相交.(　　)
(2)若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.(　　)
×
√
2.[人教B版教材习题]判断下列直线与圆的位置关系:
(1)直线4x-3y+6=0与圆x2+y2-8x+2y-8=0;
(2)直线2x-y+5=0与圆x2+y2-4x+3=0.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　　判断直线与圆的位置关系
【例1】 当a为何值时,直线4x-3y+a=0与圆x2+y2=100分别有如下关系:(1)相交;(2)相切;(3)相离
消去y,整理得25x2+8ax+a2-900=0.
Δ=(8a)2-4×25(a2-900)=-36a2+90 000.
(1)当直线和圆相交时,Δ>0,
即-36a2+90 000>0,得-50(2)当直线和圆相切时,Δ=0,即a=50或a=-50;
(3)当直线和圆相离时,Δ<0,即a<-50或a>50.
规律方法　直线与圆的位置关系的判断方法
方法一 几何法 由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断
方法二 代数法 根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断
方法三 直线系法 若直线恒过定点,可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性,必须是过定点的直线系
变式训练1已知直线l:x-2y+5=0与圆C:(x-7)2+(y-1)2=36,判断直线l与圆C的位置关系.
解 (方法一:代数法)
得5x2-50x+61=0.
∵Δ=(-50)2-4×5×61=1 280>0,
∴该方程组有两组不同的实数解,即直线l与圆C相交.
(方法二:几何法)
∵d探究点二　　直线与圆相切
【例2】 (1)已知直线x+y=0与圆(x-1)2+(y-b)2=2相切,则b=(　　)　　　　　　　　　　　　　
A.-3 B.1
C. D.-3或1
D
★(2)过点A(4,-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程及其切线长.
解 因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1,所以点A在圆外.
若所求直线的斜率存在,设切线的斜率为k,
则切线方程为y+3=k(x-4),即kx-y-4k-3=0.
设圆心为C,因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1,
若所求直线的斜率不存在,圆心C(3,1)到直线x=4的距离为1,这时直线x=4与圆相切,所以另一条切线方程为x=4.
综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.
因为圆心C的坐标为(3,1),
设切点为B,则△ABC为直角三角形,
规律方法　求过某一点的圆的切线方程,首先判断点与圆的位置关系,以确定切线的数目.
(1)求过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程:如果斜率存在且不为0,先求切点与圆心连线的斜率k,则由垂直关系知切线的斜率为 ,由由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为y=y0或x=x0.
(2)求圆外一点P(x0,y0)的圆的切线时,常用几何方法求解:
设切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,进而求出切线方程.但要注意,若求出的k值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,可由数形结合求出.
变式训练2(1) 由直线y=x+1上任一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则该切线长的最小值为(　　)
C
(2)过点P(2,3)且与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的直线的方程为　　　　　　.
x=2或y=3
解析 ∵由题知,点P(2,3)在圆(x-1)2+(y-2)2=1外,
∴过点P(2,3)与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的直线有两条.
当斜率存在时,设切线的斜率为k,
则切线方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,
∴切线方程为y=3.
当斜率不存在时,切线方程为x=2.
综上,切线方程为x=2,或y=3.
探究点三　　直线与圆相交
【例3—1】 过圆x2+y2=8内的点P(-1,2)作直线l交圆于A,B两点.若直线l的倾斜角为135°,则弦AB的长为　　　　.
【例3-2】 已知圆的方程为x2+y2=8,圆内有一点P(-1,2),AB为过点P且倾斜角为α的弦.
(1)当α=135°时,求AB的长;
(2)当弦AB被点P平分时,求直线AB的方程.
(方法二:代数法)
当α=135°时,直线AB的方程为y-2=-(x+1),即y=-x+1,代入x2+y2=8,
得2x2-2x-7=0.
规律方法　直线与圆相交时弦长的两种求法
(1)几何法:如图1,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,
变式训练3圆心为C(2,-1),截直线y=x-1的弦长为2 的圆的方程为　　　　 　　　.
(x-2)2+(y+1)2=4
★变式训练4[人教B版教材习题]已知直线x-y+1=0与圆C:
x2+y2-4x-2y+m=0交于A,B两点.
(1)求线段AB的垂直平分线的方程;
(2)若|AB|=2 ,求m的值.
解 (1)由题意,线段AB的垂直平分线经过圆的圆心(2,1),斜率为-1,
∴线段AB的垂直平分线的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.
学以致用·随堂检测促达标
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A 级 必备知识基础练
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1.[探究点一]已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是(　　)
A.相切 B.相交
C.相离 D.不确定
B
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2.[探究点三]直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<5)相交于A,B两点,若弦AB的中点为C(-2,3),则直线l的方程为(　　)
A.x-y+5=0 B.x+y-1=0
C.x-y-5=0 D.x+y-3=0
A
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3.[探究点三](多选题)若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2 ,则实数a的值为(　　)
A.0 B.4 C.-2 D.
AB
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4.[探究点二](多选题)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程可以是(　　)
A.2x+y+ =0 B.2x+y- =0
C.2x+y+5=0 D.2x+y-5=0
CD
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5.[探究点三]圆x2+y2-4x+6y-12=0过点(-1,0)的最大弦长为　　　　 ,最小弦长为　　　　 .
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解析 圆的方程x2+y2-4x+6y-12=0化为标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25,所以圆心为(2,-3),半径r为5.因为(-1-2)2+(0+3)2=18<25,所以点(-1,0)在已知圆的内部,则最大弦长即为圆的直径的长,为10.当(-1,0)为弦的中点时,弦长最小,
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6.[探究点二]若直线y=kx与圆x2+y2-6x+8=0相切,且切点在第四象限,则k=　　　　　.
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7.[探究点二]过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别为P,Q,则线段PQ的长为　　　　　.
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8.[探究点一、二]已知曲线C:x2+y2+2x+4y+m=0.
(1)当m为何值时,曲线C表示圆
(2)若直线l:y=x-m与圆C相切,求m的值.
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解 (1)由圆C:x2+y2+2x+4y+m=0,得(x+1)2+(y+2)2=5-m,
由5-m>0时,得m<5,∴当m<5时,曲线C表示圆.
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B 级 关键能力提升练
9.在圆x2+y2+2x+4y-3=0上且到直线x+y+1=0的距离为 的点共有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
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A.k=± B.k=±2
C.k<-2或k>2 D.k<-3或k>3
AC
解析 由题意知,直线y=kx+2与半圆x2+y2=1(y≥0)只有一个交点,结合图形(图略)易得k<-2或k>2或k=± .故选AC.
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11.(多选题)已知点A是直线l:x+y- =0上一定点,点P,Q是圆x2+y2=1上的动点,若∠PAQ的最大值为90°,则点A的坐标可以是(　　)
AC
由图可知,当AP,AQ均为圆x2+y2=1的切线时,∠PAQ最大.
连接OP,OQ,由于∠PAQ最大为90°,且∠APO=∠AQO=90°,|OP|=|OQ|=1,
解析 如图所示,圆心到直线l的距离为 ,则直线l与圆x2+y2=1相切.
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12. 经过A(2,0),B(0,2),C(2,4)三点的圆与直线kx-y+2-4k=0的位置关系为(　)
A.相交 B.相切
C.相交或相切 D.无法确定
A
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13.(多选题)在平面直角坐标系Oxy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过点P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值可以是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
AB
解析 圆的方程x2+y2-4x=0可化为(x-2)2+y2=4.因为过点P所作的圆的两条切线相互垂直,所以点P,圆心C,圆的两切点是构成一个正方形的四个顶点,所以PC=2 .因为点P在直线y=k(x+1)上,所以圆心到直线的距离
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14.已知直线l:mx+(1-m)y-1=0(m∈R)与圆O:x2+y2=8交于A,B两点,C,D分别为OA,AB的中点,则|AB|·|CD|的最小值为　　　　.
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15.如图,某市有相交于点O的一条东西走向的公路l,与南北走向的公路m,这两条公路都与一块半径为1(单位:千米)的圆形商城A相切.根据市民建议,欲再新建一条公路PQ,点P,Q分别在公路l,m上,且要求PQ与圆形商城A也
相切.
(1)当P距O处4千米时,求OQ的长;
(2)当公路PQ长最短时,求OQ的长.
C 级 学科素养创新练
解 (1)以O为原点,直线l,m分别为x,y轴建立平面直角坐标系.设点Q坐标为(0,b),设PQ与圆A相切于点B,连接AB(图略),以1千米为单位长度,则圆A的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,由题意可设直线PQ的方程为 =1(b>2),即
bx+4y-4b=0,
∵PQ与圆A相切,∴ =1,解得b=3,故当P距O处4千米时,OQ的长为3千米.
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