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(共67张PPT)
北师大版 数学 选择性必修第一册
课程标准 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.
2.能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系.
3.能综合应用圆与圆的位置关系解决问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点　圆与圆的位置关系及判定
1.圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种,分别为　　　　、　　　　、　　　　、
　　　　、　　　　.
外离
外切
相交
内切
内含
2.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法:若两圆的半径分别为r1,r2,两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判断方法如下:
d>r1+r2
d=r1+r2
r1+r2
d=|r1-r2|
d<|r1-r2|　
(2)代数法:　 代数法不能区分内切与外切,内含与外离
消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程,
则①判别式Δ>0时,C1与C2相交;
②判别式Δ=0时,C1与C2　　 　　　;
③判别式Δ<0时,C1与C2　　　 　　.
外切或内切　
外离或内含
思考辨析
1.当两圆外离、外切、相交、内切、内含时,公切线的条数分别是多少
2.当两圆相交、外切、内切时,连心线有什么性质
3.如果两圆相交,如何得到这两圆的公共弦所在的直线方程
提示 公切线的条数分别是4,3,2,1,0.
提示 当两圆相交时,连心线垂直平分公共弦;当两圆外切时,连心线垂直于过两圆公共点的公切线;当两圆内切时,连心线垂直于两圆的公切线.
提示 当两圆相交时,把两圆的一般方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程.
自主诊断
1.[2024江苏淮安期末]若圆C1:x2+y2=4与圆C2:(x-3)2+(y+m)2=25外切,则实数m=　　　　　.
解析 根据题意,圆C1:x2+y2=4,圆心为C1(0,0),半径为R=2,圆C2:
(x-3)2+ (y+m)2=25,圆心为C2(3,-m),半径r=5,若圆C1:x2+y2=4与圆C2:
x2+y2-6x-8y+m=0外切,则有|C1C2|=
2.[人教B版教材习题]分别指出下列两圆的位置关系(外离、外切、相交、内切、内含):
(1)x2+y2-4x-6y+9=0和x2+y2+12x+6y-19=0;
(2)x2+y2+2x-2y-2=0和x2+y2-4x-6y-3=0.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　两圆的位置关系
角度1.两圆位置关系的判断
【例1】 (1)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是
2 ,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(　　)
A.内切 B.相交
C.外切 D.外离
B
(2)已知圆C1:x2+y2-2x+4y+4=0和圆C2:4x2+4y2-16x+8y+19=0,则这两个圆的公切线的条数为(　　)
A.1或3 B.4 C.0 D.2
D
角度2.已知两圆位置关系求参数
【例2】 当a分别为何值时,圆C1:x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和圆C2:
x2+y2+2x-2ay+a2-3=0:
(1)外切;(2)相交;(3)外离
解 将两圆方程化为标准方程,则圆C1:(x-a)2+(y+2)2=9,圆C2:
(x+1)2+(y-a)2=4.
∴两圆的圆心和半径分别为C1(a,-2),r1=3,C2(-1,a),r2=2.
设两圆的圆心距为d,则d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5.
(1)当d=5,即2a2+6a+5=25时,两圆外切,此时a=-5或a=2;
(2)当1(3)当d>5,即2a2+6a+5>25时,两圆外离,此时a>2或a<-5.
规律方法　1.判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤:
(1)将圆的方程化成标准方程,写出圆心和两圆的半径r1,r2.
(2)计算两圆圆心的距离d.
(3)通过d,r1+r2,|r1-r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的取值范围,必要时可数形结合.
2.应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的取值范围是非常简单清晰的,要理清圆心距与两圆半径的关系.
变式训练1(1)圆(x-4)2+y2=9和圆x2+(y-3)2=4的公切线条数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
C
★(2)[2024福建福州期末]已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0和圆C2: x2+y2+4x=0.
①当m=2时,判断圆C1和圆C2的位置关系.
②是否存在实数m,使得圆C1和圆C2内含 若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
探究点二　　两圆相交问题
【例3】 (1)圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0的公共弦所在的直线l被圆C3:(x-1)2+(y-1)2= 所截得的弦长为　　　　.
★(2)已知圆C1:x2+y2+6x-4=0和圆C2:x2+y2+6y-28=0.
①求两圆公共弦所在直线的方程及弦长;
②求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.
规律方法　1.求两圆的公共弦所在直线的方程的方法是将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数.
2.求两圆公共弦长的方法,一是联立两圆方程求出交点坐标,再用两点间的距离公式求解;二是先求出两圆公共弦所在的直线方程,再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.
变式训练2(1)圆心在直线x-y-4=0上,且经过圆x2+y2-4x-6=0与圆
x2+y2-4y-6=0的交点的圆的方程为
　　　　 　　　　　　.
(x-3)2+(y+1)2=16(或x2+y2-6x+2y-6=0)
(2)[人教B版教材习题]已知圆C1:x2+y2=2与圆C2:(x-2)2+y2=8相交于A,B两点,求线段AB的中点的坐标.
解 因为圆C1的圆心为C1(0,0),圆C2的圆心为C2(2,0),所以AB的中点在C1C2,即x轴上.
探究点三　　两圆相切问题
【例4】 求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+ =0相切于点M(3,- )的圆的方程.
变式探究1将本例变为“求与圆x2+y2-2x=0外切,圆心在x轴上,且过点(3,- )的圆的方程”,如何求
解 因为圆心在x轴上,
所以可设圆心坐标为(a,0),半径为r,
则所求圆的方程为(x-a)2+y2=r2,
又因为与圆x2+y2-2x=0外切,且过点(3,- ),
变式探究2将本例改为“若圆x2+y2-2x=0与圆x2+y2-8x-8y+m=0外切”,求实数m的值.
规律方法　处理两圆相切问题的2个步骤
变式训练3已知圆x2+y2=1与圆(x+4)2+(y-a)2=25相切,求实数a的值.
探究点四　圆系方程及其应用
【例5】 求圆心在直线x-y-4=0上,且过两圆x2+y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0的交点的圆的方程.
解(方法一)设经过两圆交点的圆系方程为x2+y2-4x-6+λ(x2+y2-4y-6)=0(λ≠-1),
规律方法　1.经过两圆的两个交点的圆的方程可设为(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1),然后用待定系数法求出λ即可.
2.对于此类问题首先要理解运算对象,然后选择好运算方法,设计好运算程序,最后求得运算结果.
变式训练4求过直线x+y+4=0与圆x2+y2+4x-2y-4=0的交点且与直线y=x相切的圆的方程.
学以致用·随堂检测促达标
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A 级 必备知识基础练
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1.[探究点一(角度1)]圆C1:x2+y2=9和C2:x2+y2-8x+6y+9=0的位置关系是(　)
A.外离 B.相交
C.内切 D.外切
B
解析 圆C1:x2+y2=9的圆心为C1(0,0),半径r1=3;圆C2:x2+y2-8x+6y+9=0化为(x-4)2+(y+3)2=16,圆心为C2(4,-3),半径r2=4,圆心距
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2.[探究点二]过两圆x2+y2+6x+4y=0及x2+y2+4x+2y-4=0的交点的直线的方程是(　　)
A.x+y+2=0
B.x+y-2=0
C.5x+3y-2=0
D.不存在
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3.[探究点三](多选题)半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程可以是(　　)
A.(x-4)2+(y-6)2=6 B.(x+4)2+(y-6)2=6
C.(x-4)2+(y-6)2=36 D.(x+4)2+(y-6)2=36
CD
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4. [探究点三]若圆C1与圆C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|等于(　　)
C
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解析 ∵两圆都与两坐标轴相切,且都经过点(4,1),∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标都相等.设两圆的圆心坐标分别为(a,a),(b,b),则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,
即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个根,方程整理得x2-10x+17=0, ∴a+b=10,ab=17.
∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,
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5. [探究点二]已知两圆相交于两点A(a,3),B(-1,1),若两圆圆心都在直线x+y+b=0上,则a+b的值是　　　.
-1
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6. [探究点三]半径长为6的圆与y轴相切,且与圆(x-3)2+y2=1内切,则此圆的方程为　　　　　　　　.
(x-6)2+(y±4)2=36
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7. [探究点三]已知圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x-2)2+y2=4,则两圆公共弦所在直线方程为　　　　,公共弦的长度为　　　　.
x=1
解析 由圆C1:x2+y2-4=0,圆C2:x2+y2-4x=0, 两个方程作差,可得x=1.即两圆公共弦所在直线方程为x=1.将x=1代入x2+y2=4,可解得y=± ,则公共弦的长度为|y1-y2|=2 .
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8.[探究点一(角度2)]若圆x2+y2-2ax+a2=2和x2+y2-2by+b2=1外离,则a,b满足的条件是　　　　　　　　　　.
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9.[探究点二]若圆O1:x2+y2=5与圆O2:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是　　　　　.
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10.[探究点四·2024西藏林芝期末]已知圆x2+y2+x-6y+3=0与直线x+2y-3=0的两个交点为P,Q,求以PQ为直径的圆的方程.
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11.[探究点二]已知圆O1:x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心O2(2,1).若圆O2与圆O1交于A,B两点,且|AB|=2 ,求圆O2的方程.
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12.已知点M在圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4上,点N在圆C2:(x-1)2+(y+2)2=4上,则|MN|的最大值是(　　)
A.5 B.7 C.9 D.11
C
解析 由题意知圆C1的圆心C1(-3,1),半径长r1=2;圆C2的圆心C2(1,-2),半径长r2=2.
因为两圆的圆心距 =5>r1+r2=4,所以两圆相离,从而|MN|的最大值为d+r1+r2=5+2+2=9.故选C.
B 级 关键能力提升练
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13.过点M(2,-2)以及圆x2+y2-5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是(　　)
A
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14.与圆C1:(x+2)2+y2=1,C2:(x-2)2+y2=1都相切,且半径为3的圆的数量为
(　　)
A.9 B.7
C.5 D.3
B
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15.圆C1:x2+y2+2ax+2ay+2a2-1=0与圆C2:x2+y2+2bx+2by+2b2-2=0的公共弦长的最大值是(　　)
D
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16.(多选题)已知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),下列结论正确的有(　　)
A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0 B.2ax1+2by1=a2+b2
C.x1+x2=a D.y1+y2=2b
ABC
解析 由题意,由圆C2的方程可化为x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,两圆的方程相减可得直线AB的方程为2ax+2by-a2-b2=0,即2ax+2by=a2+b2,分别把A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入可得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,两式相减可得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,所以选项AB正确;由圆的性质可知,线段AB与线段C1C2互相平分,所以x1+x2=a,y1+y2=b,所以选项C正确,选项D不正确.故选ABC.
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17. 已知圆C1:x2+y2=4与圆C2:(x-1)2+(y-1)2 =10相交于A,B两点,则|AB|=　　　　.
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18.已知圆C1:x2+y2=1和圆C2:(x-4)2+(y-3)2=r2(r>0)外切,则r的值为　　　,若点A(x0,y0)在圆C1上,则 的最大值为　　　　.
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19.已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.
(1)m取何值时两圆外切
(2)m取何值时两圆内切
(3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
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(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0.
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20.已知关于x,y的方程C:x2+y2-2x-4y+m=0.
(1)若方程C表示圆,求实数m的取值范围;
(2)若圆C与圆x2+y2-8x-12y+36=0外切,求实数m的值;
(3)若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点,且|MN|= ,求实数m的值.
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解 (1)把方程C:x2+y2-2x-4y+m=0,配方得(x-1)2+(y-2)2=5-m,若方程C表示圆,则5-m>0,解得m<5,所以m的取值范围为(-∞,5).
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C 级 学科素养创新练
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