资源简介

(共35张PPT)
人教版（2024）
八年级上册
13.3.1 三角形的内角
第十三章·三角形
三角形的内角
知识目标
1.理解并准确阐述“三角形内角和定理”。
2.掌握直角三角形的特殊性质：两个锐角互余。
3.能运用代数表达式表示三角形内角的关系，解决未知角的度数问题。
能力目标
1.灵活运用三角形内角和定理及直角三角形的性质，正确计算未知角的度数，解决实际问题。
2.设计实验方案，如撕角拼合法、用量角器验证，自主完成对定理的实践验证，培养科学探究思维。
素质目标
1.渗透数学严谨性与美学价值，激发学生探索几何规律的兴趣；通过小组合作实践，增强团队协作意识与表达沟通能力。
2.培养质疑精神与创新意识，鼓励尝试多种方法验证结论
教学难点
教学重点
三角形内角和定理的理解、推导
会运用三角形内角和定理进行计算
情景导入
1
合作探究
2
抽象概括
3
示范讲解
4
课堂练习
5
课堂小结
6
情景导入
合作探究
抽象概念
示范讲解
课堂练习
课堂小结
情景激趣
生活中我们常常能看见这样的照片，他们中都有我们熟悉的图形——三角形。学习今天的内容，大家对三角形会有新的认识，下面让我们进入到今天的学习之旅吧！
情景导入
合作探究
抽象概念
示范讲解
课堂练习
课堂小结
情景激趣
回顾：三角形按角分类
当三角形的最大角分别是钝角、直角、锐角时,对应的三角形分别为钝角三角形、直角三角形、锐角三角形.
钝角三角形直角三角形锐角三角形.
钝角三角形
锐角三角形
直角三角形
情景导入
合作探究
抽象概念
示范讲解
课堂练习
课堂小结
情景激趣
一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.
我是直角三角形，我的内角和最大
我有一个钝角，比你的三个角都大，所以我的内角和才是最大的
我虽然是锐角三角形，但是我的个头最大，所以我的内角和才是最大的
情景导入
合作探究
抽象概念
示范讲解
课堂练习
课堂小结
复习旧知
我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°。与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的。
当时我们是通过度量或拼剪的办法得出这一结论的，可是这种方法不能完全让人信服，所以我们需要寻求推理的方法去证明这一定理
480
720
600
60°＋48°＋72°＝180°
分析问题，寻找对应
探究：如何通过“数学证明”来解释三角形的内角和一定是180°呢？
分组讨论
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
已知：△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
1
2
证法1：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1.(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.(两直线平行,内错角相等)
∵∠1+∠2+∠BAC=180°（平角定义），
∴∠B+∠C+∠BAC=180°（等量代换）.
分析问题，寻找对应
探究：如何通过“数学证明”来解释三角形的内角和一定是180°呢？
分组讨论
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
已知：△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴∠B=∠2.(两直线平行,同位角相等)
∠C=∠2.(两直线平行,内错角相等)
∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角定义），
∴∠B+∠C+∠ACB=180°（等量代换）.
C
B
A
E
D
1
2
三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°
三角形的内角
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线。
为了证明三个角的和为180°，转化为一个平角，这种转化思想是数学中的常用方法。
在平面几何里，辅助线通常画成虚线。
★思路总结
★作辅助线
例题讲解
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。
例1
解
C
B
D
A
在△ABD中
∵∠BAD+∠B+∠ADB=180°(三角形内角和定理)
∴∠ADB=180°－∠BAD－∠B
=180°-75°-20°
=85°
∵AD是△ABC的角平分线,∠BAC=40°
例题讲解
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
例2
北
A
D
北
C
B
东
E
分析：A、B、C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角，如果能求出∠CAB、∠ABC，就能求出∠ACB。
例题讲解
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。求：∠ABC是多少度？∠ACB是多少度？
例2
北
A
D
北
C
B
东
E
解
∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.
由AD//BE,得∠BAD+∠ABE=180°.
∴∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°,
∠ABC=∠ABE -∠EBC=100°-40°=60°.
在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°,
即从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是60°,
从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°.
分析问题，寻找对应
探究：直角三角形内角和
分组讨论
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
你能找出上图中所包含的直角三角形吗 ？
三角形的内角
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°
由三角形内角和定理，可得∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A+∠B+90°=180°
∴∠A+∠B=90°
直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角互余。
分析问题，寻找对应
探究：三角形用什么符号表示的？那么直角三角形又用什么符号表示呢？
分组讨论
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
三角形ABC 表示为：
直角三角形可以用符号：
如图,直角三角形ABC表示为：
△ABC
Rt△
Rt△ABC
在Rt△ABC中，
∵∠A=90°
∴∠B+∠C=90°
“直角三角形的两个锐角互余”其几何语言可表示为：
思考：若在三角形中，有两个锐角互余，则该三角形是否就是直角三角形呢？
三角形的内角
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
★证明：在三角形中，有两个锐角互余，则该三角形是直角三角形
已知：在△ABC中，∠A与∠B互余。
求证：该三角形为直角三角形
证明：∵∠A与∠B互余
∴∠A+∠B=90°
由三角形内角和定理，可得
∠A+∠B+∠C=180°
∴90°+∠C=180°
∴∠C=90°
∴△ABC为直角三角形
A
B
C
例题讲解
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
如图，∠C=∠D=90°，AD、BC相交于点E。
∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
例3
解
在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC
在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED
∵∠AEC=∠BED
∴∠CAE=∠DBE
例题讲解
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
若一个三角形的三个内角度数之比1:3:4，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形
D．等腰三角形
例4
解
∵三角形三个内角度数的比为1：3：4，
B
例题讲解
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝42°，则∠B＝（ ）
A．48° B．58° C．62° D．68°
例5
解
∵∠C=90°
∴∠A+∠B=90°
∵∠A=42°
∴∠B=48°
A
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
1.如图,从A 处观测C处的仰角∠CAD=30°,从 B 处观测C处的仰角∠CBD=45°.从C 处观测A, B 两处的视角∠ACB 是多少度
解:在△ACD中，因为∠CAD=30°，∠D=90°，所以∠ACD=180°-90°-30°=60°.
在BCD中，因为∠CBD=45°，∠D=90°，所以∠BCD=180°-90°-45°=45°.
所以∠ACB=∠ACD-∠BCD=60°-45°=15°.
答:从C处观测A，B两处的视角∠ACB是15°.
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
2.如图, 在△ABC中, ∠A=40°, 求∠B+∠C+∠ADE+∠AED的度数.
解:在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
可得∠B+∠C=180°-∠A=180°-40°=140°
在△ADE中，∠ADE+∠AED+∠A=180°
可得∠ADE+∠AED=180°-∠A=180°-40°=140°
∠B+∠C+∠ADE+∠AED=140°+140°=280°
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
3.如图, 在△ABC 中, ∠ACB=90°, CD⊥AB, 垂足为 D. ∠ACD 与∠B 有什么关系 为什么
解:∠ACD与∠B相等，理由如下:
∵∠ACB=90°
∴∠ACD+∠BCD=90°
又CD⊥AB
∴∠CDB=90°
∴∠B+∠BCD=90°
∴∠ACD=∠B
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
4.如图，在△ABC中，∠C=90°,点 D，E 分别在边AB，AC上，且∠1=∠2,
△ADE是直角三角形吗 为什么
解:在Rt△ABC中
∠2+∠A=90°
在△ADE中
∠A+∠1+∠ADE=180°
∵∠1=∠2
∴∠2+∠A=90°=∠A+∠1
∴90°+∠ADE=180°
∴∠ADE=90°得△ADE是直角三角形
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
5.已知，如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，F为AB上一点，直线FD交AC于E，∠DFB＝90°，∠A＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度数．
解：在△DFB中，
∵∠DFB＝90°，∠D＝50°，
∠DFB＋∠D＋∠B＝180°，
∴∠B＝40°.
在△ABC中，
∵∠A＝46°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.
对应中考
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
1.（2025·北京·中考真题）如图，O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB=∠FOB=23.5°，夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与O的切线FI所成的锐角)的大小为 .
[分析]本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键，设FI与OG交于点K，先由三角形内角和定理求出∠OKF=43°，再根据平行线的性质求解即可，
[详解]解:如图，设FI与OG交于点K，
K
对应中考
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
1.（2025·北京·中考真题）如图，O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB=∠FOB=23.5°，夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与O的切线FI所成的锐角)的大小为 .
[详解]解:如图，设FI与OG交于点K，
∵∠DOB=∠FOB=23.5°,
∴ZKOF=∠DOB+∠FOB=23.5°+23.5°=47°，
在ΔOFK中，∠FOK+∠OFK+2∠OKF=180°，∠OFK=90°,
∴∠OKF=43°，
∵FH//OG,
∴∠IFH=∠OKF=43°,
故答案为:43°.
K
对应中考
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
2.（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在△ABC中，若DE//BC,FG//AC,
∠BDE=120°,∠DFG=115°，则∠C=. .
[详解]解:∵∠BDE=120°,∠DFG=115°，∠BDE+∠ADE=180°，∠DFG+∠BFG=180°，
∠ADE=60°，∠BFG=65°,
∵DE//BC,FG//AC，
∴∠B=∠ADE=60°，∠A=∠BFG=65°，
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠C=180°-65°-60°=55°，
故答案为:55°.
对应中考
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
3.（2024·西藏·中考真题）如图，已知直线l1//l2于点 D, ∠1=50°, 则∠2 的度数是( )
A. 40° B. 45° C. 50° D. 60°
[详解]解: ∵l1//l2，∠1=50°
∴∠ABC=∠1=50°,
∵AB⊥CD，
∴∠BDC = 90°,
∴∠2=180°-90°-50°=40°, 故 A 正确.
故选: A.
对应中考
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
4.（2024·四川凉山·中考真题）如图, △ABC中, ∠BCD=30°, ∠ACB =80°, CD是边AB上的高, AE是∠CAB的平分线, 则∠AEB的度数是 .
[答案]100°
[详解]解:∵∠BCD=30°,∠ACB=80°,
∴∠ACD=50°,
∵CD 是边AB上的高，
∴∠ADC=90°,
∴∠DAC=40°,
∵AE 是 ∠CAB的平分线，
:∠CAE =∠DAC=20°,
∴∠AEB=∠CAE +∠ACB =20°+80°=100°.
对应中考
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
5.（2024·湖南·中考真题）等腰三角形的一个底角为40°，则它的顶角的度数是 .
[详解]解:∵等腰三角形的一个底角的度数为40°,
∴它的顶角度数为:180°-40°×2=100°.
故答案为:100°.
课堂小结
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
我亲历了什么
我知道了什么
我会什么
三角形内角和定理
直角三角形的两个锐角互余
三角形内角和定理的推导
课堂小结
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
三角形的
内角和定理
证明
为了证明三个角的和为180°，转化为一个平角，这种转化思想是数学中的常用方法。
内容
三角形内角和等于180 °
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线。
在平面几何里，辅助线通常画成虚线。
★作辅助线
直角三角形的两个锐角互余。
课堂小结
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
课后作业
A层：P16：13.3习题：1、2、3.
B层：P16：13.3习题：4、5.
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