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人教版（2024）
八年级上册
13.3.2 三角形的外角
第十三章 · 三角形
三角形的外角
知识目标
1.明确三角形外角的定义，能准确识别图形中的外角；
2.理解三角形外角的性质定理，并能运用该性质进行简单计算或证明；
3.通过对比内角与外角的关系，培养几何中“转化”思想。
能力目标
1.在复杂图形中快速定位外角，区分内外角的不同特征；
2.利用外角性质解决求角度数、验证结论等问题，培养从已知条件推导未知的思维路径；
3.将实际问题抽象为几何模型。
素质目标
1.渗透“转化”思想（将未知转化为已知、复杂转化为简单），感悟数学中化归方法的价值；
2.通过探究外角性质的证明过程，体会严谨论证的必要性，培养质疑与验证的习惯。
教学难点
教学重点
熟练运用“外角=两非邻内角和”进行角度计算、比较大小及简单证明
动态图形中外角的识别、自主选择恰当方法实现“转化”
情景导入
1
合作探究
2
抽象概括
3
示范讲解
4
课堂练习
5
课堂小结
6
情景导入
合作探究
抽象概念
示范讲解
课堂练习
课堂小结
情景激趣
回顾：内角
三角形的
内角和定理
证明
为了证明三个角的和为180°，转化为一个平角，这种转化思想是数学中的常用方法。
内容
三角形内角和等于180 °
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线。
在平面几何里，辅助线通常画成虚线。
★作辅助线
直角三角形的两个锐角互余。
情景导入
合作探究
抽象概念
示范讲解
课堂练习
课堂小结
情景激趣
思考：某建筑系的学生站在C处想检测∠A与∠B的和是否符合设计要求，携带测角工具进行测量，但是∠A太高无法测量，∠B靠近水面也无法测量，你能帮助他求出∠A+∠B吗？
A
B
C
情景导入
合作探究
抽象概念
示范讲解
课堂练习
课堂小结
列举实例
思考：把ΔABC中的一边BC延长，得到∠ACD，∠ACD还是三角形的内角吗？
C
B
A
D
像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一个外角
三角形的外角
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
三个特征:
1.外角的顶点在三角形的一个顶点上;
2.外角的一条边是三角形的一条边;
3.外角的另一条边是三角形的某条边的延长线
分析问题，寻找对应
如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？
分组讨论
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
E
C
B
A
D
∠BCE是△ABC的一个外角
∠DCE不是△ABC的一个外角.
分析问题，寻找对应
如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
分组讨论
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
E
C
B
A
D
∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；在三角形的每个顶点处有2个外角.
分析问题，寻找对应
画出△ABC的所有外角，共有几个呢
分组讨论
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
每一个三角形都有6个外角．
每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为_______.
研究三角形的外角和时，通常每个顶点处取一个外角。
A
B
C
1
2
4
3
5
6
∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6.
对顶角
分析问题，寻找对应
如图 在△ABC 中, ∠A = 70°, ∠B = 60°, ∠ACD 是△ABC的一个外角. 能由∠A, ∠B 求出∠ACD 吗 如果能, ∠ACD与∠A, ∠B 有什么关系
分组讨论
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
70°
60°
∠ACD是∠ACB的邻补角，
所以∠ACD = 180°-∠ACB
= 180°- 50°
= 130°.
∵∠A+∠B= 70°+ 60°= 130°，
∴∠ACD =∠A+∠B.
分析问题，寻找对应
已知:如图所示,ΔABC中,D为BC延长线上一点.
求证:∠ACD=∠A+∠B.
证明猜想
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
法一：
证明:∵∠A+∠B+∠ACB=180°,
∴∠A+∠B=180°-∠ACB.
∵∠ACD+∠ACB=180°,
∴∠ACD=180°-∠ACB.
∴∠ACD=∠A+∠B.
分析问题，寻找对应
已知:如图所示,ΔABC中,D为BC延长线上一点.
求证:∠ACD=∠A+∠B.
证明猜想
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
E
法二：过点C作CE∥AB.
(
(
(
(
过点A作AE∥BC.
过点B作BE∥AC.
E
E
(
(
(
(
(
(
(
(
作平行线
转化角
分析问题，寻找对应
如图，试比较∠1 、∠A的大小； ∠1 、∠B的大小.
证明猜想
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
解：∵∠1=∠A+∠B,
∴∠1＞∠A.
三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角.
同理∠1＞∠B.
三角形的外角
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
三角形内角和定理的推论
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
符号语言
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
口诀：“外角=两非邻内角和”
三角形的外角
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
辨析三角形内角、外角
（1）位置关系：相邻和不相邻.
（2）数量关系：外角与相邻内角互补，
外角大于不相邻的任何一个内角.
例题讲解
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
如图,∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少
例1
解
由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
你还能给出其他解法吗
例题讲解
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
如图,∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少
例1
解
如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ，
∠CBF +∠2=180 ° ②，
∠ACD +∠3=180 ° ③，
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
①+ ②+ ③得∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
例题讲解
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
如图,∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少
例1
解
过 A 作 AM 平行于 BC，
所以∠ACD = ∠EAM，
∠CBF = ∠BAM，
所以 ∠BAE +∠CBF +∠ACD
= ∠BAE +∠BAM +∠EAM = 360°.
M
三角形的外角和
三角形的外角和等于 360°.
例题讲解
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
快速抢答
例2
A
B
D
C
1
2
4
3
>
>
∠DAC
∠C
∠BAD
∠B
∠1= ______+______
∠2= ______+______
∠2____∠3
∠2____∠4
例题讲解
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
如图，下列各角是△ABC 的外角的是（ ）
A.∠4
B.∠3
C.∠2
D.∠1
例3
1
A
B
C
3
2
4
B
例题讲解
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
例4
下面的推理题把小明难住了.他希望同学们能尽快的帮他解决下面的问题.
根据下列线索推理出这个三角形有关的角.
线索1：在△ABC中，∠B=∠C ；
线索2：它的一个外角是100 ；
问题：它的各个内角各是多少度？
100°
B
C
A
50°，50°，80°
或80°，80°，20°.
解：它的各个内角分别为
100°
B
C
A
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结

1.说出下列各图形中∠1和∠2的度数：
∠1 = 40°
∠2 = 140°
∠1 = 110°
∠2 = 70°
∠1 = 50°
∠2 = 140°
（1） （2） （3）
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结

1.说出下列各图形中∠1和∠2的度数：
（4） （5） （6）
∠1 = 55°
∠2 = 70°
∠1 = 80°
∠2 = 40°
∠1 = 60°
∠2 = 30°
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
2.如图，是一个五角星，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数.
解：∵∠AFG =∠B +∠D，
∠AGF =∠C +∠E，
∠A +∠AFG +∠AGF =180°，
∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180°.
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
3.如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
解一：连接BC.
∵ ∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,∠A= 51°,
∴ ∠ABC+∠ACB =180°-51°=129°.
∵∠ABD=20°,∠ACD=30°,
∴ ∠DBC+∠DCB = ∠ABC+∠ACB-(∠ABD+ ∠ACD )=129°-50°=79°.
∴ ∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB) =180°- 79°=101°.
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
3.如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
解二：延长BD交AC于点E.
∠1=∠A+∠B，
∠BDC=∠1+∠C.
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C
=51°+20°+30°=101°.
E
对应中考
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
1.（2025·辽宁·中考真题）如图，点C在∠AOB的边OA上，CD⊥OB，垂足为D，DE//OA，若∠EDB=40°，则∠ACD的度数为( )
A.50°
B.120°
C.130°
D.140°
[答案]C
[分析]本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，得到∠O=∠EDB，再根据三角形的外角的性质，求出∠ACD的度数即可
[详解]解::CD⊥OB，DE // OA.∠EDB=40°，
∴∠CDO=90°,∠O=∠EDB=40°，
∴∠ACD=∠CDO+∠O=90°+40°=130°;
故选C.
对应中考
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
2.（2025·山东威海·中考真题）如图，直线CF//DE，∠ACB=90°，∠A=30°.若∠1=18°.则∠2等于( )
A.42°
B.38°
C.36°
D.30°
[答案]A
[详解]∵∠ACB=90°，∠1=18°
∴∠GCD=180°-∠ACB-21=72°
∵CF//DE
∴∠CDE=∠GCD=72°
∵∠LA=30°
∴∠2=2CDE-∠A=42°.
故选:A.
对应中考
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合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
3.（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点4，E，C，F在同一条直线上，
∠BAC=∠EDF=90°,∠B=45°,∠DEF=60°.当AD//BC时，∠ADE的大小为( )
A.5° B.15° C.25° D.35°
[答案]B
[详解]解:∵∠BAC=90°，∠B=45°，
∴∠ACB=45°，
∵AD//BC,
∴∠DAE=∠ACB=45°，
∴∠DEF= ∠DAE+∠ADE=60°
∴∠ADE=15°;
故选:B.
对应中考
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
4.（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若AB//CD，∠1=30°，∠2=70°，则∠3的度数为( )
A.40°
B.35°
C.30°
D.20°
[答案]A
[详解]解：∵AB//CD，∠1=30°，
∴∠A=∠1=30°，
∵∠2=70°,
∠2=∠3+∠A.
∴∠3=70°-30°=40°;
故选:A.
对应中考
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
5.（2024·四川攀枝花·中考真题）将一把直尺与一块含有30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠3=65°，则∠2为( )
A.50°
B.55°
C.60°
D.65°
[答案]A
[详解]解：如图所示，
∵AB//CD
∴∠BAC=∠3=65°
∴∠1=90°-∠BAC=25°
∴∠2=∠1+∠E=55°
A B
C D
课堂小结
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
我亲历了什么
我知道了什么
我会什么
理解三角形的外角的概念
口诀：“外角=两非邻内角和”
对比内角与外角的关系
课堂小结
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
三角形的外角
定义
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
性质
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360°.
外角与相邻内角互补，
外角大于不相邻的任何一个内角.
课堂小结
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
课后作业
A层：P9：习题13.3：8题.
B层：P9：习题13.3：11题.
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