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三角形的高、中线与角平分线
CONTENTS
了解三角形的高、中线与角平分线的概念；
了解三角形的重心的概念；
能正确画出一个三角形的高、中线、角平分线，并掌握其相关性质.
01
02
03
回顾我们之前所学的垂线、线段中点、角平分线的概念
垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线
线段中点：把一条线段分成两条相等的线段的点
角平分线：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线
三角形的高
过三角形的一个顶点做它对边的垂线，顶点和垂足所连接的线段，叫做三角形这边的高，简称三角形的高。
B
A
C
三角形高的几何语言：
∵AO是△ABC的高
∴AO⊥BC，
∠AOC=∠AOB=90°(高的定义)
O
思考
对于任意三角形，是否也满足“三条中线相交于一点”？
分别画出下列锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条中线，
并观察三条中线是否相交于一点.
三角形的三条中线 ，且
相交于一点
该交点位于三角形内部
三角形三条中线的交点，叫做三角形的的 .
重心
思考
如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABC 的高．
试判断△ABD 和△ACD 的面积有什么关系，为什么？
B
C
D
E
A
通过以上问题你能发现什么规律？
三角形的中线能将三角形的面积平分.
相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.
D
2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角三角形
3.三角形的三条高相交于一点，此一点定在（ ）
A. 三角形的内部 B.三角形的外部
C.三角形的一条边上 D. 不能确定
1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( )
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A.
B.
C.
D.
B
D
拓展练习
三角形的高与垂线有区别吗？
三角形的高是线段而垂线是直线.
三角形的三条高的特性：
高所在的直线是否相交
高之间是否相交
高在三角形内部的数量
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三角形的三条高所在直线交于一点
三条高所在直线的
交点的位置
三角形内部
直角顶点
三角形外部
A
B
C
定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做三角形的这条边上的中线.如图，AD就是△ABC的中线.
几何表达形式：如图，AD是△ABC的边BC上的中线，或点 D 是边 BC 的中点或 BD = CD = BC
三角形的中线将这个三角形分为面积相等的两个三角形
三角形的中线是一条线段
D
画一画：分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？
A
B
C
D
E
F
A
B
C
锐角三角形
直角三角形
A
B
C
钝角三角形
三角形的三条中线交于三角形内部一点,这一点我们称为三角形的重心.
思考
你能类比三角形的中线的定义，说明什么是三角形的角平分线吗？
在三角形中，一个内角的 与它的 相交，这个角
的 与 之间的线段，叫做三角形的角平分线.
平分线
对边
顶点
交点
如图，在△ABC 中，∠1=∠2
则 是∠A的角平分线
1
2
A
B
C
D
AD
如图，在△ABC 中，AD是∠A的角平分线
则___________
∠1=∠2
思考
A
B
C
D
相同点是： ∠ABD = ∠CBD；
不同点是：前者是线段，后者是射线.
三角形的角平分线与角的平分线相同吗
思考
每一个三角形都有 个内角，因此每一个三角形都有 条角平分线.
如图，画出三角形的角平分线.
3
3
这三条角平分线之间有怎样的位置关系
锐角三角形的三条角平分线是在三角形的内部还是外部
锐角三角形的三条角平分线交于同一点.
锐角三角形的三条角平分线都在三角形的内部.
思考
思考
对于任意三角形，是否也满足“三条角平分线相交于一点”？
分别画出下列锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条角平分线，
并观察三条角平分线是否相交于一点.
三角形的三条角平分线 ，且 ，
该点称为三角形的 .
相交于一点
该交点位于三角形内部
三角形的角平分线是一条 .
线段
内心
B
B
B
高线
中线
角平分线
从三角形的一个顶点，向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫作三角形的高线，简称三角形的高.
在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段叫做三角形的中线
在三角形中，一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线
三 角 形
小结
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