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2.2.1 双曲线及其标准方程
新授课
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.
2.掌握双曲线的标准方程及其求法.
3.会利用双曲线解决一些简单的实际问题.
回顾：椭圆的定义及标准方程是什么？
定义：与两个定点的距离之和为常数(大于两个定点间的距离)的点的轨迹是椭圆.
根据焦点位置的不同，其标准方程为 或
思考：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会是什么样的？
知识点1：双曲线的定义
动手操作：如图(A)，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，点F1到点F2的长为2c(c>0).把笔尖放在拉链开口的咬合处M，点M到点F1的距离与点M到点F2的距离之差等于2a(c>a>0).
随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖就画出一条曲线.
这条曲线上的点M满足下面的条件：
|MF1| - |MF2| = 2a.
同理可画出另一支(如图B).
这条曲线上的点M满足下面的条件：
|MF2| - |MF1| = 2a.
这两条曲线合起来叫作双曲线，每一条曲线叫作双曲线的一支.
双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数 (大于零且小于︱F1F2︱)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线.
概念讲解
F1
F2
焦距
焦点
M
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
②两个焦点间的距离 |F1F2| ——焦距.
问题：请仿照求椭圆标准方程的方法，根据双曲线的定义，并选择恰当的平面直角坐标系来求双曲线的标准方程.
知识点2：双曲线的标准方程
给定双曲线，它的焦点为F1，F2，焦距|F1F2|=2c(c＞0)，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为2a(0F1
F2
P
x
O
y
(x,y)
建系
以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立坐标系.
F1
F2
P
x
O
y
(x,y)
设P(x , y)，根据双曲线的定义，可得| |PF1|-|PF2| |=2a，即|PF1|-|PF2| =±2a.
设点
列式
根据双曲线的定义可知，2c＞2a＞0,∴c2-a2＞0.
代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2.
F1
F2
P
x
O
y
(x,y)
化简
整理得：
①
双曲线上任意一点的坐标(x，y)都是方程①的解;
以方程①的解为坐标的点(x，y)与双曲线的两个焦点F1(-c，0)，F2(c，0)的距离之差的绝对值都为2a，
令 其中b＞0.
我们称方程①是双曲线的标准方程.
即以方程①的解为坐标的点都在双曲线上．
F1
F2
P
x
O
y
(x,y)
它表示焦点在 x 轴上，两个焦点分别是 F1（- c，0），F2（c，0）的双曲线，
这里
①
思考： 如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分別为(0，-c)，(0，c)，那么双曲线的方程是什么？
F1
F2
P
x
O
y
归纳总结
双曲线标准方程
图形
方程
焦点
a,b,c之间的关系
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c)，F2(0,c)
c2=a2+b2 a，b大小不定
F1
F2
P
x
O
y
F1
F2
P
x
O
y
例1:已知双曲线的两个焦点分别是F1(-5，0)，F2(5，0)，该双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是6，求该双曲线的标准方程.
解：∵双曲线的焦点在x轴上，
又c=5，a=3，
∴b2=c2-a2=16.
∴所求双曲线的标准方程为
∴可设它的标准方程为
练一练
1.已知双曲线的两个焦点分别为F1(0,－2)，F2(0,2)，且双曲线经过点P(3,－2)，求该双曲线的标准方程．
解：由于双曲线的焦点在y轴上，故可设它的标准方程为
由双曲线的定义知
∴a = 1．
又c = 2，∴ b = c －a = 4－1=3．
∴所求双曲线的标准方程为
归纳总结
1.求双曲线标准方程的步骤：
(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程；
(2)求出a2,b2的值，写出标准方程.
2.当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0)来求解.
例2:相距2km的两个哨所A，B听到远处传来的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4s.已知当时的声速为340m/s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程.
解：设爆炸点为P，由已知，得|PA|-|PB|=340×4=1360(m).
∴点P在以点A，B为焦点的双曲线并靠近点B的那一支上.
以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
∵|AB|=2km=2000m>1360m，|PA|＞|PB|，
例2:相距2km的两个哨所A，B听到远处传来的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4s.已知当时的声速为340m/s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程.
由2a=1360，2c=2000，得a=680，c=1000，
∴b2=c2-a2=537600.
∴点P所在曲线是双曲线的右支，它的方程是
根据今天所学，回答下列问题：
1.双曲线的定义；
2.双曲线的标准方程是什么？
3.怎么判断双曲线焦点所在位置？

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