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(共14张PPT)
2.2.2 第1课时
新授课
双曲线的简单几何性质
1.理解并掌握双曲线范围、对称性和顶点的几何性质.
2.能利用双曲线的简单性质求标准方程.
1.双曲线的标准方程是什么？
2.类比椭圆的几何性质，应研究双曲线的哪些几何性质？如何研究这些性质？
问题引入
F1
F2
x
O
y
知识点1：双曲线的范围
问题1：如何用方程(代数方法)研究曲线 中x的范围？
范围： x≤-a或x≥a，且y∈R.
因此，双曲线C在不等式x≤-a与x≥a所表示的区域内，即位于两条直线x=-a和x=a外侧的区域.
-a
a
∴x≤-a或x≥a，且y∈R.
①P(x,y) P1(x,-y)
x轴
方程不变，点在双曲线上
知识点2：双曲线的对称性
问题2：请观察双曲线方程 图象说明双曲线的对称性.
F1
F2
x
O
y
(x,y)
(x,-y)
(-x,-y)
(-x,y)
P1
P2
P3
方程不变，点在双曲线上
②P(x,y) P2(-x,y)
y轴
③P(x,y) P3(-x,-y)
原点
方程不变，点在双曲线上
综上，双曲线既是关于x轴和y轴的轴对称图形，也是关于原点的中心对称图形.这个对称中心称为双曲线的中心.
F1
F2
x
O
y
(x,y)
(x,-y)
(-x,-y)
(-x,y)
P1
P2
P3
知识点3：双曲线的顶点
F1
F2
x
O
y
在
中，令y=0，得x=±a，
A1
A2
B1
B2
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长；
双曲线和x轴有两个交点
双曲线的顶点
实轴
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长.
虚轴
方程
焦点
顶点
范围
对称性
虚实轴
归纳总结
F1(-c，0)，F2(c，0)
A1(-a，0)，A2(a，0)
x≤-a或x≥a
y≤-a或y≥a
中心：原点；对称轴：x轴、y轴
实轴长：2a；虚轴长：2b
F1(0，-c)，F2(0，c)
A1(0，-a)，A2(0，a)
例1:求双曲线x2-4y2=1的焦点、中心、顶点坐标、实轴和虚轴的长，并画出该双曲线.
解：将x2-4y2=1化为标准方程
∴实半轴长a=1，虚半轴长b= ，半焦距
∴焦点坐标为
中心坐标为
顶点坐标为
实轴长为2，虚轴长为1.
根据双曲线的对称性，先画双曲线位于第一象限的部分.为此，由双曲线的方程解得
计算出一些点，如表(y的值精确到0.01).
x 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
y 0 0.56 0.87 1.15 1.41 1.94 2.45 2.96 3.46 3.97
在平面直角坐标系中描出上述对应点，并用光滑曲线连起来.根据对称性，再画出双曲线在其他三个象限的部分(如图).
例2:如图，火力发电厂的冷却塔的外形是由双曲线绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面.已知塔的总高度为150m，塔顶直径为70m，塔的最小直径(喉部直径)为67m，喉部标高(标高是地面或建筑物上的一点和作为基准的水平面之间的垂直距离)为112.5m，求双曲线的标准方程(结果精确到0.01)，并画出该双曲线.
解：画出冷却塔的轴截面，如图.
为了得到双曲线的标准方程，以最小直径处所在直线为x轴，最小直径的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐标为(33.5，0).
可设双曲线方程为
则a=33.5 .
由已知可得点C的坐标为(35，37.5)，代入双曲线的标准方程有
∴b2≈15359.26 .
∴所求双曲线的标准方程为
归纳总结
解决和双曲线有关的实际问题的思路
(2)确定双曲线的位置及要素，并利用双曲线的方程或几何性质求出数学问题的解.
(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的双曲线，将原问题转化为数学问题.
根据今天所学，完成下列表格：
方程
焦点
顶点
范围
对称性
虚实轴
F1(-c，0)，F2(c，0)
A1(-a，0)，A2(a，0)
x≤-a或x≥a
y≤-a或y≥a
中心：原点；对称轴：x轴、y轴
实轴长：2a；虚轴长：2b
F1(0，-c)，F2(0，c)
A1(0，-a)，A2(0，a)

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