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2.3.1 抛物线及其标准方程
新授课
1.认识抛物线的几何特征，理解抛物线的定义及其焦点、准线的概念.
2.会求简单的抛物线方程.
按照教材P67第2-3段进行操作，请回答问题：
1.你能发现点P满足的几何条件吗？
2.它的轨迹是什么形状？
知识点1：抛物线的定义
1.点P运动的过程中，始终有|PF|＝|PB|，即点P与定点F的距离等于它到定直线l的距离；
2.点P的轨迹形状与二次函数的图象相似.
概念讲解
抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条直线l (l不经过点F)的距离相等的点的集合(轨迹)叫作抛物线.
定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫作抛物线的准线.
l
F
P
B
焦点
准线
问题:类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何建立平面直角坐标系，使所建立的抛物线的方程简单？
取经过焦点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并以线段KF的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy.
l
F
M
H
K
O
y
x
设抛物线的焦点到准线的距离为p(p>0)，则|KF|=p，那么焦点F的坐标为 准线l的方程为
知识点2：抛物线的标准方程
设点M(x，y)是抛物线上的任意一点，点M到准线l的距离为d，则|MF|=d.
l
F
M
H
K
O
y
x
因为
所以
将上式两边平方并化简，得
①
这说明抛物线上的任意一点的坐标都满足方程①.
思考：请你尝试证明以方程①的解为坐标的点都在抛物线上.
抛物线的标准方程：
l
F
M
H
K
O
y
x
焦点在x轴正半轴上，坐标是 准线方程是 其中p是抛物线的焦点到准线的距离.
概念讲解
例1:根据下列条件，求抛物线的标准方程：
(1)焦点坐标为(2,0)；(2)准线方程为
解：设抛物线的标准方程为y2=2px(p＞0).
∴所求抛物线的标准方程为y2=8x.
(1)其焦点坐标为( ，0)，根据题意有 =2，故2p=8.
∴所求抛物线的标准方程为y2=6x.
(2)其准线方程为 ，根据题意有 ，故2p=6.
练一练
1.根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
(1)焦点坐标是( ,0)；
(2)准线方程是x +3=0；
(3)焦点在x轴的正半轴，且到准线的距离为3.
y2 =2x；
y2 =12x；
y2 =6x.
例2:已知抛物线的焦点在x轴正半轴上，焦点到准线的距离为 ，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程.
解：设抛物线的标准方程为y2=2px(p＞0).
∴所求抛物线的标准方程为y2=x.
∵抛物线的焦点到准线的距离
其焦点坐标为( ，0)，其准线方程为
练一练
2.求下列抛物线的焦点坐标、准线方程和焦点到准线的距离：
(1)y2=12x； (2)2y2-x=0.
解：(1)焦点为(3,0)，准线方程为x=-3，焦点到准线的距离为6；
(2)焦点为( ,0)，准线方程为x=- ，焦点到准线的距离为 .
根据今天所学，回答下列问题：
1.什么叫作抛物线？
2.焦点在x轴正半轴的抛物线的标准方程是什么？其焦点坐标和准线方程是什么？

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