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2.2.2 第2课时
新授课
双曲线的简单几何性质
1.理解并掌握双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.
2.会利用双曲线的几何性质解决一些简单的实际问题.
复习回顾：
方程
焦点
顶点
范围
对称性
虚实轴
F1(-c，0)，F2(c，0)
A1(-a，0)，A2(a，0)
x≤-a或x≥a
y≤-a或y≥a
中心：原点；对称轴：x轴、y轴
实轴长：2a；虚轴长：2b
F1(0，-c)，F2(0，c)
A1(0，-a)，A2(0，a)
知识点1：双曲线的离心率
∵c＞a＞0，
我们把 叫作双曲线 的离心率，用e表示.
问题1： 决定双曲线的开口大小， 越大，双曲线的开口就越大，你知道这是为什么吗？
∴ 越大，e也越大，从而离心率e可以用来表示双曲线开口的程度.
知识点2：双曲线的渐近线
阅读并讨论教材P64“思考交流”，尝试给出你的解释.
例4中双曲线x2-4y2=1上的点P(x,y)在第一象限时，
当 时， 且无限逼近于1，y无限逼近于
也就是说，当 时，双曲线在第一象限内的点P(x,y)无限逼近于直线
因此，形象地称直线 为双曲线x2-4y2=1的渐近线，
根据双曲线的对称性可知 也是双曲线x2-4y2=1的渐近线.
一般地，对于双曲线
当双曲线上的点P(x,y)在第一象限时，有
当 时， 且无限逼近于1，
∴点P(x,y)在直线 的下方，且y无限逼近于
即当 时，点P(x,y)无限逼近于直线
归纳总结
由双曲线的对称性可知，双曲线的两支在向外无限延伸时与直线 和 无限逼近.
方程
焦点
顶点
范围
对称性
虚实轴
离心率
渐近线
F1(-c，0)，F2(c，0)
A1(-a，0)，A2(a，0)
x≤-a或x≥a
y≤-a或y≥a
中心：原点；对称轴：x轴、y轴
实轴长：2a；虚轴长：2b
F1(0，-c)，F2(0，c)
A1(0，-a)，A2(0，a)
例1:求双曲线9x2-16y2=-144的实轴和虚轴的长、焦点和顶点坐标，以及渐近线方程，并画出该双曲线.
解：把双曲线的方程9x2-16y2=-144化为标准方程
∴实轴长2a=6，虚轴长2b=8；
焦点坐标为(0，-5)，(0，5)；
渐近线方程：
顶点坐标为(0，-3)，(0，3)；
如图，首先画出x=±4，y=±3，作出矩形；
x
y
O
A1
A2
B2
B1
最后以渐近线为参照画出双曲线.
然后作出矩形的对角线，得到渐近线
1.求双曲线9y2-4x2＝-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.
解：把双曲线的方程9y2-4x2＝-36化为标准方程
∴实轴长2a=6，虚轴长2b=4；
渐近线方程为
顶点坐标为(-3，0)，(3，0)；
焦点坐标为
离心率为
练一练
归纳总结
由双曲线的方程求几何性质的步骤
化标准
对于非标准形式的双曲线方程要先化成标准形式
定位置
根据方程确定焦点在x轴上还是在y轴上
写出a2,b2的值，由a2+b2=c2得出c2的值
求参数
写性质
根据上面所求a,b,c,由焦点所在的坐标轴得出所求的几何性质
解：可设双曲线方程为
∵2a=16，即a=8，
∴双曲线的方程为
渐近线方程
例2:已知双曲线顶点间距离是16，离心率 焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方程，并且求出它的渐近线和焦点坐标.
焦点坐标为F1(-10，0)，F2(10，0).
练一练
2.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)渐近线方程为y=±2x，实轴长为2且焦点在x轴上；
(2)顶点为(0,-6)，(0,6)，渐近线方程为 ；
(3)渐近线方程为 ，且经过点 .
根据今天所学，回答下列问题：
1.双曲线的离心率和渐近线方程分别是什么？
2.由双曲线的方程求几何性质的步骤有哪些？

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