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(共45张PPT)
2.1.2 椭圆的简单几何性质
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a（2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做焦距2c.
特别注意:
当2a>|F1F2|时,轨迹是椭圆;
当2a=|F1F2|时,轨迹是线段F1F2;
当2a<|F1F2|时,轨迹不存在.
F1 0 F2 X
Y
M
1.椭圆的定义
温故知新
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
标准方程
图 形
焦点坐标
a、b、c 的关系
焦点位置的判断
x
y
F1
F2
P
O
x
y
F1
F2
P
O
2.椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
o
y
x
椭圆的简单几何性质
观图，你看到了什么？
一、椭圆的范围
即
-a≤x≤a -b ≤y≤b
结论:椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成的矩形里.
o
x
y
-a
a
b
-b
1、范围：
*
Y
X
O
P（x，y）
P2（-x，y）
P3（-x，-y）
P1（x，-y）
关于x轴对称
关于y轴对称
关于原点对称
2、对称性：
*
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
从方程上看：
（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；
（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。
即标准方程的椭圆是以坐标轴为对称轴，坐标原点为对称中心。
练习：1.已知点P(3，6)在 上,则( )
(A) 点(-3,-6)不在椭圆上
(B) 点(3,-6)不在椭圆上
(C) 点(-3,6)在椭圆上
(D) 无法判断点(-3,-6), (3,-6), (-3,6)是否在椭圆上
三、椭圆的顶点
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
o
x
y
B1(0,b)
B2(0,-b)
A1(-a,0)
A2(a,0)
令x=0,得y=？说明椭圆
与y轴的交点为(0,b)、(0,-b)
令y=0,得x=？说明椭圆
与x轴的交点为(a,0)、(-a,0)
3、顶点：
三、椭圆的顶点
长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
o
x
y
B1(0,b)
B2(0,-b)
A1
A2
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？
焦点落在椭圆的长轴上
长轴：线段A1A2；
长轴长 |A1A2|=2a
短轴：线段B1B2；
短轴长 |B1B2|=2b
焦 距 |F1F2| =2c
①a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长；
③焦点必在长轴上；
② a2=b2+c2，
o
x
y
B2(0,b)
B1(0,-b)
A2
(a, 0)
A1
(-a, 0)
b
a
c
椭圆的简单几何性质
a
F2
F1
|B2F2|=a；
注 意
*
巩固提升：1、已知椭圆方程16x2+25y2=400,
10
8
6
80
分析：椭圆方程转化为标准方程为：
a=5 b=4 c=3
o
x
y
o
x
y
它的长轴长是： 。短轴长是： 。
焦距是 。 离心率等于： 。
焦点坐标是： 。顶点坐标是： 。
外切矩形的面积等于： 。
由椭圆的范围、对称性和顶点，再
进行描点画图，只须描出较少的点，
就可以得到较正确的图形.
四、椭圆的离心率
离心率:椭圆的焦距与长轴长的比 ,叫做椭圆的离心率.
离心率的取值范围：
因为 a > c > 0，所以04、离心率：
因为a>c>0，
所以0 < e <1.
离心率越大，椭圆越扁
离心率越小，椭圆越圆
O
x
y
a
b
●
c
[2]离心率对椭圆形状的影响：
1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，
椭圆就越扁
2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，
椭圆就越圆
*
思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲线又是 什么？
如果a=b，则c=0，两个焦点重合，
椭圆的标准方程就变为圆的方程：
e=0，这时两个焦点重合，图形变为圆．
e=1,为线段。
[3]e与a,b的关系:
*
结论：离心率e越大，椭圆越扁；
离心率e越小，椭圆越圆.
巩固提升：
1.说出椭圆 的范围,长轴
长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:
2.比较下列每组中两个椭圆的形状,哪一个更扁
根据：离心率e越大，椭圆越扁；
离心率e越小，椭圆越圆
3.已知椭圆方程为 则
它的长轴长是： ;
短轴长是： ;
焦距是： ;
离心率等于： ;
焦点坐标是： （0，） ＿＿＿;
顶点坐标是： ＿＿＿＿＿＿＿;
外切矩形的面积等于： 。
2
x
y
Ｏ
A2
(a, 0)
A1
(-a, 0)
B2(0,b)
B1(0,-b)
一个框，四个点，
注意光滑和圆扁,
莫忘对称要体现．
用曲线的图形和方程
来研究
椭圆的简单几何性质
小结：基本元素
{1}基本量：a、b、c、e、（共四个量）
{2}基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）
{3}基本线：对称轴（共两条线）
o
x
y
B1(0,b)
B2(0,-b)
A1(-a,0)
A2(a,0)
︱ ︱
F1 F2
方程
图
形
范围
对称性
顶点
离心率
x
y
B1
B2
A1
A2
∣ ∣
F1 F2
A2
A1
B1
B2
0
关于x轴，y轴，原点对称
x
y
F1
F2
O
例1.求椭圆16x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标.
解：把已知方程化成标准方程
因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是
离心率
焦点坐标分别是
四个顶点坐标是
例2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点 、 ；
（2）长轴长等于 ,离心率等于 ．
解:（1）由题意， ,又∵长轴在
轴上，所以，椭圆的标准方程为
（2）由已知， ，
∴ ， ，∴ ，
所以椭圆的标准方程为 或 ．
已知椭圆 的离心率 ，求 的值
由 ，得：
解：当椭圆的焦点在 轴上时，
， ，得 ．
当椭圆的焦点在 轴上时，
， ，得 ．
由 ，得 ，即 ．
∴满足条件的 或 ．
思考：
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到距地球表面近地点(离地面 近的点)高度约200km,远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位于椭圆轨道的一个焦点，且近地点、远地点与地心共线)
例4、如图，在圆　　　　　上任取一点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
解:设点M坐标为M(x,y), 点P的坐标为
P(x’,y’),则
由题意可得：
因为
所以
即
这就是点M的轨迹方程，它表示一个椭圆。
相关点分析法:即利用中间变量求曲线方程.
o
x
y
P
M
D
1、在下列方程所表示的曲线中,关于x轴,y轴都对称的是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
2、椭圆以坐标轴为对称轴，离心率 ，长轴长为6，
则椭圆的方程 为（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
或
或
D
C
课堂练习
2、求适合下列条件的椭圆的标准方程
(1) a=6, e= , 焦点在x轴上
(2) 离心率 e=0.8, 焦距为8
求椭圆的标准方程时, 应:
先定位(焦点), 再定量（a、b）
当焦点位置不确定时，要讨论，此时有两个解！
4. 椭圆的一个顶点为 ,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置
椭圆的标准方程为： ；
椭圆的标准方程为： ；
解：（1）当 为长轴端点时， ， ，
（2）当 为短轴端点时， , ，
综上所述，椭圆的标准方程是 或
你学会了吗
※对自己说，你有什么收获？
※对同学说，你有什么提示？
※对老师说，你有什么疑惑？
标准方程
图 象
范 围
对 称 性
顶点坐标
焦点坐标
半 轴 长
焦 距
a,b,c关系
离 心 率
|x|≤ a,|y|≤ b
|x|≤ b,|y|≤ a
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。
（ a ,0 ）,(0, b)
（ b ,0 ）,(0, a)
(±c,0)
(0, ±c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a2=b2+c2
课外阅读：椭圆第二定义
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。
F
l
x
o
y
M
H
d
猜想证明
若动点P(x,y)和定点F(c,0)的距离与它到定直线l: 的距离的比是常数 (0猜想
将上式两边平方并化简得:
0
x
y
P
证明:由已知，得
猜想证明
这是椭圆的标准方程，所以P点的轨迹是长轴长为2a
短轴长为2b
的椭圆.
由此可知,当点M与一个定点的距离和它到一条定直
线的距离的比是一个常数
时,这个点的
轨迹是椭圆,这就是椭圆的第二定义，定点是椭圆的
焦点,定直线叫做椭圆的准线,,常数e是椭圆的离心率.
0
x
y
M
对于椭圆
相应于焦点
的准线
方程是
能不能说M到 的距离与到直线
的距离比也是离心率e呢
)
0
,
(
-c
F

概念分析
由椭圆的对称性，相应于焦点
的准线方程是
O
x
y
P
F1
F2
O
y
x
P
F1
F2
右准线
上准线
下准线
左准线
上焦点(0,c), 上准线
右焦点(c,0), 右准线
下焦点(0,-c), 下准线
左焦点(-c,0), 左准线
焦点准线
例2 求中心在原点,一条准线方程是x=3，
离心率为 的椭圆标准方程.
解:依题意设椭圆标准方程为
由已知有
解得a=
c=
所求椭圆的标准方程为
例题讲解
P（x0，y0）是椭圆 （a＞b＞0）上的一点，F1，F2是左、右焦点，则PF1，PF2叫焦半径，求证∣PF左∣＝a+ex0 ∣PF右∣＝a-ex0，
例 3
证明:
y
o
P(x0,y0)
x
F1(-C,0)
F1(C,0)
d1
d2
由题意得d1=x0+
d2
=
-
x0
又:
=
=e
=
∴
=ed1=e(x0+
)=
=ed2=e( - x0)=
a+ex0
a-ex0
(法一)
(法二):利用两点距离公式
焦半径：
1)P（x0，y0）是椭圆 （a＞b＞0）上的一点，F1，F2是左、右焦点，则PF1，PF2叫焦半径∣PF左∣＝a+ex0， ∣PF右∣＝a-ex0
2)AB过焦点的弦,
=2a+e(XA+XB)
=2a-e(XA+XB)
Rmax=a+c
Rmin=a-c
3)通经:过焦点且与长轴垂直的弦 d
d=
(当焦点在y轴上时----------- )
例2:在椭圆
距离是到右焦点距离的2倍.
=1求一点P使它到左焦点
+
例2:在椭圆
+
=1求一点P使它到左焦点
距离是到右焦点距离的2倍.
解:设P(x0,y0) 由题意得a=5 c=4 e=
=
a+ex0=5+
x0
=5 -
x0
又
=2
∴
5+ X0
=
2( 5 - X0)
∴
X0=
代入
+
=1
得:y0=±
所以 P( , )
±

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