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2.3.2 第1课时
新授课
抛物线的简单几何性质
1.掌握抛物线的简单几何性质；
2.了解焦点在坐标轴不同位置上的抛物线的标准方程；
3.会用待定系数法求抛物线方程.
问题导入
问题：根据抛物线的标准方程可以得到抛物线的哪些几何性质呢？
知识点1：抛物线的几何性质
抛物线在y轴的右侧，开口向右；
当x的值增大时，|y|的值也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
由 可知，对于抛物线上的点M(x,y)，
x≥0,y∈R.
1.范围
l
F
M
K
O
y
x
2.对称性
(x0,y0)
(x0,-y0)
根据y2=2px(p＞0)①的结构特点，可以发现：若(x0，y0)满足方程①，则(x0，-y0)也满足方程①，
l
F
M
K
O
y
x
∴抛物线y2=2px(p＞0)是关于x轴对称的曲线.
抛物线和它的对称轴的交点叫作抛物线的顶点.
3.顶点
在方程①中，当y=0时，x=0，因此，抛物线的顶点就是坐标原点.
4.离心率
由抛物线的定义可知，e = 1．
l
F
M
K
O
y
x
抛物线上的点M 到焦点F的距离和它到准线的距离d的比 叫作抛物线的离心率，用e表示.
归纳总结
(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；
(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
(3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；
(4)抛物线的离心率e是确定的，e=1.
思考交流：在建立椭圆和双曲线的标准方程时，由于焦点在平面直角坐标系中的位置不同，它们各有两种形式的标准方程，你认为抛物线的标准方程一共有几种形式？请写出相应的标准方程和准线方程及其几何性质.
y
x
o
知识点2：几种抛物线的形式
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
范围
对称性
顶点
离心率
y2 = 2px
y2 = -2px
x2 = 2py
x2 = -2py
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
x≥0, y∈R
x≤0, y∈R
x∈R, y≥0
x∈R, y≤0
l
F
y
x
O
关于x轴对称
关于y轴对称
(0,0)
e=1
不同抛物线的简单几何性质
例1:求顶点在原点，经过点( ，-6)，且以坐标轴为对称轴的抛物线的标准方程.
如图.
解：∵点( ，-6)在第四象限，
∴若x轴是抛物线的对称轴，则设抛物线的标准方程为
∵点( ，-6)在抛物线上，
解得
∴所求抛物线的标准方程为
例1:求顶点在原点，经过点( ，-6)，且以坐标轴为对称轴的抛物线的标准方程.
如图.
若y轴是抛物线的对称轴，
同理可得抛物线的标准方程为
归纳总结
用待定系数法求抛物线方程的步骤
根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向
定位置
设方程
根据焦点和开口方向设出标准方程
寻关系
根据条件列出关于p的方程
得方程
解方程，将p代入所设方程为所求
练一练
1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
(1)y2=20x;
(2)x2= y;
(3)2y2+5x=0;
(4)x2+8y=0.
焦点F (5,0), 准线方程为x=-5；
焦点F (0, ), 准线方程为y=
焦点F ( ,0), 准线方程为x=
焦点F (0, -2), 准线方程为y=2.
练一练
解：∵点(-3，-1)在第三象限，
若抛物线的标准方程为y2＝-2px(p>0)，
∴设所求抛物线的标准方程为y2＝-2px(p>0)或x2＝-2py(p>0).
将点(-3，-1)代入方程，解得
此时抛物线的标准方程为
2.求顶点在原点，经过点(-3，-1)，且以坐标轴为对称轴的抛物线的标准方程.
练一练
2.求顶点在原点，经过点(-3，-1)，且以坐标轴为对称轴的抛物线的标准方程.
若抛物线的标准方程为x2＝-2py(p>0)，
此时抛物线的标准方程为x2＝-9y.
将点(-3，-1)代入方程，解得
故所求抛物线的标准方程为 或x2=-9y.
根据今天所学，回答下列问题：
1.抛物线的形式有哪几种？其焦点坐标、准线方程、几何性质分别是什么？
2.用待定系数法求抛物线方程的步骤是什么？

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