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6.2.2离散型随机变量的分布列
随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量。常用 字母 表示。
附:随机变量ξ或η的特点：
(1)可以用数表示；
(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值;
(3)在试验之前不可能确定取何值。
温故知新
对于随机试验我们引入了随机变量的概念,这样，了解随机试验的规律就转化为了解随机变量的所有可能取值,以及随机变量取各个值的概率.了解了上述两点,我们就可以说了解了这个随机实验的规律
抛掷一枚骰子，所得的点数X有哪些值？X取每个值的概率是多少？
则
1
2
6
5
4
3
解：
X的取值有1、2、3、4、5、6
而且列出了X的每一个取值的概率．
该表不仅列出了随机变量X的所有取值．
实例分析：
（1）从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，
被取出的卡片的号数；
（2）某射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目
标得0分，该射手在一次射击中的得分；
（3）某城市1天之中发生的火警次数；
（x=1、2、3、···、10）
（Y=0、1）
（X=0、1、2、3、···）
离散型
问题1：下列随机试验的结果能否用随机变量表示 若能,请写出各随机变量可能的取值.
想一想：以上3题的随机变量能不能一一列举出来？
所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.
离散型随机变量定义：
随 机 变 量 的分类：
（1）某品牌的电灯泡的寿命Y；
（2）某林场树木最高达30米，最低是0.5米，则此林场
任意一棵树木的高度X．
（3）任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料，其实际量与
规定量之差X.
[0，+∞)
[0.5，30]
连续型
问题2：下列两个问题中的X是离散型随机变量吗？
若随机变量可以取某个区间内的一切值，那么这样的随机变量叫做连续型随机变量。
注意：
（1）随机变量不止两种，高中阶段我们只研究离散型随机变量；
（2）变量离散与否与变量的选取有关；比如：如果我们只关心电灯泡的使用寿命是否不少于1000小时，那么我们可以这样来定义随机变量？
，
，
它只取两个值0和1，是一个离散型随机变量
小结：我们可以根据关心的问题恰当的定义随机变量.
[0，2500]
（2）某林场树木最高达30米，最低是0.5米，则此林场
任意一棵树木的高度X；
（3）任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料，其实际量与
规定量之差X.
[0.5，30]
[0，2500]
一展身手：对于上面问题中的（2）（3）你能不能恰当的定义随机变量，使得随机变量为离散型随机变量呢
X=
X=
强化检测：
1.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是( )
A.两次出现的点数之和
B.两次掷出的最大点数
C.第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数的点数值
D.抛掷的次数
D
2.如果记上述C选项中的值为ξ，试问:
(1)“ξ>4”表示的试验结果是什么 (2)P(ξ>4)=
答: (1)因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种
结果之一，由已知得 ，也就是说“ ＞4”就是
“ ＝5”．所以，“ ＞4”表示第一枚为6点，第二枚为1点．
3.袋中有大小相同的5个小球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，现在在有放回的条件下取出两个小球，设两个小球号码之和为　，则ξ所有可能值的个数是____　　个；“　　　”表示　　　　　　　．
9
“第一次抽1号、第二次抽3号，
或者第一次抽3号、第二次抽1号，
或者第一次、第二次都抽2号．
4.一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数ξ是一个随机变量，则P(ξ=12)=___________。（用式子表示）
一般地，若离散型随机变量X的所有可能取值为x1，x2，…，xi，…， xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
pn
…
pi
…
p2
p1
P
xn
…
xi
…
x2
x1
X
上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.
函数有哪几种表示方法？
解析：解析法，列表法，图象法.
离散型随机变量X的分布列，反映了X的不同取值
与它对应的概率之间的函数关系，既然函数有三种表
示法，那么分布列也有三种表示法.对于前述取球问
题的分布列，用解析法，图象法分别怎样表示？
离散型随机变量分布列的表示及性质
袋中有大小相同的1个红球，2个白球和3个黑球，从中任取一个球，用X表示所得球的颜色.
解析法：
(i＝1，2，3)；
图象法：
X
P
O
1
2
3
1/3
1/6
1/2
设离散型随机变量X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n，则每个pi的取值范围是什么？所有pi之间有什么关系？
（1）pi≥0，i＝1，2，…，n；
（2）p1＋p2＋…＋pn＝1.
例3 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求他罚球一次得分的分布列.
0.3
0.7
P
1
0
X
解：用随机变量X表示每次罚球所得的分值.根据题意,X的可能取值为1,0,且取这两个值的概率分别为0.7,0.3,因此所求的分布列如表6-4:
抽象概括
若在某个试验中，每次试验只有两个相互对立的结果,可以分别称为“成功”和“失败”，每次“成功”的概率均为p,每次“失败”的概率均为1-p,则称这样的试验为伯努利试验.如果随机变量X的分布列如表6-5:
X 1 0
P p q
其中0巩固提升 在掷一枚图钉的随机试验中,令
如果针尖向上的概率为p,试写出随机变量X的分布列.
解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是(1-p)，于是，随机变量X的分布列是：
X 0 1
P 1-p p
解 ：我们用(i,j)表示抛掷的结果,其中i表示第一次掷出的点数，j表示第二次掷出的点数.例如,(3,4)表示第一次掷出的点数为3,第二次掷出的点数为4.于是,连续抛掷一枚均匀的骰子两次,共有36种结果,结果如表6-6:
例4 连续抛掷一枚均匀的骰子两次,用X表示掷出的点数之和,试求X的分布列.
显然，这36种结果发生的概率是相同的，都是 .
由上表，X的可能取值为2，3，…，12，
使X=2有1种：（1，1），则 .
使X=3有2种：（1，2）、（2，1），则.
使X=4有3种：（1，3）、（2，2）、（3，1），则.
同可求得随机变量X取其他值的概率,最后可得X的分布列如表6-7
例5：一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出3个小球，以　表示取出球的最大号码，求　的分布列．
解：
表示其中一个球号码等于“3”，另两个都比“3”小
∴
∴
∴
∴
∴
随机变量
的分布列为：
6
5
4
3
的所有取值为：3、4、5、6．
表示其中一个球号码等于“4”，另两个都比“4”小
表示其中一个球号码等于“5”，另两个都比“5”小
表示其中一个球号码等于“3”，另两个都比“3”小
说明：在写出ξ的分布列后，要及时检查所有的概率之和是否为1．
求离散型随机变量的概率分布的方法步骤：
1、找出随机变量ξ的所有可能的取值
2、求出各取值的概率
3、列成表格。
X x1 x2 … xi …
P P1 P2 … Pi …
例6：设随机变量X的分布列为p(x=i)= ,(i=1,2,3)
求实数a的值。
解：因为 ，所以
解得
故实数a的值为
－2
－1
3
2
1
0
分别求出随机变量⑴
的分布列．
解：
且相应取值的概率没有变化
∴
的分布列为：
例7：
已知随机变量　的分布列如下：
－1
1
0
⑴由
可得
的取值为
0，
，1，
解：
∴
的分布列为：
⑵由
可得
的取值为0、1、4、9
0
9
4
1
例7：
已知随机变量　的分布列如下：
－2
－1
3
2
1
0
分别求出随机变量⑴
的分布列．
1.袋中有个5红球，4个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得0分，现从袋中随机摸4个球，求所得分数X的概率分布列。
课堂练习：
X
P
0 2 4 6 8
0.3
0.16
P
3
2
1
0
-1
ξ
3、若随机变量ξ的分布列如下表所示，则常数a=_____
C
0.88
0.3
0.16
P
3
2
1
0
-1
ξ
4、若随机变量ξ的分布列如下表所示，则常数a=_____
5.对于下列分布列有P(|ξ|＝2)＝_____.
6.下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的
是(　　)
D
7．设离散型随机变量ξ的概率分布列为
则下列各式中成立的是(　　)
A．P(ξ＝1.5)＝0　　 B．P(ξ>－1)＝1
C．P(ξ<3)＝1 D．P(ξ<0)＝0
A

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