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新授课
6.5 正态分布
前面讨论了离散型随机变量，它们的取值是可以一一列举的.但在实际问题中，还有许多随机变量可以取某一区间中的所有值.例如：
1.某一自动装置无故障运转的时间X是一个随机变量，它可以取区间
(0，+∞)内的所有值.
2.某种产品的寿命(使用时间)X是一个随机变量，它可以取区间[0,b]或[0，+∞)内的所有值.
怎样描述这样的随机变量的分布情况呢？
1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
2.了解正态分布的均值、方差及3σ原则，会用正态分布去解决实际问题.
设X表示某产品的寿命(单位：h)人们对该产品有如下的了解：寿命小于500h的概率为0.71，寿命在500h~800h的概率为0.22，寿命在800h~1000h的概率为0.07，怎样描述X的分布情况呢？
根据已知可画出图1的频率分布直方图.
图1
缺点：比较粗糙.
将区间分得更细
图2
将区间无限细分，
得到一条曲线.
图3
这条曲线称为随机变量X的分布密度曲线，这条曲线对应的函数称为X的分布密度函数，记为f(x).
如果知道了随机变量X的分布密度曲线，则X取值于区间(a，b]的概率是该曲线下相应“曲边梯形”(如图3中的阴影部分)的面积.
人们把具有分布密度函数的随机变量称为连续型随机变量，最常见的一类连续型随机变量是由误差引起的.一般地，误差在0附近的概率大，远离0的概率小，误差大于0的概率与小于0的概率相同，即误差的分布具有对称性.因此，这一类连续型随机变量X的分布密度曲线一般是形状像“钟”的光滑曲线(如图4)
图4
概念生成
由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象如图4，对应的分布密度函数解析式为
其中实数μ，σ(σ>0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为正态曲线.
正态分布是最常见、最重要的连续型随机变量的分布，是刻画误差分布的重要模型，因此也称为误差模型.
如果随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数μ，σ(σ>0)确定，记为X~N(μ，σ2).其中EX=μ,DX=σ2.曲线与x轴之间的面积为1.
正态分布的特点：
如果一个随机变量X服从正态分布，那么对于任何实数a,b(a正态曲线有如下性质：
(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
(2)曲线是单峰的，关于直线x=μ对称.
(3)曲线的最高点位于x=μ处.
(4)当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线(如图).
思考：一个正态分布完全由参数μ和σ确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响 它们反映正态分布的哪些特征
(1)当参数σ取定值时：
μ3= -1
μ1=0　
μ2=1
x
y
若σ固定， 图像位置随μ值的变化而沿x轴平移
σ=1
为位置参数

2 =0.5
1 =1
3=2
μ=0　
x
y
(2)当参数μ取定值时：
若μ固定，σ越大， 曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
σ越小， 曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中.
为形状参数

一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A.甲科总体的标准差最小
B.丙科总体的平均数最小
C.乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大
D.甲、乙、丙总体的平均数不相同
练一练
A

(μ-σ，μ+σ]：68.3%,(μ-2σ，μ+2σ]：95.4%,(μ-3σ，μ+3σ]：99.7%.
在区间(μ-3σ，μ+3σ]外取值的概率为：1-99.7%=0.3%.
特别地，
通常认为这种情况在一次试验中几乎是不可能发生的，认为是小概率事件.因此，在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ,σ)的随机变量X只取区间
(μ-3σ，μ+3σ]之间的值，并称之为3σ原则.
例1 根据正态曲线的函数解析式，找出其均值μ和标准差σ.
(1) ; (2)
(1)μ=0,σ=1;
解:将所给的函数解析式与正态分布密度函数的解析式
对照可得.
(2)μ=1,σ= .
例2 某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数分别为μ=500g,
σ=1g.为了检查设备运行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测量其质量.当检查员随机地抽取一个产品，测得其质量为504g时，他立即要求停止生产，检查设备，他的决定是否有道理？
解:∵产品的质量服从正态分布，μ=500g,σ=1g,
∴根据正态分布的性质可知产品质量在区间（μ-3σ，μ+3σ],
即（497,503]之间的概率约为99.7%，而产品的质量超出这个范围的概率只有0.3%，这是一个几乎不可能发生的事件.
而504g不在这个范围内,这说明设备的运行可能不正常，
因此检查员的决定是有道理的.
某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4,0.52).质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7 cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？
解:由于外直径X~N(4,0.52)，
则X在[4-3×0.5,4+3×0.5]之内取值的概率为99.7%，在[2.5,5.5]之外取值的概率为0.3%，
而5.7 [2.5,5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的.
练一练
针对本节课所学内容，说说你都学到了哪些知识？
正态分布
应用
概率的计算
密度曲线的特征
3σ原则
正态密度函数
分布参数的意义
正态密度曲线

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