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第六章 概率
§1 随机事件的条件概率
1.1 条件概率的概念
新课导入
甲、乙是两相邻城市，由天气预报知，明天甲市下雨的概率为，乙市下雨的概率为.根据经验，两市同时下雨的概率为.如果明天一早起来发现甲市已经下雨，那么乙市下雨的概率还是吗？
学习目标
1.通过对具体情境的分析,了解条件概率的定义.
2.掌握简单的条件概率的计算问题. 3.能利用条件概率公式解决简单的实际问题.
新知学习 探究
一 条件概率的概念
思考1．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，两次都是正面向上的事件记为，是多少？
提示： 正正，故.
思考2．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？
提示：将第一次出现正面向上的事件记为，将第二次出现正面向上的事件记为,则 正正，正反，那么，在 发生的条件下，发生的概率为.
思考3．思考1与思考2两个事件的概率为什么不一样？
提示：因为在事件 发生的条件下，事件 发生的概率相当于以 为样本空间积事件 发生的概率,两者的样本空间发生了变化，所以其概率是不一样的.
［知识梳理］
1．条件概率的概念
定义 设，是两个事件，且①_ _ _ _ _ _ _ _ ，则称为在②_ _ _ _ _ _ _ _ 发生的条件下事件发生的条件概率.读作③_ _ _ _ _ _ _ _ 的条件下发生的概率.
集合角度的解释 若事件已发生，则为使也发生，试验结果必须是既在中又在中的样本点，即此点必属于（如图）.由于已知已经发生，故成为计算条件概率新的样本空间.
【答案】； 事件； 发生
2．条件概率的算法
定义 已知事件发生，在此条件下事件发生，即事件发生，要求，相当于把看作新的样本空间计算事件发生的概率.
运算公式 （1）定义法：； （2）缩小样本空间法：④._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
提醒 .
【答案】
角度1 利用定义求条件概率
［例1］ 某校从学生文艺部7名成员（4男3女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.
（1） 求男生甲被选中的概率；
（2） 在已知男生甲被选中的条件下，求女生乙被选中的概率；
（3） 在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.
【答案】
（1） 【解】从7名成员中挑选2名成员，共有 个样本点，
记“男生甲被选中”为事件，事件 所包含的样本点数为（个），故.
（2） 记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，由（1）知，，
，
故.
（3） 记“挑选的2人为一男一女”为事件，事件 所包含的样本点数为（个），由（1），则，“女生乙被选中”为事件，则，故.
利用定义计算条件概率的关注点
（1）当题目条件中出现“在……发生的条件下……发生的概率”时，一般可认为是条件概率.
（2）利用条件概率公式求概率时，先计算，,再利用公式，计算求得，要注意不能随便用事件的概率代替.
［跟踪训练1］．
（1） 已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占.若从这个班级的学生中任意抽取一人，则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（ ）
A. B. C. D.
（2） 设某动物从出生算起活到20岁的概率为，活到25岁的概率为，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是_ _ .
【答案】（1） C
（2） 0.5
【解析】
（1） 选.设事件 为“抽到喜欢文学阅读的学生”，事件 为“抽到喜欢科普阅读的学生”，
则，，
则，
即在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为.故选.
（2） 根据条件概率公式知.
角度2 缩小样本空间求条件概率
［例2］ 盒内装有除型号和颜色外完全相同的16个球，其中6个型玻璃球，10个型玻璃球.型玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；型玻璃球中有3个是红色的，7个是蓝色的.现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是型玻璃球的概率是多少？
【解】 方法一：设取到的球是蓝球为事件，取到的球是 型玻璃球为事件，
则，，
所以.
方法二：设取到的球是蓝球为事件，取到的球是 型玻璃球为事件，
因为，，
所以.
故取到的是蓝球，该球是 型玻璃球的概率是.
利用缩小样本空间的方法计算条件概率的步骤
（1）明确概念：首先明确是求“在……发生的前提下……发生的概率”.
（2）转换样本空间：把给定事件所含的样本点定义为新的样本空间，显然待求事件便缩小为事件.
（3）公式计算：如图所示，从而.
［跟踪训练2］．现有6个节目准备参加比赛，其中有4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求:
（1） 第1次抽到舞蹈节目的概率；
（2） 第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
（3） 在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.
【答案】［跟踪训练2］ 解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件，“第2次抽到舞蹈节目”为事件，则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件.
（1） 从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的样本点个数为.根据分步乘法计数原理，得,所以.
（2） 因为,所以.
（3） 方法一：由（1）（2）得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为.
方法二：因为,,所以.
二 互斥事件的条件概率
［知识梳理］
互斥事件的条件概率：如果与是两个互斥事件，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
前提条件 .
判断，关系 ，与必须互斥，并且都是在同一个条件下.
【答案】
【解析】点拨 若 和 互为对立事件，则.
［例3］ 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从中任选一个.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字.求：
（1） 任意按最后一位数字，不超过两次就按对的概率；
（2） 如果他记得密码的最后一位数字是偶数，不超过两次就按对的概率.
【答案】［例3］ 【解】 设事件 表示“第 次按对密码”，事件 表示“不超过两次就按对密码”，则.
（1） 依题意知事件 与事件 互斥，由概率的加法公式得.故任意按最后一位数字，不超过两次就按对的概率为.
（2） 设事件 表示“密码的最后一位数字是偶数”，则.故如果他记得密码的最后一位数字是偶数，不超过两次就按对的概率是.
互斥事件条件概率的解题策略
（1）分析条件，选择公式：首先看事件,是否互斥，若互斥，则选择公式.
（2）分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个（或若干个）互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率后，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率.
［跟踪训练3］．[（2025·汉中期末）]有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机抽取两瓶，若取得的两瓶墨水中有一瓶是蓝色，求另一瓶是红色或黑色的概率.
解：设事件 为“其中一瓶是蓝色”，事件 为“另一瓶是红色”，事件 为“另一瓶是黑色”，事件 为“另一瓶是红色或黑色”，
则，且 与 互斥，
易求得，
,,
故,即取得的两瓶墨水中有一瓶是蓝色，另一瓶是红色或黑色的概率为.
课堂巩固 自测
1．小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间的观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件，“小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件，则由题意可得,，所求概率为.故选.
2．已知事件和是互斥事件，，，，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意知，，，则.
3．（教材 改编）抛掷红、蓝两枚骰子，记事件为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件为“两枚骰子的点数之和大于8”，则_ _ _ _ _ _ ；_ _ _ _ _ _ .
【答案】；
【解析】抛掷红、蓝两枚骰子，样本空间共有 个等可能的样本点，其中事件 包含的样本点为（个），所以；
由于，，，，
所以事件 包含的样本点为（个），所以；
事件 包含的样本点为6个，
故.
由条件概率公式得：
；
.
4．从一副52张的扑克牌（去掉两张王牌）中任取1张，求抽到梅花的条件下，抽到的是梅花5的概率.
解：设事件 为“抽到梅花”，事件 为“抽到梅花5”.已知事件 发生的条件下，则 成为试验的样本空间，中的样本点具有等可能性，是 的子集，所以.
1.已学习：条件概率的概念，互斥事件的条件概率.
2.须贯通：准确理解条件概率的概念，并能够应用两种方法求出条件概率.
3.应注意：不要混淆条件概率与积事件的概率两个概念.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知,，则（ ）
A. 0.75 B. 0.6 C. 0.48 D. 0.2
【答案】A
2．某工厂生产了一批产品，需等待检测后才能销售.检测人员从这批产品中随机抽取了5件产品来检测，现已知这5件产品中有3件正品，2件次品，从中不放回地取出产品，每次1件，共取两次.已知第一次取得次品，则第二次取得正品的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.设事件“第一次取得次品”，事件“第二次取得正品”，则，，故.故选.
3．袋子中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到黑球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.依题意，在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到黑球的概率为.故选.
4．[（2025·南阳月考）]甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动，可以从，，，四个社区中随机选择一个社区，设事件为“甲和乙至少一人选择了社区”，事件为“甲和乙选择的社区不相同”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.甲、乙两名大学生从四个社区中随机选择一个社区的情况共有（种），事件 发生的情况共有（种），事件 和事件 同时发生的情况共有6种，所以.故选.
5．已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两球，每次取一球，记第一次取出的球的数字是，第二次取出的球的数字是.若事件“为偶数”，事件“，中有偶数且”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由题意，有放回地随机取两球，所以，因为事件“,中有偶数且”，所以,因为事件“为偶数”，事件“,中有偶数且”，所以事件“,均为偶数且”，所以，所以.故选.
6．（多选）某校高二（1）班有学生40人，其中共青团员15人.全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人.从该班任选一人作为学生代表，下列说法错误的是（ ）
A. 选到的是第一组的学生的概率为
B. 选到的是第一组的学生的概率为
C. 已知选到的是共青团员，则他是第一组学生的概率为
D. 已知选到的是共青团员，则他是第一组学生的概率为
【答案】AC
【解析】选.设事件 表示“选到第一组学生”，事件 表示“选到共青团员”，由题意，，故选项 错误，选项 正确；要求的是在事件 发生的条件下，事件 发生的条件概率，在事件 发生的条件下（即以所选到的学生是共青团员为前提），有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择，因此，故选项 错误，选项 正确.故选.
7．在某学习软件中，小明闯过第一关的概率为，连续闯过前两关的概率为.事件表示小明第一关闯关成功，事件表示小明第二关闯关成功，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意，得，，所以.
8．某中学高三年级在大课间期间提供三项体育活动：足球、篮球、乒乓球供学生选择.小明、小红从这三项运动中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响，在小明选择篮球的前提下，两人的选择不同的概率为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】记事件 为“小明选择篮球”，事件 为“小明、小红的选择不同”，则，，由条件概率公式可得.
9．一个盒子里装有3种大小、形状、质地都一样的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个，现从盒子中随机取出两个球，记事件为“取出的两个球颜色不同”，事件为“取出一个黄球，一个蓝球”，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意得，则，由条件概率公式可得.
10．（13分）在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率.
解：记事件 为“该考生6道题全答对”，事件 为“该考生答对了其中5道题，另1道题答错”，事件 为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件 为“该考生在这次考试中通过”，事件 为“该考生在这次考试中获得优秀”，则，，两两互斥，且，，可知,,,.故所求概率为.
B 能力提升
11．如图，地面上现有标号为号的一个游戏方格，某人投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则他连续向前走2格，若反面朝上，则他连续向前走3格，他从起始位置出发，若他超过10号位置，则游戏结束，那么他在8号位置停留的条件下，恰好已经投掷了四次硬币的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.设“他在8号位置停留”为事件，“恰好已经投掷了四次硬币”为事件，事件 即为投掷三次，一个正面两个反面，或者投掷四次全部为正面，事件 即为投掷四次全部为正面.
则所求概率为.
12．已知事件，发生的概率，，若，事件，，分别表示，不发生和至少有一个发生，则_ _ ，_ _ .
【答案】0.8； 0.6
【解析】如图所示，作出符合题意的 图.由题意得，,,,，，.
13．（13分）某单位入口处有一台摄像机用于记录进入该入口的人员.下面是在系统测试中对不同天气条件下检测到的人数与未检测到的人数的统计表：
类别 晴天 阴天 雨天 下雪 刮风
检测到的人数 21 228 226 7 185
未检测到的人数 0 6 6 3 10
合计 21 234 232 10 195
（1） 在阴天条件下，监控系统检测到进入者的概率是多少？（6分）
（2） 已知监控系统漏检了一个进入者，天气条件是下雪天的概率是多少？（7分）
【答案】（1） 解：阴天条件下检测到的人数为228，未检测到的人数为6，故阴天条件下，监控系统检测到进入者的概率.
（2） 设监控系统漏检了一个进入者为事件，天气条件是下雪天为事件，根据表格数据可得，
则监控系统漏检了一个进入者，天气条件是下雪天的概率.
14．（15分）某单位有，两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
甲员工 30天 20天 40天 10天
乙员工 20天 25天 15天 40天
假设甲、乙两位员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率.
（1） 分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择在餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择在餐厅就餐的概率；（6分）
（2） 试判断甲、乙两位员工在晚餐选择在餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择在餐厅就餐，并说明理由.（9分）
【答案】（1） 解：设事件 为“一天中甲员工午餐和晚餐都选择在 餐厅就餐”，事件 为“一天中乙员工午餐和晚餐都选择在 餐厅就餐”.由于100个工作日中甲员工午餐、晚餐都选择在 餐厅就餐的天数为30，乙员工午餐、晚餐都选择在 餐厅就餐的天数为40，所以，.
（2） 设事件 为“甲员工晚餐选择在 餐厅就餐”，事件 为“乙员工晚餐选择在 餐厅就餐”，事件 为“甲员工午餐时选择在 餐厅就餐”，事件 为“乙员工午餐时选择在 餐厅就餐”，则，.因为，所以在已知晚餐选择在 餐厅就餐的条件下，甲员工更有可能午餐时选择在 餐厅就餐.
C 素养拓展
15．（多选）盒子中有12个乒乓球，其中8个白球4个黄球，白球中有6个正品2个次品，黄球中有3个正品1个次品.依次不放回地取出两个球，记事件“第次取球，取到白球”，事件“第次取球，取到正品”，,2.则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】选.对于，，，所以,故 正确；对于，事件“第2次取球，取到正品”，，故 错误；对于，事件“第1次取球，取到正品且第2次取球，取到白球”，包括（正白，正白），（正白，次白），（正黄，正白），（正黄，次白），共有 种情况，，故 错误；对于，事件“第1次取球，取到白球且第2次取球，取到正品”，包括（白正，白正），（白正，黄正），（白次，白正），（白次，黄正），共有 种情况，，又因为，所以,故 正确.故选.
1.2 乘法公式与事件的独立性
新课导入
俗话说：“三个臭皮匠顶个诸葛亮.”在某次智者挑战大赛中，由甲、乙、丙三人组成“臭皮匠”团队，挑战“诸葛亮”，其中甲、乙、丙能答对某题的概率分别为，，，而“诸葛亮”能答对该题的概率是0.8.比赛规则：各个选手独立答题，不得商量，团队中只要一人答对该题即为挑战成功.其中甲、乙、丙能答对某题目是相互独立的吗？
学习目标
1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念. 2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题. 3.综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解决一些问题.
新知学习 探究
一 乘法公式
思考．已知，如何求？
提示：由，
可得：.
［知识梳理］
1．公式：①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （其中）；
②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （其中）.
【答案】；
2.意义：根据事件发生的概率，以及已知事件发生的条件下事件发生的概率，可以求出事件与同时发生的概率.
点拨 设，，为三个事件，且，则有.一般地，,与次序无关.
［例1］ （对接教材例3）一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次.求：
（1） 第一次取得白球的概率；
（2） 第一次、第二次都取得白球的概率.
【答案】（1） 【解】记事件 为“第一次取得白球”，事件 为“第二次取得白球”，则.
（2） 由题可知，则.
乘法公式揭示了,，三者之间的关系，在解题时只要知道其中的两个就可以得出第三个，最主要的在于分析实际问题中已知的是什么，要求的是什么，从另一个方面可以理解为乘法公式就是利用条件概率来计算的，乘法公式是普遍成立的，只要作为“条件的事件”的概率不为零.
［跟踪训练1］．
（1） [（2025·南阳月考）]某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是（ ）
A. B. C. D.
（2） 有一批种子的发芽率为，出芽后的幼苗成活率为，在这批种子中，随机抽取1粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为_ _ .
【答案】（1） A
（2） 0.72
【解析】
（1） 选.记事件 为第一次失败，事件 为第二次成功，则,，所以.故选.
（2） 记“种子发芽”，“出芽后的幼苗成活”，，又，
“种子长成幼苗（发芽，又成活）”，
故.
二 相互独立事件
思考．已知，事件与事件相互独立吗？
提示：相互独立，因为，所以，所以，即事件 与事件 相互独立.
［知识梳理］
1.相互独立事件的概念
如果事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，这样的两个事件就叫作相互独立事件.
2．事件与事件相互独立的充要条件是①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】点拨 （1）若事件 与 相互独立，那么 与，与，与 也都相互独立.
（2）对于 个事件，， ，，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件，， ，两两相互独立.
3．相互独立事件同时发生的概率
（1） 若事件，相互独立，则②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 若，， ，相互独立，则③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1）
（2）
角度1 相互独立事件的判断
［例2］ 判断下列事件是否相互独立：
（1） 甲组有3名男生，2名女生；乙组有2名男生，3名女生.现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
（2） 容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”.
【答案】（1） 【解】“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以两个事件相互独立.
（2） “从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不相互独立.
两个事件是否相互独立的判断
（1）直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响.
（2）定义法：当时，事件，相互独立.
（3）条件概率法：当时，可用判断.
［跟踪训练2］．从一副除去大、小王的扑克牌（52张）中任意抽取一张，设事件为“抽得老”，事件为“抽得红牌”，判断事件与是否相互独立.
解：抽到老 的概率为，抽到红牌的概率，故，事件 为“既抽得老 又抽得红牌”，即“抽得红桃老 或方块老”，故，从而有，因此事件 与 互为独立事件.
角度2 相互独立事件同时发生的概率
［例3］ 甲、乙两个人独立地破译一个密码，已知他们能译出密码的概率分别为和，求：
（1） 两个人都译出密码的概率;
（2） 两个人都译不出密码的概率;
（3） 至多一个人译出密码的概率.
【答案】［例3］ 【解】 记“甲独立地译出密码”为事件，“乙独立地译出密码”为事件，与 为相互独立事件，且，.
（1） “两个人都译出密码”的概率为
.
（2） “两个人都译不出密码”的概率为
.
（3） “至多一个人译出密码”的对立事件为“两个人都译出密码”，所以至多一个人译出密码的概率为.
求相互独立事件同时发生的概率的步骤
（1）确定各事件之间是相互独立的;
（2）确定这些事件可以同时发生;
（3）求出每个事件的概率，再求积.
［跟踪训练3］．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：
（1） 第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；
（2） 第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率.
【答案】［跟踪训练3］ 解：记“第1次取出的2个球都是白球”为事件，“第2次取出的2个球都是红球”为事件，“第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球”为事件，很明显，由于每次取出后再放回，所以，，都是相互独立事件.
（1） .故所求概率是.
（2） .故所求概率是.
课堂巩固 自测
1．某食物的致敏率为，在对该食物过敏的条件下，嘴周产生皮疹的概率为，则某人食用该食物过敏且嘴周产生皮疹的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.设事件 表示“食用该食物过敏”，事件 表示“嘴周产生皮疹”，则，，所以某人食用该食物过敏且嘴周产生皮疹的概率为.故选.
2．（教材 改编）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，则两人都脱靶的概率为（ ）
A. 0.56 B. 0.5 C. 0.38 D. 0.06
【答案】D
【解析】选.易知甲、乙两名运动员是否中靶是相互独立的，故甲、乙两名运动员都脱靶的概率为.故选.
3．某中学开展“党史学习”闯关活动，各选手在第一轮要进行党史知识抢答的比拼，第二轮进行党史知识背诵的比拼.已知某同学通过第一轮的概率为，在已经通过第一轮的前提下通过第二轮的概率为，则该同学两轮均通过的概率为_ _ .
【答案】0.4
【解析】设该同学“通过第一轮”为事件，“通过第二轮”为事件，故，，则两轮都通过的概率为，根据题意，利用条件概率公式，得该同学两轮都通过的概率为.
4．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，，且3人是否击中目标相互独立.若他们3人向目标各发1枪，求目标没有被击中的概率.
解：3人向目标各发1枪，由相互独立事件的概率计算公式，得目标没有被击中的概率.
1.已学习：相互独立事件的定义；相互独立事件同时发生的概率乘法公式.
2.须贯通：准确理解相互独立事件的概念，并能通过公式法判断事件的相互独立性，进一步得出概率.
3.应注意：（1）准确判断是独立事件，必须是独立事件同时发生；
（2）定性以后才可以应用独立事件同时发生的概率公式计算概率.
课后达标 检测
A 基础达标
1．第一个袋中有黑、白球各2个，第二个袋中有黑、白球各3个.先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中，再从第二个袋中任取一球，则第一、二次均取到白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.记事件 表示“第 次取得白球”，，2，则，，由乘法公式求得，.故选.
2．[（2025·渭南期末）]若将整个样本空间想象成一个的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的涂色部分的面积表示（ ）
A. 事件发生的概率
B. 事件发生的概率
C. 事件不发生条件下事件发生的概率
D. 事件,同时发生的概率
【答案】A
【解析】选.由题意可得，题图所示的涂色部分的面积为
.故选.
3．已知,,，则事件与的关系是（ ）
A. 与互斥不对立 B. 与对立
C. 与相互独立 D. 与既互斥又相互独立
【答案】C
【解析】选.由，可得，因为，则 与 不互斥，不对立.由 可得，因为，所以 与 相互独立.故选.
4．某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关.某选手射中第一个目标的概率为，继续射击，射中第二个目标的概率为，则这个选手过关的概率为（ ）
A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8
【答案】A
【解析】选.记“射中第一个目标”为事件，“射中第二个目标”为事件，则，.所以，即这个选手过关的概率为0.4.故选.
5．多年来，网络春晚一直致力于为本土市民“圆春晚梦”，得到了广大市民的认可.某市2023年网络春晚海选如期举行，该活动总共分为海选、复赛、决赛三个阶段，参赛选手通过决赛后将参加该市2023年网络春晚.已知甲、乙、丙三人组成一个小组，假设在每一轮比赛中，甲、乙、丙通过的概率依次为，，，假设他们之间通过与否互不影响，则该小组三人同时进入决赛的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.设“该小组三人能同时进入决赛”为事件，则该小组三人能同时进入决赛即前两轮比赛三人都顺利通过，则.故选.
6．（多选）口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回地依次取出两个球，设事件为“取出的两球同色”，事件为“第一次取出的是红球”，事件为“第二次取出的是红球”，事件为“取出的两球不同色”，下列判断中正确的是（ ）
A. 与对立 B. 与互斥
C. 与相互独立 D. 与相互独立
【答案】ACD
【解析】选.先编号：红球为1,2，白球为3,4.不放回地依次取出两个球，总样本点为12,13,14,23,24,34,21,31,41,32,42,43，共12种，事件；事件；事件；事件.选项， , ，所以 与 互为对立事件，所以 选项正确；选项， ，所以 与 不是互斥事件，所以 选项错误；选项，事件，所以,,,，所以 与 相互独立，所以 选项正确；选项，事件，,,,，所以 与 相互独立，所以 选项正确.故选.
7．一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球.若第一次摸出红球的概率为，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为，则第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】记事件“第一次摸出红球”，事件“第二次摸出黄球”，则,,
由概率的乘法公式，得.
8．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是_ _ .
【答案】0.18
【解析】记事件 为“甲队以 获胜”，则甲、乙两队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以.
9．已知三个元件，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的.如图，将，两个元件并联后再与元件串联接入电路，则电路不发生故障的概率是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】记“正常工作”为事件，“正常工作”为事件，“正常工作”为事件，则，，.电路不发生故障，则需 正常工作，，至少有一个正常工作.，至少有一个正常工作的概率,则电路不发生故障的概率.
10．（13分）在某次抽奖活动中，有50张奖券，其中共有5张写有“中奖”字样.假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，求：
（1） 甲中奖且乙也中奖的概率；（6分）
（2） 甲没中奖且乙中奖的概率.（7分）
【答案】
（1） 解：设事件 为甲中奖，事件 为乙中奖，
则.
因为抽完的奖券不放回，所以甲中奖后乙抽奖时，有49张奖券且其中只有4张写有“中奖”字样，此时乙中奖的概率为.
根据乘法公式可知，甲中奖且乙也中奖的概率为
.
（2） 因为，所以.
因为抽完的奖券不放回，所以甲没中奖后乙抽奖时，有49张奖券且其中还有5张写有“中奖”字样，此时乙中奖的概率为.
根据乘法公式可知，甲没中奖且乙中奖的概率为
.
B 能力提升
11．已知甲、乙两人投篮投中的概率分别为和，若两人各投2次，则两人投中次数相等的概率为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】甲投中一次的概率为，甲投中两次的概率为；乙投中一次的概率为，乙投中两次的概率为；甲、乙都投中一次的概率为，甲、乙都投中两次的概率为，甲、乙两人两次都未投中的概率为，两人投中次数相等的概率.
12．为了活跃网课气氛，某老师安排甲、乙两位同学玩锤子、剪刀、布的猜拳游戏，赢了的同学要讲一个数学小故事，假设两人都随机出拳，共进行两次游戏，则第一次游戏甲不讲故事的概率为_ _ _ _ _ _ ，两次游戏甲、乙恰好各讲了一个数学小故事的概率为_ _ _ _ _ _ .
【答案】；
【解析】因为甲有3种不同的出拳方法，乙同样也有3种不同的出拳方法，样本空间（锤子，锤子），（锤子，剪刀），（锤子，布），（剪刀，锤子），（剪刀，剪刀），（剪刀，布），（布，锤子），（布，剪刀），（布，布），共有9个样本点.即每次游戏甲讲故事的概率为，乙讲故事的概率为，则第一次游戏甲不讲故事的概率为，两次游戏甲、乙恰好各讲了一个数学小故事，说明“第一次甲讲故事，第二次乙讲故事”或“第一次乙讲故事，第二次甲讲故事”，则两次游戏甲、乙恰好各讲了一个数学小故事的概率为.
13．（15分）某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分，若两轮总积分不低于60分则晋级复赛.
小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.
（1） 求小明在第一轮得40分的概率；（5分）
（2） 以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？（10分）
【答案】（1） 解：对 类的5个问题进行编号：,,,,，第一轮从 类的5个问题中任选两题作答，则有,,,,,,,,,共10种，设小明只能答对4个问题的编号为,,,，则小明在第一轮得40分，有,,,,,共6种，则小明在第一轮得40分的概率为.
（2） 由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为，则小明在第一轮得0分的概率为，依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分，所以当第一轮答对两题得40分，第二轮答对一题得30分时，小芳和小明晋级复赛的概率分别为，；当第一轮答对两题得40分，第二轮答对两题得60分时，小芳和小明晋级复赛的概率分别为，；当第一轮得0分，第二轮答对两题得60分时，小芳和小明晋级复赛的概率分别为，.所以小芳晋级复赛的概率为；小明晋级复赛的概率为.因为，所以小明更容易晋级复赛.
C 素养拓展
14．近年来，我国外卖行业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线.他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单，某外卖小哥每天来往于个外卖店（外卖店的编号分别为1,2， ，，其中，），约定：每天他首先从1号外卖店取单，称为第1次取单，之后，他等可能的前往其余个外卖店中的任何一个店取单，称为第2次取单，依此类推.假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的个外卖店取单.设事件表示“第次取单恰好是从1号店取单”，是事件发生的概率，显然，，则_ _ _ _ _ _ _ _ ，与的关系式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】；
【解析】根据题意，事件 表示“第3次取单恰好是从1号店取单”，
因此
；
同理
.
1.3 全概率公式
新课导入
有三个罐子，分别编号为1，2，3，1号装有2个红球1个黑球，2号装有3个红球1个黑球，3号装有2个红球2个黑球，某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球.怎样求取得红球的概率？
学习目标
1.了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式. 2.理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率. 3.了解贝叶斯公式，并会简单应用.
新知学习 探究
一 全概率公式
［知识梳理］
1．概念:设，， ，为样本空间 的一个划分，若，则对任意一个事件有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .称上式为全概率公式.
【答案】
2.意义:如果我们把看成导致事件发生的各种可能“原因”，那么，全概率公式告诉我们：事件发生的概率恰好是事件在这些“原因”下发生的条件概率的平均.
角度1 全概率公式及其应用
［例1］ 已知，，，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，所以，因为，所以，所以由全概率公式可得.
运用全概率公式的一般步骤
（1）求出样本空间 的一个划分,, ，;
（2）求;
（3）求;
（4）利用公式.
［跟踪训练1］．已知，，，则（ ）
A. B. C. 0.33 D. 0.1
【答案】A
【解析】选.由全概率公式可得，可得，解得.故选.
角度2 全概率公式在简单事件中的应用
［例2］ （对接教材例6）某游泳队共有20名队员，其中一级队员有10名，二级队员有5名，三级队员有5名，若一、二、三级队员通过选拔进入比赛的概率分别是,,，则任选一名队员能通过选拔进入比赛的概率为_ _ .
【答案】0.7
【解析】设事件 表示选到 级队员，事件 表示任选一名队员通过选拔进入比赛，,,两两互斥，则,,
，,
,，
所以
.
用全概率公式求概率的策略
实质 为了求复杂事件的概率，往往可以把它分解成若干个互斥的简单事件之和，然后利用条件概率和乘法公式，求出这些简单事件的概率，最后利用概率可加性，得到最终结果.
应用 把事件看作某一过程的结果，把，，，看作该过程的若干个原因，根据所给资料，每一原因发生的概率即已知，而且每一原因对结果的影响程度即已知，则可用全概率公式计算结果发生的概率即.
［跟踪训练2］．长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.令“玩手机时间超过1小时的学生”，“玩手机时间不超过1小时的学生”，“任意调查一人，此人近视”，，且,互斥，,,,，依题意有，解得，从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为.故选.
二 *贝叶斯公式
［知识梳理］
1.概念
设，， ，为样本空间 的一个划分，若，，则，称上式为贝叶斯公式.
2.实质
它是在观察到事件已发生的条件下，寻找导致发生的每个原因的概率，贝叶斯公式的思想就是“执果溯因”.
［例3］ [（2025·桂林月考）]在,,三个地区爆发了流感，这三个地区分别有，，的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人.
（1） 求这个人患流感的概率；
（2） 如果此人患流感，求此人选自地区的概率.
【答案】
（1） 【解】 设此人来自,,三个地区分别为事件,,，事件 为这个人患流感，所以,,，,
,，
因此.
（2） .
母题探究．如果此人绝对不是来自地区,求此人患流感的概率.
解：因为此人绝对不是来自地区，所以此人来自地区 或地区，
所以,,
,，
.
利用贝叶斯公式求概率的方法步骤
第一步，利用全概率公式计算，即；第二步，计算，可利用求解；第三步，代入求解.
［跟踪训练3］．某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示.
场上位置 边锋 前卫 中场
出场率 0.5 0.3 0.2
球队胜率 0.6 0.8 0.7
（1） 当球员甲出场比赛时，求球队获胜的概率；
（2） 当球员甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担任前卫的概率.
【答案】
（1） 解：设 表示“球员甲担任边锋”，表示“球员甲担任前卫”，表示“球员甲担任中场”，，，两两互斥，设 表示“球队获胜”，
则，
所以球员甲出场比赛时，球队获胜的概率为0.68.
（2） 由（1）知：，
则，
所以在球队获胜的条件下，球员甲担任前卫的概率为.
课堂巩固 自测
1．在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后不放回地从中各任取一张，则乙中奖的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.设甲中奖为 事件，乙中奖为 事件，则.故选.
2．书架上放有2本语文书和3本数学书，学生甲先随机取走2本书，学生乙再在剩下的书中随机取走1本书.已知甲至少取走了1本数学书，则乙取走语文书的概率为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】记2本语文书为,，3本数学书为1，2，3，则甲至少取走了1本数学书包含的样本点有：,,,,,,,,，共9个.
设“甲至少取走了1本数学书的情况下甲取走 本数学书”为事件，“乙取走语文书”为事件，则事件 包含,,,,,，共6个样本点，
故，，
同理可得，，
则.
3．（教材P195T7改编）假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为_ _ ；如果买到的灯泡是合格品，那么它是甲厂产品的概率约为_ _ .
【答案】0.86； 0.63
【解析】设事件 为“购买到的灯泡为甲厂产品”，事件 为“购买到的灯泡为乙厂产品”，事件 为“购买到的灯泡是合格品”.则，，，，所以
，所以.
4．假设有两箱同种零件，第一箱内装有50件，其中10件为一等品；第二箱内装有30件，其中18件为一等品（两箱外观相同）.现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机地取出两个零件（取出的零件不放回）.求先取出的零件是一等品的概率.
解：设事件 表示“第 次（不放回地抽取）取得的是一等品”，,2，事件 表示“从第一箱中取出零件”，则 表示“从第二箱中取出零件”，由题意可得，，且，，由全概率公式可得，.所以先取出的零件是一等品的概率为.
1.已学习：全概率公式以及贝叶斯公式.
2.须贯通：准确地对所求事件分类，求解全概率公式.
3.应注意：（1）对所求事件分类准确无误;（2）不要混淆条件概率中的条件.
课后达标 检测
A 基础达标
1．一袋中装有10个盲盒，已知其中3个是玩具盲盒，7个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先后任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.记事件,分别表示甲、乙取到的是玩具盲盒，则由题意得,,,，所以.故选.
2．设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占，，，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为，，现从中任取一件，若取到的是次品的概率为，则推测丙车间的次品率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.设丙车间的次品率为，由题意知，解得.故选.
3．小李的手机购物平台经常出现她喜欢的商品，这是电商平台推送的结果.假设电商平台第一次给小李推送某商品时，她购买此商品的概率为；从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为，那么电商平台在第2次推送时小李不购买此商品的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.电商平台在第2次推送时小李不购买此商品的概率为.故选.
4．某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明,这三类人在一年内发生事故的概率依次为,,.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占,“一般的”被保险人占,“冒失的”被保险人占,则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是（ ）
A. 0.155 B. 0.175 C. 0.016 D. 0.096
【答案】B
【解析】选.设事件 表示“被保险人是‘谨慎的’”,事件 表示“被保险人是‘一般的’”,事件 表示“被保险人是‘冒失的’”,则,,.设事件 表示“被保险人在一年内发生事故”,则,,.由全概率公式,得.故选.
5．一道考题有4个选项，要求学生将其中的一个正确选项选择出来.若某考生知道正确选项的概率为，不知道正确选项的概率为.在不知道正确选项时，4个选项都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确选项的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.设事件 为“考生答对”，事件 为“考生知道正确选项”，由全概率公式得.又由贝叶斯公式得
.故选.
6．（多选）两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为，将这两批产品混合后，从中任取1件，则下列说法正确的是（ ）
A. 这件产品是合格品的概率为0.949
B. 这件产品是次品的概率为0.949
C. 已知取到的是合格品，那么它取自第一批产品的概率为
D. 已知取到的是合格品，那么它取自第二批产品的概率为
【答案】AC
【解析】选.对于，设事件 表示“取出的是第 批产品”，事件 表示“取出的是合格品”，，正确；对于，设事件 表示“取出的是次品”，，错误；对于，，，，正确，错误.故选.
7．某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的，男性占近期购车车主总数的，女性购车车主有购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设男性中有 购买了新能源车，则，解得，所以男性购车时，选择购买新能源车的概率是.
8．某校男女生人数之比为，其中男生近视率为，女生近视率为，则该校学生的近视率为_ _ .
【答案】0.49
【解析】由全概率公式可得该校学生的近视率为.
9．[（2025·汉中月考）]某同学连续两天在学校信息图文中心2楼和3楼进行拓展阅读，第一天等可能地从信息图文中心2楼和3楼中选择一层楼进行阅读.如果在第一天去2楼的条件下第二天还在2楼阅读的概率为0.7；在第一天去3楼的条件下第二天去2楼阅读的概率为，该同学第二天去3楼阅读的概率为_ _ .
【答案】0.25
【解析】设事件“第 天去2楼阅读”，事件“第 天去3楼阅读”，
则，，,
所以.
10．（13分）已知某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为，，，乘火车迟到的概率为，乘轮船迟到的概率为，乘飞机不会迟到.
（1） 求这个人迟到的概率；（6分）
（2） 如果这个人迟到了，求他乘轮船迟到的概率.（7分）
【答案】（1） 解：设 表示“这个人迟到”，表示“他乘火车”，表示“他乘轮船”，表示“他乘飞机”，则.由全概率公式，得，由题意可得，，，，，,所以这个人迟到的概率.
（2） 由题意可知，，所以可得如果这个人迟到了，他乘轮船迟到的概率是.
B 能力提升
11．已知肿瘤中为恶性肿瘤，为良性肿瘤，用一台光机判断肿瘤类型，误诊的概率为，若有一患者被诊断为恶性肿瘤，则其被误诊的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.设 “病人患恶性肿瘤”的事件为，“病人患良性肿瘤”的事件为，“诊断为恶性肿瘤”的事件为,则,,
,，
，
所以，.故选.
12．（多选）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别记事件，和表示“由甲罐取出的球是红球、白球和黑球”；再从乙罐中随机取出一球，记事件表示“由乙罐取出的球是红球”，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C. 事件与事件相互独立
D. ，，是两两互斥的事件
【答案】BD
【解析】选.由题意知，，是两两互斥的事件，，，，,,.故,故 错误，，正确；显然 错误.故选.
13．设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为，，.现从这20块芯片中任取1块芯片，若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】记“芯片分别由甲、乙、丙三条生产线生产”为事件,,，记“取到的芯片是次品”为事件，则,,，,,，，故，则若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为.
14．（13分）某品牌锄草机由甲、乙、丙三个工厂生产，其中甲厂占，乙厂占，丙厂占，且各厂的次品率分别为，，.如果某人已经买到一台次品锄草机，问：该次品锄草机由哪个厂生产的可能性较大？
解：设事件 表示“锄草机是甲厂生产的”，事件 表示“锄草机是乙厂生产的”，事件 表示“锄草机是丙厂生产的”，事件 表示“买到一台次品锄草机”.由题意知，，，，，.由全概率公式得，由贝叶斯公式知，同理可得，.因为，所以该次品锄草机由乙厂生产的可能性较大.
C 素养拓展
15．（15分）现有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子装有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有8个红球和2个白球，乙袋中有4个红球和6个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为.
（1） 求首次试验结束的概率；（5分）
（2） 在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整.
① 求选到的袋子为甲袋的概率；（4分）
② 将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.（6分）
【答案】
（1） 解：设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“摸出红球”为事件，“摸出白球”为事件，
，
所以首次试验结束的概率为.
（2） ① 因为，是对立事件，
，
所以
，
所以选到的袋子为甲袋的概率为.
② 由①得，，
所以方案一中取到红球的概率为
，
方案二中取到红球的概率为，
因为，所以方案二中第二次试验结束的概率更大.
§2 离散型随机变量及其分布列
2.1 随机变量
新课导入
射击比赛是一项体育赛事，自1900年第二届奥运会后，射击运动蓬勃发展.以后成为历届奥运会、世界锦标赛、亚运会的主要竞赛项目.在射击训练中，运动员射击一次，可能出现命中0环，命中1环， ，命中10环等结果，若用来表示他一次射击所命中的环数，则即为随机变量.
学习目标
1.理解随机变量的概念及含义. 2.会用随机变量表示随机事件.
新知学习 探究
随机变量的概念
思考．随机变量与随机试验有何关系？
提示：随机变量刻画了随机试验的不同试验结果.
［知识梳理］
定义 在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示.在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为①_ _ _ _ _ _ _ _ .
表示 随机变量常用字母②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 等来表示
特征 （1）可以用数来表示； （2）试验之前可以判断其可能出现的所有值； （3）在试验之前不能确定取值.
【答案】随机变量； ，， ，
角度1 随机变量的判断
［例1］ 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由.
（1） 某机场候机厅中某日的旅客数量；
（2） 某路口在某时间段内查酒驾的人数；
（3） 某日济南到北京的某次长途汽车到北京站的时间；
（4） 体积为的球的半径长.
【答案】（1） 【解】旅客人数可能是0，1，2， ，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量.
（2） 所查酒驾的人数可能是0，1，2， ，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量.
（3） 长途汽车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量.
（4） 球的体积为 时，球的半径为定值，因此不是随机变量.
判断随机变量的要点
（1）可变性：随机试验的结果具有可变性，数值随着试验结果的变化而变化.
（2）确定性：随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点特征，则该变量即为随机变量.
［跟踪训练1］．
（1） 下列变量中，不是随机变量的是（ ）
A. 一名射手射击一次命中的环数
B. 标准状态下，水沸腾时的温度
C. 抛掷两枚骰子，所得点数之和
D. 某电话总机在时间区间内收到的呼叫次数
（2） 10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是
A. 取到产品的件数 B. 取到正品的概率
C. 取到次品的件数 D. 取到次品的概率
【答案】（1） B
（2） C
【解析】
（1） 选 项中,在标准状态下，水沸腾时的温度是一个确定值.
（2） 选.选项 中取到产品的件数是一个常量不是变量，选项，中的量也是一个定值，而选项 中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量.
角度2 用随机变量表示随机事件的结果
［例2］ 写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
（1） 一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为；
（2） 一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为.
【答案】（1） 【解】表示“取到的5个球全是红球”；表示“取到1个白球，4个红球”；表示“取到2个白球，3个红球”；表示“取到3个白球，2个红球”.
（2） 表示“取出的球编号为1，2，3”；表示“取出的球编号为1，2，4；1，3，4或2，3，4”；表示“取出的球编号为1，2，5；1，3，5；1，4，5；2，3，5；2，4，5或3，4，5”.
母题探究．本例（2）条件不变，取出的球的最小号码记为.写出所有可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
解： 所有可能的取值为1，2，表示“取出的球的编号为1，2，3；1，2，4；1，2，5；1，3，4；1，3，5或1，4，5”.表示“取出的球的编号为2，3，4；2，3，5；2，4，5”.表示“取出的球的编号为3，4，5”.
用随机变量表示随机事件的关注点
（1）关键：明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果.
（2）注意：解答过程中不要漏掉某些试验结果.
［跟踪训练2 ］．写出下列随机变量所有可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
（1） 从学校回家要经过3个红绿灯路口，可能遇到红灯的次数 ；
（2） 电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5 分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间为 分钟.
【答案】
（1） 解： 可取0，1，2，3，
表示“遇到红灯的次数为0”；
表示“遇到红灯的次数为1”；
表示“遇到红灯的次数为2”；
表示“遇到红灯的次数为3”.
（2） 的可能取值为区间 内的任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间.
课堂巩固 自测
1．[（2025·南阳月考）]将一枚质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是（ ）
A. 第一次出现的点数 B. 第二次出现的点数
C. 两次出现点数之和 D. 两次出现相同点的种数
【答案】D
【解析】选.由随机变量的定义知，由于两次出现相同点的种数是定值6，故不是随机变量.故选.
2．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取到黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为，则表示“放回5个球”的事件为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.第一次取到黑球，则放回1个球；第二次取到黑球，则放回2个球……共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故.故选.
3．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用 表示甲的得分，则表示（ ）
A. 甲赢三局
B. 甲赢一局
C. 甲、乙平局三次
D. 甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
【答案】D
【解析】选.由题意知，甲得3分，有两种情况：
甲赢一局输两局，甲得分为3分；
甲、乙平局三次，甲得分为3分.
所以 表示“甲赢一局输两局或甲、乙平局三次”.故选.
4．（多选）（教材 改编）抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为，则表示的试验的结果有（ ）
A. 第一枚为5点，第二枚为1点
B. 第一枚大于4点，第二枚也大于4点
C. 第一枚为6点，第二枚为1点
D. 第一枚为6点，第二枚为2点
【答案】ACD
【解析】选.因为,,，所以选项，，符合题意，对于：第一枚大于4点，可以是5点，6点，第二枚也大于4点，可以是5点，6点，因为,,,，所以不符合题意.故选.
1.已学习：随机变量的概念及含义，会用随机变量表示随机事件.
2.须贯通：能够灵活应用随机变量表示随机事件.
3.应注意：（1）随机变量的确定性；
（2）随机变量不过是建立起样本空间与实数的一个对应关系.
课后达标 检测
A 基础达标
1．下列各个量中不是随机变量的是（ ）
A. 15秒内，通过某十字路口的车流量
B. 一条河流每年的最大流量
C. 一个剧场共有三个出口，散场后从某一出口退场的人数
D. 某人今年的年龄
【答案】D
2．抛掷2枚骰子，所得点数之和记为 ，那么表示的随机试验结果是（ ）
A. 2枚都是4点
B. 1枚是1点，另1枚是3点
C. 2枚都是2点
D. 1枚是1点，另1枚是3点或者2枚都是2点
【答案】D
3．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码.在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量，则的所有可能取值是（ ）
A. 1,2， ，5 B. 1,2， ，10
C. 2,3， ，10 D. 1,2， ，6
【答案】C
【解析】选.第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回地抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任意一个，两次的号码和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.故选.
4．某项试验用随机变量 描述1次试验的成功次数，则 的值可以是（ ）
A. 2 B. 2或1 C. 1或0 D. 2或1或0
【答案】C
【解析】选.由题意，该试验可能成功或不成功，故 的值可以是1或0.故选.
5．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字（两两不同），设他拨到所要号码时已拨的次数为 ，则随机变量 的所有可能取值的种数为（ ）
A. 24 B. 20 C. 18 D. 12
【答案】A
【解析】选.由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列，故有（种）.故选.
6．（多选）下列是随机变量的是（ ）
A. 从编号为号的小球中随意取一个小球的编号
B. 早上某人从家里出发去上班的时间
C. ，两地相距，以的速度从到达的时间
D. 某十字路口一天中经过的轿车辆数
【答案】ABD
【解析】选.选项 中“时间”为确定的值，故不是随机变量，其他选项中都是随机变量.故选.
7．连续不断地射击某一目标，首次击中目标需要的射击次数是一个随机变量，则表示的试验结果是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】前3次未击中目标，第4次击中目标
【解析】由于随机变量 表示首次击中目标需要的射击次数，所以当 时，表示前 次均未击中目标，第 次击中目标，故 表示的试验结果为前3次未击中目标，第4次击中目标.
8．将4把串在一起的钥匙逐一试开1把锁，其中只有1把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能打开锁的钥匙为止，则试验次数的最大可能取值为_ _ _ _ .
【答案】3
【解析】由于是依次试验，可能前3次都打不开锁，则剩下一把一定能打开锁，所以试验次数 的最大可能取值为3.
9．已知，均为离散型随机变量，且.若的所有可能取值为0，2，4，则的所有可能取值为_ _ _ _ .
【答案】0，1，2
【解析】因为，所以，又因为，2，，所以，1，.
10．（13分）下列变量中哪些是随机变量？如果是随机变量，那么可能的取值有哪些？
（1） 一个实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的5只白鼠，从中任取1只，记取到的白鼠的标号为；（4分）
（2） 明天的降雨量（单位：）；（4分）
（3） 先后抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面向上的次数.（5分）
【答案】（1） 解：根据条件知，是随机变量，可能的取值共有4种，它的取值集合是.
（2） 降雨量具有一定的随机性，所以 是随机变量，可能的取值有无数多个，它可以取 中的某个数.
（3） 设 代表正面向上，代表反面向上，则该问题的样本空间为,,,.出现 的次数可能为2，1，0，故正面向上的次数 是随机变量，其取值集合是.
B 能力提升
11．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中要抢答3个题目，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分（即得分）.若是甲队在该轮比赛获胜时的得分（分数高者胜），则的所有可能取值之和是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】选.若甲抢到一题但答错，乙抢到两题都答错，则；若甲没抢到题，乙抢到三题但答错两题或全错、甲抢到两题，一对一错，乙抢到一题但答错，则；若甲抢到一题并答对，乙抢到两题一对一错或全错、甲抢到三题，两对一错，则；若甲抢到两题且答对，则；若甲抢到三题且答对，则.所以 的所有可能取值之和为.故选.
12．（多选）一副扑克牌共有54张牌，其中52张是正牌，另2张是副牌（大王和小王），从中任取4张，则随机变量可能为（ ）
A. 所取牌数 B. 所取正牌和大王的总数
C. 这副牌中正牌数 D. 取出的副牌的个数
【答案】BD
【解析】选.对于，所取牌数为4，是一个常数，不是随机变量，所以 错误；对于，4张牌中所取正牌和大王的总数可能为3，4，所以是随机变量，所以 正确；对于，这副牌中正牌数为52，是一个常数，不是随机变量，所以 错误；对于，4张牌中所取出的副牌的个数可能为0，1，2，所以是随机变量，所以 正确.故选.
13．小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题.如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功.每过一关可一次性获得价值分别为1 000元、3 000元、6 000元的奖品，用 表示小王所获奖品的价值，则 的所有可能取值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】0,,,
【解析】由题意知， 的所有可能取值为0,,,，表示“第一关未通过”；表示“第一关通过，第二关未通过”；表示“第一、二关都通过，第三关未通过”；表示“三关都通过”.
14．（13分）某车间三天内每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产了1件次品、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过.若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分，设该车间在这两天内得分为,写出的可能取值.
解： 的可能取值为0，1，表示在两天检查中均发现了次品;表示在两天检查中有1天没有发现次品，1天发现了次品;表示在两天检查中均没有发现次品.
C 素养拓展
15．袋中装有除颜色外，质地大小完全相同的4个小球，其中有1个红球、3个白球，从中任意取出1个观察颜色，取后不放回，如果取出的球的颜色是红色，则停止取球，如果是白色，则继续取球，直到取到红球时停止，记停止时的取球次数为 ，则 所有可能取值的集合为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，的意义为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】； 第一次取到白球，第二次取到红球，并且停止取球
【解析】若第一次取到红球，则停止取球，此时;若第一次取到白球，第二次取到红球，则停止取球，此时；若第一次和第二次都取到白球，第三次取到红球，则停止取球，此时；若前3次都取到白球，则第四次必取到红球，则停止取球，此时.综上所述， 的所有可能取值的集合为 的意义为第一次取到白球，第二次取到红球，并且停止取球.
16．（15分）写出下列随机变量的所有可能取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果.
（1） 已知袋中有除颜色外，质地大小完全相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；（6分）
（2） 从分别标有数字1，2，3，4的4张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和.（9分）
【答案】（1） 解：设所需的取球次数为，则，2，3，4， ，10，表示第一次取到白球；表示前 次取到的均是红球，第 次取到白球，这里,3,4, ,11.
（2） 设所取卡片上的数字之和为，则，4，5，6，表示“取出标有1，2的两张卡片”；表示“取出标有1，3的两张卡片”；表示“取出标有2，3或1，4的两张卡片”；表示“取出标有2，4的两张卡片”；表示“取出标有3，4的两张卡片”.
2.2 离散型随机变量的分布列
新课导入
甲将除颜色外完全相同的两个红色球、一个蓝色球放入袋子中，乙每次从中随机取出两个球，若两球颜色相同则甲付给乙两元钱，若两球颜色不同则乙付给甲一元钱，问：在以上两种规则中，对谁更有利？
学习目标
1.理解离散型随机变量的含义并会求离散型随机变量的分布列. 2.了解离散型随机变量的性质、两点分布的概念. 3.会求简单的离散型随机变量的分布列.
新知学习 探究
一 离散型随机变量
思考．掷一枚质地均匀的骰子，出现正面向上的点数共有几种不同的数字？能否用数值表示相应结果呢？
提示：共有6种，可以用1，2，3，4，5，6来表示相应结果.
［知识梳理］
1．定义：取值能够_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的随机变量称为离散型随机变量.
【答案】一一列举出来
2.特征
（1）可用数字表示.
（2）试验之前可以判断其出现的所有值.
（3）在试验之前不能确定取何值.
（4）试验结果能一一列出.
［例1］ 指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由.
（1） 某座大桥一天经过的车辆数；
（2） 某超市5月份每天的销售额；
（3） 某水位监测站所测水位在这一范围内变化，该水位监测站所测水位 .
【答案】（1） 【解】车辆数 的取值可以一一列出，故 是离散型随机变量.
（2） 某超市5月份每天的销售额可以一一列出，故是离散型随机变量.
（3） 水位在 这一范围内变化，不能按次序一一列举出来，故不是离散型随机变量.
判断离散型随机变量的方法
（1）明确随机试验的所有可能结果；
（2）将随机试验的结果数量化；
（3）确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是.
［跟踪训练1］．
（1） （多选）下列随机变量中是离散型随机变量的是（ ）
A. 一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数
B. 某林场的树木最高达，则此林场中树木的高度
C. 某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差
D. 某高中每年参加高考的人数
（2） 下列随机试验的结果，不能用离散型随机变量表示的是
A. 将一枚均匀正方体骰子掷两次，所得点数之和
B. 某篮球运动员6次罚球中投进的球数
C. 电视机的使用寿命
D. 从含有3件次品的50件产品中，任取2件，其中抽到次品的件数
【答案】（1） AD
（2） C
【解析】
（1） 选.对于，从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，正确；对于，林场树木的高度是一个随机变量，它可以取 内的一切值，不是离散型随机变量，错误；对于，实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量，错误；对于，每年参加高考的人数可一一列出，符合离散型随机变量的定义，正确.故选.
（2） 选.由离散型随机变量的定义知，，，项都属于离散型随机变量，而 项电视机的使用寿命不能一一列举出来，因此 不是离散型随机变量.
二 离散型随机变量的分布列
［知识梳理］
1．定义
（1）若离散型随机变量的取值为，， ，， ，随机变量取的概率为，记作①_ _ _ _ _ _ _ _ .①
①式也可以列成表，如下表:
… …
… …
上表或①式称为离散型随机变量的分布列，简称为②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2）如果随机变量的分布列为上表或①式，我们称随机变量服从这一分布列，记作
.
【答案】； 的分布列
2.性质
（1）；
（2）.
3.意义：随机变量的分布列完全描述了随机现象的规律：了解了随机变量的分布列，就了解了这个随机变量的所有可能取值及取各个值的概率.
角度1 求离散型随机变量的分布列
［例2］ （对接教材例5）一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球.
（1） 求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；
（2） 用表示摸出的2个球中白球的个数，求的分布列.
【答案】（1） 【解】 设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为，.即所求概率为.
（2） 的所有可能取值为0，1，，，.故 的分布列为
0 1 2
求离散型随机变量的分布列的一般步骤
（1）确定随机变量的所有可能取值以及每个取值所表示的意义；
（2）利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值时的概率；
（3）按规范形式写出分布列；
（4）根据分布列的性质对结果进行检验，即检验分布列的概率和是不是1.
［跟踪训练2］．某班有学生45人，其中型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，型血的有15人.现从中任选1人，其血型为随机变量，求的分布列.
解：将,A，B，四种血型分别编号为1，2，3，4，则 的可能取值为1，2，3，4.
，，
，.
故 的分布列为
1 2 3 4
角度2 分布列的性质及其应用
［例3］
（1） 设是一个离散随机变量，其分布列为
0 1
则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 或
（2） 设随机变量的分布列为.
① 求常数的值;
② 求;
③ 求.
【答案】（1） B
（2） ① 由题可知，,解得.
② 由（1）可知,所以.
③ .
【解析】
（1） 【解】 选.由离散型随机变量分布列的性质，知，故，因为，，所以.故选.
离散型随机变量分布列性质的四个方面的应用
概率范围 表示的是事件发生的概率，因此每一个都是非负数且小于1.
概率的和 因为分布列给出了随机变量能取的每一个值，而且随机变量取不同的值时的事件是互斥的，因此.另一方面，由此可以得出随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.
互斥事件概率计算 因为离散型随机变量在某一范围内的取值，包含有个随机变量，而它们所对应的事件互斥，因此利用概率的加法公式即可求出其概率.
线性性质 若是一个离散型随机变量，则的线性组合，是常数，且也是离散型随机变量，且与取相应值时的概率相等，即.
［跟踪训练3］．
（1） 若随机变量 的分布列如下：
0 1 2 3
0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当时，实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
（2） 设随机变量的分布列为，求：
① ；
② .
【答案】（1） C
（2） ① .
② .
【解析】
（1） 选.因为，，所以当 时，.故选.
三 伯努利试验与两点分布
［知识梳理］
1．伯努利试验
若在某个试验中，每次试验只有两个①_ _ _ _ _ _ _ _ 的结果，可以分别称为“成功”和“②_ _ ”，每次“成功”的概率均为，每次“失败”的概率均为，则称这样的试验为③_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】相互对立； 失败； 伯努利试验
2．两点分布
如果随机变量的分布列如下表：
1 0
其中，，那么称离散型随机变量服从参数为的④_ _ _ _ _ _ _ _ （又称分布或伯努利分布）
【答案】两点分布
［例4］ 掷一枚质地均匀的骰子，观察掷得的点数.
（1） 求点数的分布列；
（2） 只关心点数6是否出现.若出现，则记，否则记.求的分布列.
【答案】
（1） 【解】 因为掷得的每个点数为等可能事件，所以点数 的分布列为
1 2 3 4 5 6
（2） 因为，而，所以 的分布列为
0 1
判断一个分布是否为两点分布的关键两步
（1）看取值：随机变量只取两个值0和1；
（2）验概率：检验是否成立.
如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是.
［跟踪训练4］．
（1） 已知随机变量服从两点分布，且，设，那么_ _ .
（2） 已知随机变量服从两点分布，且，，那么_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） 0.4
（2）
【解析】
（1） 由题意得，当 时，即,则，所以.
（2） 由题意可知 或，由于，所以.
课堂巩固 自测
1．已知随机变量的分布列是
1 2 3
则（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】选.由随机变量 的分布列的性质得，解得.故选.
2．（多选）下列问题中的随机变量服从两点分布的是（ ）
A. 抛掷一枚骰子，出现的点数记为随机变量
B. 某射手射击一次，击中目标的次数记为随机变量
C. 从装有5个红球，3个白球的袋中取一个球，令随机变量
D. 做一次实验，实验成功的次数记为随机变量
【答案】BCD
【解析】选.对选项，抛掷一枚骰子，出现的点数有6种情况，故随机变量 有6个取值，不服从两点分布，故 不符合题意；对选项，射击一次，击中目标的次数为0或1，故随机变量 服从两点分布，故 符合题意；对选项，显然服从两点分布，故 符合题意；对选项，做一次实验，实验成功的次数为0或1，故随机变量 服从两点分布，故 符合题意.故选.
3．已知随机变量的分布列为，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意得，，解得，所以.
4．（教材P202A组T3改编）某一射手射击所得环数的分布列如下：
4 5 6 7 8 9 10
0.02 0.05 0.06 0.08 0.21
（1） 求的值.
（2） 求此射手“射击一次命中的环数”的概率.
【答案】（1） 解：因为，所以.
（2） 此射手“射击一次命中的环数”的概率.
1.已学习：离散型随机变量的含义，离散型随机变量的分布列，伯努利试验和两点分布.
2.须贯通：对离散型随机变量的分布列的两个性质要灵活应用，求解参数的值或范围.
3.应注意：（1）随机变量的分布列满足概率和为1；
（2）随机变量的分布列中每个概率的范围：.
课后达标 检测
A 基础达标
1．下列随机变量中，是离散型随机变量的为（ ）
A. 将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B. 某人早晨在车站等出租车的时间
C. 连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D. 袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性
【答案】C
【解析】选.对于，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和为5，是常量，错误；对于，等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，错误；对于，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，正确；对于，事件发生的可能性不是随机变量，错误.故选.
2．随机变量 的分布列如下：
0 1
其中，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.因为，且，解得，所以.故选.
3．一个盒子里装有大小、材质均相同的黑球10个，红球12个，白球3个，从中任取3个，其中白球的个数记为，则等于的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.由题设，取出的3个球中没有白球的概率为，取出的3个球中有一个白球的概率为，所以目标式表示.故选.
4．已知离散型随机变量服从两点分布，且,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为 服从两点分布，所以，则,解得，所以.故选.
5．若离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3
0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2
则当时，实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由离散型随机变量 的分布列知,,，，则当 时，实数 的取值范围是.故选.
6．（多选）已知离散型随机变量的分布列为
1 2 4 6
0.2 0.1
则下列选项正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. 若，则 D.
【答案】ABD
【解析】选.对于，由分布列的性质，可得，解得，所以 正确；对于，若，可得，则，故 正确；对于，由概率的定义知,，所以 不正确；对于，由，，则，所以 正确.故选.
7．已知随机变量服从两点分布，且，，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意可知，解得 或，由于，所以.
8．已知离散型随机变量的分布列如表所示，则_ _ _ _ _ _ .
0 1 2 3
【答案】
【解析】依题意，，整理得，解得 或，当 时，，，不符合题意，当 时，，，，，符合题意，所以 的值为.
9．已知随机变量的分布列为，设，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意，则
，
解得，
.
10．（13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该小组代表参加座谈会.
（1） 设事件为“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件发生的概率；（4分）
（2） 设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列.（9分）
【答案】
（1） 解：因为，
所以.
（2） 的可能取值为0，1，2，
，
，
.
所以随机变量 的分布列为
0 1 2
B 能力提升
11．（多选）设 为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时， 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，，则随机变量 的取值对应的概率正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】选.由题设， 的可能取值为0，1，，若两条棱相交，交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，则，若两条棱平行，它们的距离为1或，而距离为 的共有6对，所以，故.故选.
12．[（2025·南阳期末）]某银行有一自动取款机，在某时刻恰有个人正在使用或等待使用该取款机的概率为，根据统计得到 则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意知，，
则，
解得，即在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为.
13．（15分）甲、乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为，乙赢机器人的概率为，求：
（1） 在一轮比赛中，甲的得分的分布列；（6分）
（2） 在两轮比赛中，甲的得分的分布列.（9分）
【答案】
（1） 解：依题意可得 的可能取值为，0，1.
所以，
，
,
所以 的分布列为
0 1
0.2 0.5 0.3
（2） 依题意可得 的可能取值为，，0，1，2，
所以,
,
,
,
.
所以 的分布列为
0 1 2
0.04 0.2 0.37 0.3 0.09
14．（15分）某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是和，其中.
（1） 甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；（6分）
（2） 若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为 ，求 的分布列.（9分）
【答案】（1） 解：甲在初赛的两轮中均获胜的概率为；乙在初赛的两轮中均获胜的概率为；丙在初赛的两轮中均获胜的概率为；因为 所以，所以，所以甲进入决赛的可能性最大.
（2） 甲、乙、丙三人都进入决赛的概率，整理得，解得 或，又因为，所以.所以丙在初赛的两轮中均获胜的概率为，进入决赛的人数 的所有可能取值为0，1，2，3，，，
，，所以 的分布列为
0 1 2 3
C 素养拓展
15．同时掷两枚质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数.设两枚骰子出现的点数分别为，，记,，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.依题意，随机变量 满足 的事件是，，的3个互斥事件的和，而，，
，
所以.故选.
§3 离散型随机变量的均值与方差
3.1 离散型随机变量的均值
新课导入
在射击运动中，射击选手的每次射击成绩是一个非常典型的随机事件.如何刻画每个选手射击的技术水平与特点？如何比较两个选手的射击情况？如何选择优秀运动员代表国家参加奥运会才能使得获胜的概率较大？这些问题的解决需要离散型随机变量的知识.
学习目标
1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质.
2.会根据离散型随机变量的分布列求出均值，并能解决实际问题.
新知学习 探究
一 离散型随机变量的均值
思考1．假如某人射击10次，所得环数分别是7，7，7，7，8，8，8，9，9，10.则此人射击所得的平均环数是多少？
提示：平均环数为.
思考2．式子中分数的含义是什么？
提示：每个分数表示相应数据的频率，如 是7在数据中出现的频率.
思考3．离散型随机变量的均值和样本的平均数相同吗？
提示：不相同.离散型随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本的不同而变化.
［知识梳理］
1．定义
设离散型随机变量的分布列如表：
… …
… …
则称①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 为随机变量的均值或数学期望（简称期望）.
一般地，如果随机变量服从参数为的两点分布，那么②_ _ _ _ .
【答案】；
2.意义
均值刻画的是取值的“中心位置”，反映了离散型随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要特征.
点拨（1）均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均数.
（2）离散型随机变量的均值 是一个数值，是随机变量 本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平.
（3）由离散型随机变量的均值的定义可知，它与离散型随机变量有相同的单位.
角度1 求离散型随机变量的均值
［例1］ 盒中装有5节同牌的五号电池，其中混有2节废电池.现在无放回地每次取1节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数的分布列及均值.
【解】 的所有可能取值为1，2，3，则，，.所以 的分布列为
1 2 3
.
求离散型随机变量 的均值的步骤
注意 第一，二步是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识.
［跟踪训练1］．
（1） [（2025·汉中期末）]若离散型随机变量的分布列为
0 1
则的均值（ ）
A. 2 B. 2或 C. D. 1
（2） 一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为，和，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利
A. 36元 B. 37元 C. 38元 D. 9元
【答案】（1） C
（2） B
【解析】
（1） 选.由分布列的性质知，，解得 或（舍去）.所以.
（2） 选.由题意可设这台机器每生产一件产品可获利，则 的所有可能取值为50，30，，所以，，，所以这台机器每生产一件产品平均预期可获利（元）.故选.
角度2 离散型随机变量均值的实际应用
［例2］ （对接教材例4）某柑橘基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施.若实施方案一，预计当年可以使柑橘产量恢复到灾前的1.0倍，倍，倍的概率分别是，，；第二年可以使柑橘产量为上一年产量的1.25倍，倍的概率分别是，.若实施方案二，预计当年可以使柑橘产量达到灾前的1.2倍，倍，倍的概率分别是，，；第二年可以使柑橘产量为上一年产量的1.2倍，倍的概率分别是，.实施每种方案时，第二年与第一年相互独立.记表示方案实施两年后柑橘产量达到灾前产量的倍数.
（1） 写出，的分布列；
（2） 实施哪种方案，两年后柑橘产量超过灾前产量的概率更大？
（3） 不管哪种方案，如果实施两年后柑橘产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑橘产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；两年后柑橘产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元.问：实施哪种方案所带来的平均效益更大？
【答案】
（1） 【解】 的所有可能取值为，，，，；的所有可能取值为，，，，.
则，的分布列分别为
0.8 0.9 1.0 1.125 1.25
0.2 0.15 0.35 0.15 0.15
0.8 0.96 1.0 1.2 1.44
0.3 0.2 0.18 0.24 0.08
（2） 令事件，分别表示方案一、方案二两年后柑橘产量超过灾前产量，
由（1）可得，，.可见，实施方案二两年后柑橘产量超过灾前产量的概率更大.
（3） 令 表示方案 所带来的效益，由题意及（1）易得，的分布列分别为
10 15 20
0.35 0.35 0.3
10 15 20
0.5 0.18 0.32
所以（万元），（万元）.可见，实施方案一所带来的平均效益更大.
利用均值解决实际问题的四个步骤
（1）审题：利用的分布列得到 的分布列，关键由的取值计算 的取值，对应的概率相等，再由定义法求得 .
（2）求分布列：确定随机变量的分布列.
（3）计算均值：根据均值的公式计算随机变量的均值.
（4）作答：对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论.
［跟踪训练2］．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1） 求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；
（2） 设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的均值达到最大值？
【答案】
（1） 解：由题意得，随机变量 的可能取值为200,300,500，
可得,,，
所以随机变量 的分布列为
200 300 500
0.2 0.4 0.4
（2） 由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，所以，只需考虑，当 时，若最高气温不低于25，则；
若最高气温位于区间，则；
若最高气温低于20，则，所以.
当 时，
若最高气温不低于20，则；
若最高气温低于20，则，所以，所以当 时，的均值达到最大值，最大值为520元.
二 均值的性质
［知识梳理］
若,其中,为常数，是随机变量，
（1）也是随机变量；
（2）_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
［例3］ 已知随机变量的分布列如下：
0 1 2
（1） 求的值；
（2） 求；
（3） 若，求.
【答案】（1） 【解】 由随机变量分布列的性质，得，解得.
（2） .
（3） 方法一（性质法）：由公式，得.
方法二（直接法）：由于，所以 的分布列如下：
1
所以.
离散型随机变量均值性质的应用
若给出的随机变量 与的关系为,,为常数.一般思路是先求出，再利用公式求 .也可以利用的分布列得到 的分布列，关键是由的取值计算 的取值，对应的概率相等，再由定义法求得 .
［跟踪训练3］．
（1） 若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知随机变量，满足，的均值，的分布列为
0 1
则，的值分别为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】（1） D
（2） A
【解析】
（1） 选.因为随机变量 服从两点分布，且，则，故，故，错误；，故 错误；，故 正确.故选.
（2） 选.依题意得，所以，解得，又因为，所以.故选.
课堂巩固 自测
1．（教材P206T1改编）已知随机变量的分布列如表所示，则（ ）
0 1
0.5 0.2
A. 0 B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由题可得，解得，则由离散型随机变量的均值公式得.故选.
2．（多选）已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表：
1 2 3 4
则下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】选.根据分布列的性质可知，
因为，所以，解得，则，故 错误，正确；
又由分布列可得，整理得，
联立①②解得，，故，正确.故选.
3．一个口袋里装有大小相同的6个小球，其中红色、黄色、绿色的球各2个.现从中任意取出3个小球，若取到红球得

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