资源简介

第三章 空间向量与立体几何
§1 空间直角坐标系
新课导入
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式， 对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法……”我们应如何理解吴文俊先生的这段话？如何刻画点在直线上、平面内、空间内的位置？本节课我们就来研究这个问题.
学习目标
1.了解空间直角坐标系，能在空间直角坐标系中写出所给点的坐标. 2.了解空间两点间距离公式的推导过程. 3.会应用空间两点间的距离公式，求空间中两点间的距离.
新知学习 探究
一 空间直角坐标系及点的坐标
思考1．利用标准正交基是如何建立平面直角坐标系的？
提示：选定一点 和一组标准正交基{，，以 为原点，分别以，的方向为正方向，以它们的长度为单位长度作为 轴、轴，就建立了平面直角坐标系.
思考2．在平面直角坐标系中，如何定义向量的坐标及点的坐标的呢？
提示：在标准正交基{，}下，若向量，那么向量 的坐标为，点 的坐标为.
［知识梳理］
1．空间直角坐标系
坐标系 定义 图示
空间直角坐标系 过空间任意一点，作三条两两垂直的直线，并以点为原点，在三条直线上分别建立数轴：轴、轴和轴，这样就建立了一个空间直角坐标系，如图所示.点叫作①_ _ _ _ _ _ _ _ ，轴（横轴）、轴（纵轴）、轴（竖轴）叫作②_ _ _ _ _ _ ，通过每两条坐标轴的平面叫作③_ _ _ _ _ _ _ _ ，分别称为平面、平面、平面
右手系 在空间直角坐标系中，伸出右手，让四指与大拇指④_ _ ，并使四指先指向轴⑤_ _ _ _ _ _ ，然后让四指沿握拳方向旋转 指向⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，此时大拇指的指向即为轴正方向.我们也称这样的坐标系为右手系
【答案】坐标原点； 坐标轴； 坐标平面； 垂直； 正方向； 轴正方向
2．点在空间直角坐标系中的坐标
（1）类比平面上点的坐标的确定方式，可以先作出点在三条坐标轴上的投影，再根据投影在坐标轴上的坐标写出表示点位置的三元有序实数组；
（2）在空间直角坐标系中，对于空间任意一点，都可以用唯一的一个三元有序实数组来表示；反之，对于任意给定的一个三元有序实数组，都可以确定空间中的一个点.这样，在空间直角坐标系中，任意一点与三元有序实数组之间，就建立了一一对应的关系：⑦_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
三元有序实数组叫作点在此空间直角坐标系中的⑧_ _ ，记作，其中⑨_ _ _ _ 叫作点的横坐标，⑩_ _ _ _ 叫作点的纵坐标， _ _ _ _ 叫作点的竖坐标.
【答案】； 坐标； ； ；
［即时练］
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”.
（1） 空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标一定是的形式.（ ）
（2） 空间直角坐标系中，在坐标平面内的点的坐标一定是的形式.（ ）
（3） 点位于平面内.（ ）
（4） 空间直角坐标系中，点到坐标平面的距离为3.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） √
（4） √
2．[（2025·南阳期末）]点在坐标平面内的投影的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.点 在坐标平面 内的投影即由 作平面 的垂线，垂足的坐标为.
3．已知在长方体中，，，点是的中点，点是的中点，以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，写出点，，的坐标.
解：由于 为坐标原点，所以，
因为，，则，，，，
因为点 是 的中点，点 是 的中点，所以，.
（1）建立空间直角坐标系的原则
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内.
②充分利用几何图形的对称性.
提醒 建立空间直角坐标系时，一般为右手系.
（2）求某点的坐标的方法
①垂线法：向坐标轴或坐标平面作垂线.注意坐标符号.
②公式法：利用中点坐标公式、重心坐标公式求出坐标.
③方程（组）法：利用向量平行或相等关系设出所求点的坐标，建立方程组.
作垂直于平面，垂足为，求的横坐标，纵坐标，即点的横坐标，纵坐标，再求点在轴上投影的竖坐标，即为点的竖坐标，于是得到点的坐标.
二 空间点的对称问题
［例1］ 在空间直角坐标系中，已知点，求：
（1） 点关于各坐标平面对称的点的坐标；
（2） 点关于各坐标轴对称的点的坐标；
（3） 点关于坐标原点对称的点的坐标.
【答案】（1） 【解】 设点 关于 坐标平面的对称点为，则点 在 轴上的坐标及在 轴上的坐标与点 的坐标相同，而点 在 轴上的坐标与点 在 轴上的坐标互为相反数.所以，点 关于 坐标平面的对称点 的坐标为.同理，点 关于，坐标平面的对称点的坐标分别为，.
（2） 设点 关于 轴的对称点为，则点 在 轴上的坐标与点 的坐标相同，而点 在 轴上的坐标及在 轴上的坐标与点 在 轴上的坐标及在 轴上的坐标互为相反数.所以，点 关于 轴的对称点 的坐标为.
同理，点 关于 轴、轴的对称点的坐标分别为，.
（3） 点 关于坐标原点对称的点的坐标为.
求解空间中点的对称问题的策略
（1）空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.
（2）对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.
［跟踪训练1］．
（1） 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为，则（ ）
A. 0 B. 2 C. D. 4
（2） 在空间直角坐标系中，已知点在平面上的投影为，在平面上的投影为，则点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 选.依题意，点 关于坐标平面 的对称点为，也就是，所以，，.即.
（2） 因为点 在平面 上的投影为，在平面 上的投影为，所以.
三 空间两点间的距离公式
思考．在平面解析几何中，已知，，线段的长度为，那么在空间直角坐标系中，若，，线段的长度与其坐标又有怎样的关系呢？
提示：空间中，.
［知识梳理］
已知空间中，两点，则，两点间的距离为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】提醒 （1）公式特征：同名坐标差的平方和的算术平方根.
（2）在空间中，点 到坐标原点 的距离.
（3）表示以原点为球心，1为半径的球的方程.
［例2］
（1） 如图，在长方体中，，，点，分别是平面，平面的中心，则点，间的距离为_ _ _ _ _ _ .
（2） 如图所示，在直三棱柱中，，，，，分别是棱，，的中点，求，的长.
【答案】（1）
（2） 以点 为坐标原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以，，，，，由中点坐标公式可得，，，，所以，.
【解析】
（1） 【解】 以点 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，
所以.所以点，间的距离为，故填.
在具体的立体几何图形中，需结合图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，再利用空间两点间的距离公式求解.
［跟踪训练2］．已知的三个顶点，,.求：
（1） 中最短边的边长；
（2） 边上中线的长度.
【答案】（1） 解：由空间两点间距离公式得,,,所以 中最短边是，其长度为.
（2） 由中点坐标公式，得 的中点坐标为，所以 边上中线的长度为.
四 空间两点间距离公式的综合应用
［例3］ 如图，在长方体中，，，点，分别是，的中点，点是线段的中点，求的值.
【解】 如图，以点 为原点，以，，所在直线分别为 轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.则，，.因为点 是线段 的中点，所以.所以.
母题探究．若本例中条件“点是线段的中点”改成“点是线段上的点，且”，求的最小值及此时的值.
解：依例题中解法建立空间直角坐标系.设点 的坐标为，则
,所以当 时，取最小值，最小值为，此时.
距离是几何中的基本度量，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：（1）求空间任意两点间的距离；（2）判断几何图形的形状；（3）利用距离公式求最值.
［跟踪训练3］．在空间直角坐标系中，已知和.
（1） 在轴上是否存在点，满足？
（2） 在轴上是否存在点，使为等边三角形？若存在，试求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1） 解：假设在 轴上存在点，满足.
因为点 在 轴上，所以可设，
由，可得，
显然，此式对任意 恒成立，
所以在 轴上存在点，满足.
（2） 假设在 轴上存在点，使 为等边三角形，由（1）可知，恒成立，
所以只要，就可以使 是等边三角形，设，
因为，
，
所以,解得.
故在 轴上存在点，使 为等边三角形，且点 的坐标为 或.
课堂巩固 自测
1．在空间直角坐标系中，下列各点位于平面内的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.位于 平面内的点，其横坐标为0，其余坐标任意，故 在 平面内.
2．在空间直角坐标系中，点到坐标平面和的距离分别为（ ）
A. 3，4 B. 4，7 C. 3，7 D. 5，7
【答案】C
【解析】选.因为 轴 平面，轴 平面，所以点 到坐标平面 和 的距离分别为3，7.
3．[（2025·汉中月考）]若点，关于轴对称，则_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】因为点，关于 轴对称,所以，，，所以.
4．（教材 改编）已知空间中两点，，在轴上有一点，它到，两点的距离相等，求点的坐标.
解：设点 的坐标为，
则由，得
，即,解得,所以点 的坐标为.
1.已学习：空间直角坐标系的概念、空间点的坐标及空间两点间的距离公式.
2.须贯通：求空间直角坐标系中点的坐标，要观察该点在坐标轴的正方向或负方向上距离原点的距离.
3.应注意：混淆空间中点的对称点的特点，记忆方法：“关于谁对称谁不变，其余均改变”.
课后达标 检测
A 基础达标
1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2．在空间直角坐标系中，点的坐标为，则到平面的距离为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.
【答案】C
3．在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的投影是点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
4．已知空间中两点,，且，则（ ）
A. 1或2 B. 1或4 C. 0或2 D. 2或4
【答案】D
【解析】选.由题意得，解得 或.故选.
5．在空间直角坐标系中，已知点,,，则一定是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】选.由题意，得，，，而，所以 一定为直角三角形.故选.
6．（多选）下列关于空间直角坐标系中的一点的说法正确的有（ ）
A. 线段的中点的坐标为,1,
B. 点关于轴对称的点的坐标为
C. 点关于坐标原点对称的点的坐标为
D. 点关于平面对称的点的坐标为
【答案】AD
【解析】选.由题意可知线段 的中点的坐标为,1,，故 正确；点 关于 轴对称的点的坐标为，故 错误；点 关于坐标原点对称的点的坐标为，故 错误；点 关于 平面对称的点的坐标为，故 正确.故选.
7．点，的中点坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】,2,
8．[（2025·聊城期末）]在空间直角坐标系中，若点关于平面对称的点为，则点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意知，在空间直角坐标系 中，点 关于平面 的对称点为，又，
所以 解得 所以点 的坐标为.
9．在三棱锥中，，，两两垂直，且，，，则点到的重心的距离为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】以点 为坐标原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系（图略）.则，，，，所以 的重心 的坐标为，故.
10．（13分）如图所示，在四棱锥中，建立空间直角坐标系，若，，，是的中点，求点的坐标.
解：设点 在 轴、轴、轴上的投影分别为，，，它们的坐标分别为,,，所以点 的坐标是.
B 能力提升
11．在空间直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.设，因为 与 的中点相同，所以 解得
所以点.故选.
12．（多选）如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A. 点的坐标为
B. 点关于点对称的点的坐标为
C. 点关于直线对称的点的坐标为
D. 点关于平面对称的点的坐标为
【答案】ACD
【解析】选.由题意可知，点 的坐标为，点 关于点 对称的点的坐标为，点 关于直线 对称的点为，点 关于平面 对称的点的坐标为，因此，，正确，错误.故选.
13．[（2025·南阳月考）]在空间直角坐标系中，点在平面，平面，平面上的投影分别为，，，则四面体的体积为_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】由，可得点 在 平面，平面，平面上的投影分别为，，，
所以 平面，且 是直角三角形，所以.
14．（13分）已知，，求：
（1） 线段的中点坐标及的长度；（6分）
（2） 到，两点的距离相等的点的坐标满足的条件.（7分）
【答案】
（1） 解：设 是线段 的中点，
则根据中点坐标公式得
，，.
所以 的中点坐标为，，.
根据两点间的距离公式，得
，
所以 的长度为.
（2） 因为点 到，的距离相等，
所以
，
化简得.
即点 的坐标满足的条件为.
C 素养拓展
15．（15分）已知正方形，的边长都是1，且平面 平面，点在上移动，点在上移动，若.
（1） 求的长；（10分）
（2） 当为何值时，的值最小.（5分）
【答案】
（1） 解：因为平面 平面，平面 平面，， 平面,所以 平面，所以，，两两垂直.过点 作，，垂足分别为，，连接，易证.因为，所以，所以以 为坐标原点，以，，所在的直线分别为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，，.所以
.
（2） 由（1）得，当 时，最小，最小为，这时，恰好分别为线段，的中点.
§2 空间向量与向量运算
第1课时 空间向量的概念及线性运算
新课导入
如图展示的是一个做滑翔伞运动的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向且大小各异的力,你能用图示法表示这些力吗 能对这些力进行力的合成吗 这就是本节我们学习的空间向量及其线性运算.
学习目标
1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程. 3.掌握空间向量的线性运算.
新知学习 探究
一 空间向量的有关概念
思考1．与平面向量有关的概念有哪些？
提示：模、夹角、向量平行、向量相等.
思考2．学习了哪几个特殊的平面向量？
提示：零向量、单位向量、相反向量等.
思考3．你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？
提示：空间向量是平面向量的推广，其表示方法及相关概念与平面向量一致.
［知识梳理］
1．空间向量的概念
（1）定义：在空间中，我们把具有大小和方向的量叫作空间向量.向量的大小叫作向量的长度或模.
（2） 表示法：空间向量有两种表示法.一种用有向线段来表示.例如，以点为起点、点为终点的有向线段可以表示一个向量，记作向量①_ _ _ _ _ _ .点叫作向量的起点，点叫作向量的终点.另一种在印刷时用，，， 表示，书写用，，， 表示.
（3）长度：表示向量的有向线段的长度也叫作向量的长度或模，用表示.有向线段的方向表示向量的方向.
（4） 几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
相等向量 方向②_ _ 且③相等的向量称为相等向量
自由向量 数学中所研究的向量，与向量的④_ _ 无关，称之为自由向量
相反向量 方向⑤_ _ 且模⑥_ _ 的向量互为相反向量，向量的相反向量用⑦_ _ _ _ _ _ 表示
零向量 规定模为0的向量叫作零向量，记为⑧_ _
共线向量（平行向量） 当表示向量的两条有向线段所在的直线⑨_ _ _ _ _ _ _ _ 时，称这两个向量互为共线向量（或平行向量）.向量、向量、向量互为共线向量，记作，，
【答案】（2）
（4） 相同；模；起点；相反；相等；；0；平行或重合
2．共面向量
当表示向量的有向线段所在直线平行于平面 或在平面 内时，就说向量平行于平面 ，记作⑩_ _ _ _ _ _ .通常，我们把平行于 _ _ _ _ _ _ _ _ 的向量，叫作 _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】； 同一平面； 共面向量
［即时练］
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”.
（1） 两个有公共终点的向量，一定是共线向量.（ ）
（2） 若，则.（ ）
（3） 若两个向量的起点重合，则这两个向量的方向相同.（ ）
【答案】（1） ×
（2） √
（3） ×
2．（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A. 若空间向量，满足，则
B. 在正方体中，必有
C. 若空间向量，，满足，，则
D. 空间中，，，则
【答案】BC
【解析】选 为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而 中向量 与 的方向不一定相同；为真命题，与 的方向相同，模也相等，故；为真命题，向量的相等满足传递性；为假命题，平行向量不一定具有传递性，当 时，与 不一定平行.
3．如图，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：
（1） 单位向量有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 模为的向量有_ _ _ _ 个；
（3） 与相等的向量有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（4） 的相反向量有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） ，，，，，，，
（2） 8
（3） ，，
（4） ，，，
处理向量概念问题时要关注的两个要素和两个关系：
（1）两个要素
判断与向量有关的命题时，要抓住向量的两个要素，即大小与方向，两者缺一不可.
（2）两个关系
①模相等与向量相等的关系：两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量（非零向量）的模相等是两个向量相等的必要不充分条件.
②向量的模与向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的.但向量的模是可以比较大小的.
二 空间向量的加减运算
思考1．平面向量的线性运算是指哪些运算？
提示：平面向量的线性运算是指平面向量的加减法及数乘运算.
思考2．空间中的向量能用平面向量的线性运算法则进行运算吗？
提示：能.因为空间向量是可以自由移动的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合，又因为两条相交直线确定一个平面，所以平移后两个向量是在同一个平面内的，同一平面内的两个向量可以利用平面向量的线性运算法则进行运算.
［知识梳理］
加法运算 三角形法则 语言 首尾顺次相接，①_ _ _ _ _ _ _ _ 为和
图形
平行四边形法则 语言 共起点的两边为邻边作平行四边形，②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 为和
图形
减法运算 几何意义 语言 共起点，连终点，方向指向③_ _ _ _ _ _ _ _
图形
加法运算律 交换律
结合律
【答案】首指向尾； 共起点对角线； 被减向量
［例1］ [（2025·焦作月考）]如图，已知平行六面体，化简下列各式：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） 【解】 因为，，所以.
（2） 因为，所以.
空间向量加、减法运算的两个技巧
（1）巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
（2）巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
［跟踪训练1］．如图，已知空间四边形，连接，，点，，分别是，，的中点，请化简下列式子，并在图中标出化简结果.
（1） ；
（2） .
【答案】
（1） 解：，如图中向量.
（2） ，如图中向量.
三 空间向量的数乘运算
［知识梳理］
1．空间向量的数乘运算
定义 与平面向量类似，实数 与空间向量的乘积仍然是一个向量，记作.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算
几何意义 向量与向量方向①_ _ ，的长度是的长度的④_ _ 倍
向量与向量方向②_ _
，其方向是③_ _ _ _ _ _ 的
运算律 结合律
分配律 ，，其中，.
【答案】相同； 相反； 任意；
2．共线向量基本定理
空间两个向量，共线的充要条件是存在唯一的实数 ，使得⑤_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
提醒 （1）当 或 时，.
（2） 的正负影响向量 的方向， 的绝对值的大小影响 的长度.
（3）向量 与向量 一定是共线向量.
［例2］ 如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示.
【解】 因为 是 的中点，所以，因为，所以，所以，
因为，
所以
，
所以
.
利用数乘运算进行向量表示的技巧
（1）数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.
（2）明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
［跟踪训练2］．
（1） 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
（2） 如图，已知长方体中，点为的中点，，若，则_ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2） ；；
【解析】
（1） 选.因为，所以，因为，所以.
（2） 由题意知，，
又，
所以,,.
四 共线问题
角度1 判断或证明共线
［例3］ 如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且.求证：，，三点共线.
【证明】 设,,.因为，,所以..所以.又,所以.又因为,所以，，三点共线.
角度2 利用共线求参数
［例4］ 设,是不共线的向量，已知,,,若，，三点共线，则实数_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由已知得,又，，三点共线，所以存在实数 ，使得，即,即,又,不共线，所以 解得
证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点，，，可通过证明下列结论来证明三点共线.
（1）存在实数 ，使成立.
（2）对空间任一点，有.
（3）对空间任一点，有.
［跟踪训练3］．
（1） 设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且，，三点共线，则实数_ _ _ _ _ _ .
（2） 如图所示，在正方体中，为上一点，且，与交于点.求证：，，三点共线.
【答案】（1）
（2） 证明：连接，，,如图所示.由,得.又，，所以，所以，即，故，，三点共线.
【解析】
（1） 因为，，所以，因为，，三点共线，所以存在实数 ，使得，即，又，不共线.所以 解得.
课堂巩固 自测
1．（多选）下列命题中为真命题的是（ ）
A. 同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B. 两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C. 只有零向量的模等于0
D. 共线的单位向量都相等
【答案】ABC
【解析】选.容易判断 是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量，，为真命题，故选.
2．在四棱柱中，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选..故选.
3．（教材P102T3改编）在平行六面体中，与的交点为，点为上靠近点的三等分点.设，，，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（用，，表示）
【答案】
【解析】
.
4．如图，已知长方体中，点为上底面的中心，若，则_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】因为，
又因为,
所以,,
所以.
1.已学习：空间向量的相关概念、空间向量的线性运算、共线向量基本定理.
2.须贯通：空间向量的线性运算、共线向量基本定理的应用.
3.应注意：（1）抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，注意它是一个“量”，而不是一个数；
（2）利用共线向量基本定理解决三点共线问题忽视公共点.
课后达标 检测
A 基础达标
1．下列命题是真命题的是（ ）
A. 空间向量就是空间中的一条有向线段
B. 不相等的两个空间向量的模必不相等
C. 任一向量与它的相反向量不相等
D. 向量与向量的长度相等
【答案】D
【解析】选.对于，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来，故 是假命题；对于，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的大小相等且方向不相同即可，故 是假命题；对于，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故 是假命题；对于，与 仅是方向相反，它们的长度是相等的，故 是真命题.
2．若,,,为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】选.对于，;
对于，；
对于，；
对于，.
3．在空间四边形中，点,分别是和的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.
因为点 是 的中点，
所以，
所以.
4．在三棱柱中，为棱的中点，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选..
5．已知四边形，为空间任意一点，且,则四边形是（ ）
A. 平行四边形 B. 空间四边形 C. 等腰梯形 D. 矩形
【答案】A
【解析】选.因为，所以.
所以 且.
所以四边形 为平行四边形.
6．（多选）如图，在四面体中，点，分别为，的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】选.因为，分别为，的中点，所以由中位线性质可知，故 正确；若,则，由题图可知，不共线，矛盾，故 错误；因为，故 正确；因为，故 正确.
7．[（2025·焦作月考）]如图所示，在三棱柱中，与相等的向量是_ _ _ _ _ _ _ _ ；的相反向量是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】； 和
【解析】由相等向量与相反向量的定义知，与 是相等向量，与,是相反向量.
8．如图，在平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】,故，，，.
9．设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，，，所以，又因为，，三点共线，所以，因为，不共线，所以，所以，所以.
10．（13分）如图所示，在三棱柱中，是的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
（1） ；（4分）
（2） ；（4分）
（3） .（5分）
【答案】（1） 解：.
（2） 因为 是 的中点.所以.又，
所以.
（3） .向量,,如图所示.
B 能力提升
11．若，，，为空间四点，且有，则是，，三点共线的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不是充分条件也不是必要条件
【答案】C
【解析】选.若，则，即，显然，，，三点共线；若，，三点共线，则有，故，整理得，令 ，，则.所以 是，，三点共线的充要条件，故选.
12．如图，在四面体中，，分别是，的中点，若记，，，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（用，，表示）
【答案】
【解析】由题意得.
13．光岳楼，亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长之比约为，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】如图，延长，，，相交于一点，则，，所以.
14．（15分）如图所示，在平行六面体中，，分别是，的中点，为线段上一点.设，，.
（1） 若是的中点，用，，表示，，；（7分）
（2） 若，用，，表示.（8分）
【答案】
（1） 解：由题意得，；
；
.
（2） 因为，所以，
所以.
C 素养拓展
15．（15分）在平面四边形中，，分，所成的比为 ，即 ，则有.
（1） 拓展到空间，写出空间四边形类似的命题，并加以证明；（7分）
（2） 在长方体中，，分别为，的中点，利用（1）的结论表示.（8分）
【答案】
（1） 解：在空间四边形 中，，分，所成的比为 ，即 ，则有.
证明如下：
.
（2） 由（1）的结论可得.
第2课时 空间向量的数量积
新课导入
如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功 ，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引进了“数量积”的概念，本节课我们学习空间向量的数量积问题.
学习目标
1.理解空间两个向量夹角的定义. 2.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律，会求空间向量的数量积. 3.了解投影向量以及投影数量的概念.
4.能够运用空间向量的数量积解决夹角与距离问题.
新知学习 探究
一 两个向量的夹角
思考．类比平面向量夹角的相关概念，探究空间向量夹角的概念.
提示： 只要把两个空间向量平移到同一起点，就可利用平面向量的方法定义空间向量的夹角.
［知识梳理］
定义 已知两个非零向量，，在空间中任取一点，作，，则①_ _ _ _ _ _ _ _ 叫作向量与的夹角，记作，
范围 ，
向量平行 当，时，向量与方向相同；当， 时，向量与方向相反
向量垂直 当，时，称向量，互相垂直，记作②_ _ 规定：零向量与任意向量垂直
【答案】；
［即时练］
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”.
（1） 空间向量与的夹角等于空间向量与的夹角.（ ）
（2） 对于空间非零向量，，若，则，.（ ）
（3） 对于空间非零向量，，，与，相等.（ ）
（4） 在正四面体中，与的夹角等于 .（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） ×
（4） ×
2．已知,是空间非零向量，若，则,_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，所以非零向量,不可能共线，设,,利用平行四边形法则得到，
如图，所以,所以 为等边三角形，得，故，即,.
3．如图，在长方体中，若，,则向量与的夹角为_ _ _ _ _ _ ,与的夹角为_ _ _ _ _ _ .
【答案】；
【解析】易知，而，,所以，即.因为，所以 与 的夹角为；因为 平面， 平面,所以，所以 与 的夹角为.
对两个空间向量夹角的理解
（1）两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为 .故，或,（，为非零向量）；
，，，.
二 两个向量的数量积
思考1．回忆平面向量数量积的定义.
提示：已知两个非零向量 和,它们的夹角为 ,则数量 叫作 与 的数量积（或内积），记作，即 .
思考2．类比平面向量数量积的性质与运算律，探究空间向量数量积的性质与运算律.
提示：通过空间向量数量积可以求向量的位置关系、向量的模、向量的夹角，并且数量积的运算也满足交换律、分配律.
［知识梳理］
1．数量积的定义
已知两个非零向量,,把,叫作,的数量积,记作①_ _ _ _ _ _ .即②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】； ，
2．数量积的性质（,是非零向量）
向量数量积的性质 垂直 ③_ _ _ _ _ _ _ _
共线 同向：
反向：
模 ④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；；
夹角 为,的夹角,则
【答案】； ，
3．数量积的运算律
数乘向量与数量积的结合律 ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,
交换律 ⑥_ _ _ _ _ _
分配律
【答案】；
［例1］ 如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，分别是，的中点，计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】
（1） 【解】
，.
（2）
，.
（3）
，.
（4）
.
空间向量的数量积的运算方法
（1）利用定义直接求数量积或利用数量积的性质计算.
（2）在几何体中求空间向量的数量积的步骤：
①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；②利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；③根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；④代入公式,求解.
［跟踪训练1］．
（1） 已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
（2） 已知如图所示的正四面体的棱长为1，求：
① ；
② .
【答案】（1） C
（2） 解：在正四面体 中，，，,, .
（2） ① .
② .
【解析】
（1） 选.，，则.故选.
三 投影向量与投影数量
［知识梳理］
如图，已知两个非零向量,，在空间任取一点，作,,过点作直线的垂线，垂足为点，称向量为向量在向量方向上的投影向量.若用表示与向量同方向的单位向量，则向量在向量方向上的投影向量为,.
当,为锐角时，，；
当,为钝角时，，；
当,时，，.
称，为投影向量的数量，也称为向量在向量方向上的投影数量.结合空间向量数量积的定义可知：向量在向量方向上的投影数量为,.
［例2］ （对接教材例2）
（1） 已知空间向量与的夹角为 ，，，则在方向上的投影数量为_ _ _ _ .
（2） 如图，在三棱锥中， 平面，平面 平面，，，，若方向上的单位向量为，则向量在方向上的投影向量为_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） 1
（2）
【解析】
（1） 因为 与 的夹角为 ，，，所以，所以 在 方向上的投影数量为.
（2） 因为平面 平面，平面 平面， 平面，，所以 平面，又 平面，所以，又因为 平面，所以，在 中，，故向量 在 方向上的投影向量为.
（1）求在方向上投影向量的方法
①依据投影向量的定义和平面几何知识作出恰当的垂线，直接得到投影向量.
②首先根据题意确定向量的模、与同向的单位向量及两向量与的夹角，然后依据公式，计算.
（2）在方向上的投影数量为，.
［跟踪训练2］．
（1） 已知在四棱锥中， 底面，底面是矩形，则向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
（2） 如图所示，在长方体中，，，则
①向量在方向上的投影向量为_ _ _ _ _ _ _ _ ；
②向量在方向上的投影数量为_ _ _ _ _ _ ；
③向量在方向上的投影数量为_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2） ；；
【解析】
（1） 选.四棱锥 如图所示，
底面 是矩形，所以， 底面， 底面，所以，过向量 的起点 作直线 的垂线，垂足为点，过向量 的终点 作直线 的垂线，垂足为点，所以 在向量 上的投影向量为，由底面 是矩形，得.故选.
（2） 易知，.
①由长方体的性质知，因此向量 在 方向上的投影向量为.
②在 中，,即,.所以向量 在 方向上的投影数量为
,.
③向量 在 方向上的投影数量为
,.
四 空间向量数量积的综合应用
［例3］ 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是 .若，，.
求：
（1） 对角线的长；
（2） ,.
【答案】（1） 【解】 因为以顶点 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是 ，所以，,,又因为，所以，所以，即对角线 的长为.
（2） 因为，，所以,.
求向量的夹角和模
（1）求两个向量的夹角：利用公式,求,,进而确定,.
（2）求线段长度（距离）：①取此线段对应的向量；②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用,计算出，即得所求长度（距离）.
［跟踪训练3］．
（1） 如图，在正方体中，点满足，则,_ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 如图，在平行六面体中，底面为正方形，，，.设，，.
① 用，，表示；
② 求的长度.
【答案】（1）
（2） ① 解：因为,，
且.
所以.
② 由①知.
根据向量运算法则.
因为底面 为正方形，，所以，.
又，所以.
由于，
所以，.
而，所以.
则.
根据向量的模长公式得，即 的长度为.
【解析】
（1） 设正方体棱长为3，，,则,，,故，.
课堂巩固 自测
1．（多选）下列结论中错误的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若,,为非零向量，且，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】选.对于，表示与 同向的向量，表示与 同向的向量，两者不相等，故 错误；对于，由,，得,，又因为, ，所以, ，所以，故 正确；
对于，由，得,,，得,,，如图所示，
满足,,，但 与 不平行，故 错误；
对于，若，则，,可能方向不同，因此不能推出，故 错误.故选.
2．在空间四边形中，，，则向量,的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.如图所示，因为，又，，则，所以，所以，.
3．若，为空间夹角是 的两个单位向量，则_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】因为，所以.
4．[（2025·桂林期末）]在四棱锥中，四边形为正方形，，且 底面，则向量在平面上的投影向量是_ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ .
【答案】；
【解析】如图，因为 底面，所以向量 在平面 上的投影向量是.
方法一：因为 底面，所以，
因为四边形 为正方形，，所以，
所以
.
方法二：,又 在 上的投影向量为，所以，即.
5．如图，已知线段，在平面 内，, ，且，,,则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】方法一：由于 ，, ，所以,,又,所以，，.因为,所以，所以.
方法二：连接（图略），在 中，由勾股定理得.因为 , ,所以，在 中，由勾股定理得.
1.已学习：空间向量的夹角、投影向量和投影数量、空间向量数量积、性质及运算.
2.须贯通：两个向量的数量积在判断垂直中的应用、利用向量数量积求空间两点间的距离.
3.应注意：数量积的符号由夹角的余弦值决定.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知向量与的夹角为 ，且，，则（ ）
A. 12 B. C. 4 D. 13
【答案】D
【解析】选..
2．已知，是夹角为 的两个单位向量，则与的夹角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意得，，.所以，.所以， .故选.
3．已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由题意可知 在 方向上的投影向量为.故选.
4．[（2025·桂林期末）]如图，在平行四边形中，， ,沿着它的对角线将折起，当二面角的大小是 时，则,两点间的距离为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】选.根据垂直关系，与 的夹角，即为二面角 的平面角，且，，，，
所以
.
5．已知平行六面体的各棱长均为1， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由已知可得，，又，所以，所以.故选.
6．（多选）已知正方体的中心为，，则满足的可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】选.由，正方体如图所示，根据向量数量积的几何意义有，，，,综上，满足 的 可以是,.
7．已知，，，则.
【答案】22
【解析】因为，所以，所以，所以.
8．已知空间向量，满足，，，，则在方向上的投影向量为_ _ _ _ _ _ _ _ ，
投影数量为_ _ _ _ _ _ .
【答案】；
【解析】由题意知，，，，所以，，则 在 方向上的投影向量为，，在 方向上的投影数量为，.
9．已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为 .若，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，，的模均为1，它们之间的夹角均为 ，所以，.又,所以,即,解得 或.
10．（13分）已知不共面的三个单位向量,,两两之间的夹角均为 ,，.
（1） 求证：；（6分）
（2） 求,.（7分）
【答案】（1） 解：证明：因为，所以，所以.
（2） 因为，，.
所以，.
所以,.
B 能力提升
11．（多选）在正方体中，下列结论正确是（ ）
A.
B.
C. 与的夹角为
D. 正方体的体积为
【答案】ABC
【解析】选.设正方体的棱长为，
对于，，正确；
对于，，正确；
对于，由于 是等边三角形，所以 与 的夹角为 ，正确；
对于，，所以 错误.
12．如图所示，已知 平面， ，，则向量在向量方向上的投影向量是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】在 中，由余弦定理得，，而 平面，，故，，在 中，，即，得,所以，，故向量 在向量 方向上的投影向量是.
13．（13分）如图，在空间四边形中，，分别为，的中点，点为的重心，设，，.
（1） 试用向量，，，表示向量；（5分）
（2） 若，， ，求的值.（8分）
【答案】
（1） 解：
.
（2）
，
，
.
14．（15分）如图，正三棱柱中，底面边长为.
（1） 设侧棱长为1，求证：；（7分）
（2） 设与的夹角为，求侧棱的长.（8分）
【答案】
（1） 解：证明：由已知得，，因为 平面，, 平面,
所以，，
又因为 是正三角形，所以,,,
所以，，
所以，即.
（2） 由（1）得,，
又，
，
所以，，解得或0（舍去），所以侧棱长为2.
C 素养拓展
15．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合,,2,3, ,中的元素个数是（ ）
A. 7 B. 5 C. 3 D. 1
【答案】D
【解析】选.方法一：由题图可知，，则，因为正方体棱长为1，，所以，，故集合，,2,3, ,中的元素个数为1.
方法二：由向量数量积的几何意义知，,同理知，所以所求集合中的元素个数是1.
§3 空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示
3.1 空间向量基本定理
新课导入
“道生一，一生二，二生三，三生万物”这句话出自老子的《道德经》，他表示“道”生万物，从少到多，从简单到复杂的一个过程，联系到我们学过的平面向量基本定理，可以概括为给出一组二维的基，可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，仍然为给出一组三维的基，可以生成空间中的所有向量.这节课我们来探究空间向量基本定理有哪些应用.
学习目标
1.了解空间向量基本定理，了解基的意义. 2.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基表示其他向量的方法. 3.会用空间向量基本定理解决简单的立体几何问题.
新知学习 探究
一 空间向量基本定理
如图，已知正方体的棱长为，在，，上分别取单位向量，，.
思考1． ， ，共面吗？
思考2．能否用，，表示向量？若能，如何表示？
【答案】思考1 提示：不共面.
思考2 提示：能，.
［知识梳理］
1．空间向量基本定理
如果向量,,是空间三个①_ _ _ _ _ _ 的向量，是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组,使得②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】不共面；
2．基
（1）如果向量，，是空间三个不共面向量，那么所有的空间向量组成的集合就是③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，这个集合可以看成是由向量,,生成的，这时{,,}叫作空间向量的一组基，其中,,都叫作④_ _ _ _ _ _ .
（2）空间任意三个不共面的向量都可以构成空间向量的一组基.
【答案】,,, }； 基向量
【解析】点拨 （1）一组基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示.选用不同的基，同一向量的表达式也可能不同；
（2）若三个向量不共面，就说明它们都不是；
（3）一组基是一个向量组，一个基向量是指一组基中的某一个向量.
［即时练］
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”.
（1） 也可以作为基向量.（ ）
（2） 空间的任意一个向量都可用三个给定向量表示.（ ）
（3） 如果向量，与任何向量都不能构成空间向量的一组基，则一定有与共线.（ ）
（4） 任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） √
（4） ×
2．已知{，，}是空间向量的一组基，则可以与向量，构成一组基的向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.因为，，又，，，显然，，三个选项中的向量都与，共面，对于，若 与，共面，则存在，使得，则，这与{，，}是空间向量的一组基矛盾，故 能与，构成一组基.
3．已知{，，}是空间向量的一组基，，若，则_ _ _ _ .
【答案】4
【解析】，又，所以，，，
故.
（1）判断一组向量能否作为空间向量的一组基，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为空间向量的一组基.
（2）判断基时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
二 用空间向量的基表示向量
［例1］ （对接教材例1）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量.
【解】 因为 是 的中点，底面 是正方形，所以.
母题探究．在本例中，若只把条件“，，”变为“，，”,再以，，为基向量表示出向量.
解：连接（图略），.
用空间向量的基表示向量的步骤
（1）定基：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间向量的一组基.
（2）找目标：用确定的基（或已知基）表示目标向量，需要根据三角形法则或平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.
（3）下结论：利用空间向量的一组基{，，}可以表示出空间所有向量.结果中只能含有，，，不能含有其他形式的向量.
［跟踪训练1］．[（2025·渭南月考）]如图，在三棱柱中，，分别是线段，的中点，设，，.用，，表示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】.
三 空间向量基本定理的应用
［例2］
（1） （多选）对于空间任意一点和不共线的三点，，，能得到，，，四点共面的是（ ）
A. B.
C. D.
（2） 如图所示，在长方体中，为线段的中点，，且，求证：，，为共面向量.
【答案】（1） BC
（2） 证明：设，，，则，因为 为线段 的中点，所以，又因为，所以，所以，所以，，为共面向量.
【解析】
（1） 【解】 选.方法一：对于，，不能转化成 的形式，故 不正确；
对于，因为，所以，所以，所以，所以，
所以，，，四点共面.故 正确；
对于，.所以，所以，所以，，，四点共面，故 正确；
对于，，无法转化成 的形式，故 不正确.
方法二：当点 与，，共面时，对空间任意一点，都有，且，可判断出只有选项，符合要求.
证明空间三向量共面或四点共面的方法
（1）向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若，则向量，，共面.
（2）若存在有序实数组使得对于空间任意一点，有，且成立，则，，，四点共面.
［跟踪训练2］．如图所示，在平行六面体中，点，分别在线段和上，且，.
（1） 证明：，，，四点共面；
（2） 若，求的值.
【答案】（1） 解：证明：连接（图略）.因为，所以，，共面，又它们有公共点，所以，，，四点共面.
（2） 因为，又，所以,,,所以.
课堂巩固 自测
1．设，，是三个非零向量；，，}为空间向量的一组基，则是的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不是充分条件也不是必要条件
【答案】B
【解析】选.当非零向量，，不共面时，，，}可以构成空间向量的一组基，否则无法构成，当{，，}为空间向量的一组基时，一定有，，为非零向量.因此 是 的必要不充分条件.故选.
2．（多选）在空间四点，，，中，若，，}是空间向量的一组基，则下列说法中正确的是（ ）
A. ，，，四点不共线
B. ，，，四点共面，但不共线
C. ，，，四点不共面
D. ，，，四点中任意三点不共线
【答案】ACD
【解析】选.若四点共线，则，，共面，，，构不成空间向量的一组基，正确；若四点共面，则，，共面，，，构不成空间向量的一组基，错误，正确；若有三点共线，则这四点共面，，，构不成空间向量的一组基，正确.故选.
3．如图，在梯形中，，，点为空间任意一点，设，，，则向量_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（用，，表示）
【答案】
【解析】由题意可知，，所以，所以,所以.
4．如图，在正方体中，设，，.
（1） 用向量，，表示向量，；
（2） 设点，分别是正方形和的中心，用向量，，表示向量.
【答案】
（1） 解：.
.
（2） 方法一：连接，（图略），则.
方法二：连接（图略），则.
1.已学习：空间向量基本定理、四点共面的充要条件.
2.须贯通：用基向量表示空间向量.
3.应注意：（1）基向量理解错误，没有注意到基向量的条件；
（2）运算错误，利用基向量表示向量时计算要细心.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知{,,}是空间向量的一组基，则可以与向量，构成空间向量另一组基的向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为，，，所以向量，，均与向量，共面，故，，错误，而 选项 不能转化为 的形式，所以 与，不共面.故选.
2．如图，在四面体中，，，，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.连接（图略）,因为，即 为线段 的中点，所以，因为，所以，.故选.
3．[（2025·汉中月考）]已知{，，}是空间向量的一组基，若，,若，则（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】B
【解析】选，，因为，所以存在实数 ，使，所以，
所以 所以
解得 所以.
4．在棱长为1的正方体中，，，分别在棱，，上，且满足，，，是平面、平面与平面的一个公共点，设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为，点 在平面 内，所以，同理可得，解得，.所以.
5．如图所示的三棱锥中，令，，，且，分别是，的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.因为，，，所以，，所以，所以.
6．（多选）如图，在四面体中，，分别是边，上的点，且，，点是线段的中点，则以下向量表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】选.对于,连接（图略）,由题意可知，在四面体 中，，，点 是线段 的中点，，，故 正确；对于，，故 错误；对于，，故 正确；对于，，故 错误.故选.
7．已知空间向量的一组基{,,},,.若向量与共线，则_ _ _ _ ,_ _ _ _ _ _ .
【答案】2；
【解析】因为 与 共线，所以存在实数 ,使得,即.所以 解得
8．如图，在正方体中，用，，}作为空间向量的一组基，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，所以.
9．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，，分别是，的中点，是的中点，若，则_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】，
所以 解得
所以.
10．（13分）如图，在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点.
（1） 用向量，，表示，；（6分）
（2） 若，求实数，，的值.（7分）
【答案】
（1） 解：在平行六面体 中，，连接,由，分别是，的中点，得.
（2） ，而，且，，不共面，所以，，.
B 能力提升
11．（多选）下列条件中，点与点，，一定共面的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】选 选项中，，四点共面；选项中，，四点不共面；选项中，，则点，，，共面；选项中，，，四点不共面.故选.
12．如图所示，在正方体中，点为的重心，若，，，，则_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】易知 为正三角形，连接，设，相交于点，连接，如图所示，显然点 在线段 上，且满足，由
，得，即，所以，可得.
13．已知正四面体的棱长为1，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，且，
可知 与，，共面，则 的最小值为三棱锥的高，
设 为 在平面 上的投影，连接 并延长交 于点，则，所以，所以，
所以三棱锥的高为.
14．（13分）已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足.
（1） 判断,，三个向量是否共面；（6分）
（2） 判断点是否在平面内.（7分）
【答案】
（1） 解：由题意，知，
所以，
即，
故，，共面.
（2） 由（1）知，，共面且有公共点，所以，，，四点共面，从而点 在平面 内.
C 素养拓展
15．（15分）如图，在矩形和中，，，，，，，记，，.
（1） 将用，，表示出来；（5分）
（2） 当 等于多少时，线段的长度取得最小值？求此时与夹角的余弦值.（10分）
【答案】
（1） 解：由题图知,
.
（2） 由题意，，，，由（1）得
，
所以当 时，有最小值，即线段 的长度取得最小值，
此时，，
，
故，
，
，
则，.
3.2 空间向量运算的坐标表示及应用
新课导入
一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到从三个方向拉巨石.这三个力分别为，，，它们两两垂直，且，，.若以，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，你知道巨石所受合力的坐标是多少吗？本节课我们将探究此类问题.
学习目标
1.理解空间向量的标准正交基. 2.掌握空间向量的运算与坐标的关系，能利用坐标运算解决问题. 3.掌握空间向量的坐标与空间向量的平行与垂直的关系，并能利用数量积运算求解简单的长度、夹角问题.
新知学习 探究
一 空间向量的坐标运算
回顾之前学习过的平面向量相关知识，回答以下问题：
思考1．在平面直角坐标系中，,，的坐标是什么
提示：.
思考2．设平面向量,，则,,,的运算结果分别是什么？
提示： , , ,.
思考3．有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示吗？
提示：设,,与平面向量运算的坐标表示一样，有,,,,.
［知识梳理］
1．标准正交基
在空间直角坐标系中，分别沿轴、轴、轴正方向作单位向量，，，这三个①_ _ _ _ _ _ _ _ 的单位向量就构成空间向量的一组基{,,，这组基叫作标准正交基.
【答案】互相垂直
2．一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标②_ _ 起点的坐标.
【答案】减去
3．空间向量的坐标运算
空间向量，，其坐标形式为，.
向量运算 向量表示 坐标表示
相等 ③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
加减法 ④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
数乘运算 ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
数量积 ⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
【答案】，，； ； ；
［即时练］
1．[（2025·汉中期末）]已知点，若向量，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.设点，而点，则，又，
因此 解得 所以点 的坐标是.
2．已知，,则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意得，,，则.
3．在空间直角坐标系中，已知点，，，，若，，，四点共面，则_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】因为，，，，所以，，，因为，所以 与 不共线，因为，，，四点共面，所以存在实数,使得，所以，
所以 解得
空间向量坐标运算的规律
（1）由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定.
（2）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算.
（3）由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程（组），求出其坐标.
二 空间向量平行、垂直的坐标表示
思考．设平面向量，，则与的充要条件分别是什么？对于空间向量是不是也有类似结论？
提示：；.对于空间向量也有类似结论.
［知识梳理］
设向量，.
（1）当时，，使得
（2）当与三个坐标平面都不平行（即）时，.
（3）当，时， _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
［例1］ 已知空间三点，，，设，.
（1） 设向量，，，试判断与是否平行？
（2） 若与互相垂直，求.
【答案】（1） 【解】 因为，，所以，又，，，所以，所以.
（2） 因为，，所以，.又因为，所以，即.解得 或.
（1）判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程（组）求解.
（2）利用向量证明直线平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明.
［跟踪训练1］．
（1） 设,，向量，,,且,,则（ ）
A. B. C. 2 D. 8
（2） 已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，，，若，则
A. B. C. D.
【答案】（1） B
（2） C
【解析】
（1） 选.因为，所以，解得，由 可知，，解得，所以.
（2） 选.如图，以 为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.
则，，，，，,1,, ,,,,1,,
因为，所以，解得.
三 空间向量长度与夹角的坐标表示
思考．设平面向量，，如何求两者的夹角？对于空间向量也有类似结论吗？
提示：先求，，再利用夹角公式,，最后利用三角函数值求出夹角.对于空间向量也有类似结论.
［知识梳理］
1．空间向量的模与夹角
设,,则
类别 满足条件
向量表示形式 坐标表示形式
模 ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
夹角 ,, ,②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
【答案】；
2．空间两点间的距离
已知点,，则,,两点间的距离③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
［例2］ 如图所示，在直三棱柱中，，， ，点是线段的中点.
（1） 求；
（2） 求,的值.
【答案】
［例2］ 【解】 以 为原点，以，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，.
（1） ，则.
（2） ，，则,,.所以,.
母题探究．本例条件不变，求的面积.
解：同例题解法建立空间直角坐标系（图略）.可得,，，则，
，，，所以，，所以，.故 的面积为.
利用空间向量的坐标运算求解夹角、距离问题的步骤:
（1）根据几何图形的特点建立恰当的空间直角坐标系；
（2）利用题设条件写出相关点的坐标，进而求得相关向量的坐标；
（3）利用空间向量的夹角公式和模的公式求解.
［跟踪训练2］．如图所示，在棱长为1的正方体中，点，分别为线段，的中点，点在棱上，且，为线段的中点.
（1） 求,的值；
（2） 求的长.
【答案】
［跟踪训练2］ 解：以 为原点，以，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示.则,0,,,,,,,,.
（1） 由题意，，，，则，，，，则.又，所以,.
（2） 由题意，，，，则，，，所以，即 的长为.
四 空间向量坐标运算的综合应用
［例3］ 如图，在直三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，，.
（1） 求，的值；
（2） 求证：在线段上存在点，
使得，并求的值.
【答案】
（1） 【解】由题意，，，，所以，所以，又 平面，直线，，两两垂直，以 为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，则,,,.所以，，，，，
所以,.
（2） 设 是线段 上一点，且,由（1）知，,,.所以，可得 所以,由，得，解得,所以在线段 上存在点，使得，此时.
利用空间向量求解探索性问题，要根据点的某一条件设出点的坐标，然后列出坐标适合的方程（组）或不等式，将存在性问题转化为方程或不等式的求解问题.
［跟踪训练3］．如图，在四棱锥中， 底面，，，，，点为棱的中点.
（1） 证明：；
（2） 若为棱上一点，满足，求线段的长.
【答案】
（1） 解：证明：因为 底面，，所以直线，，两两垂直，所以以 为坐标原点，以，，所在直线分别为 轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示.由题意，，，，，，，所以，所以.
（2） 因为，，，由点 在棱 上，设,,所以,因为，所以,解得.所以，即线段 的长为.
拓视野 空间向量的推广与应用
从二维向量扩展到三维向量的过程中去感悟：向量能否进一步扩展到四维、五维甚至维的情况，以培养学生对未知世界探索的兴趣.
拓展结论：用元有序实数组表示维向量，它构成了维向量空间，.
对于维向量空间的向量也可以定义加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度（模）、两点间的“距离”等 .
设，，则
；
，；
；
.
维向量空间中，两点间的距离
.
［典例］ （多选）《易经》中的“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”充分体现了中国古典哲学与现代数学的关系，从直角坐标系中的原点，到数轴中的两个半轴（正半轴和负半轴），进而到平面直角坐标系中的四个象限和空间直角坐标系中的八个卦限，是由简单到复杂的变化过程.现将平面向量的运算推广到维向量，用有序数组表示维向量，已知维向量，，则（ ）
A. B.
C. , D. 存在，使得
【答案】BC
【解析】类比平面向量的运算，
，所以，错误；，正确；，,，正确；假设存在，使得，则有 且 ，此时 无解，错误.
对于维向量的有关问题，一般都会给出相关的性质或运算法则，只需借助这些性质或法则，用二维向量、三维向量的处理方法解决即可.
［练习］．在移动通信中，总是有很多用户希望能够同享一个发射媒介，进行无线通信，这种通信方式称为多址通信.多址通信的理论基础是：若用户之间的信号可以做到正交，这些用户就可以同享一个发射媒介.在维空间中，正交的定义是两个维向量,满足.已知某通信方式中用户的信号是4维非平行向量，有四个用户同享一个发射媒介，已知前三个用户的信号向量为,,,,0,.则一个满足条件的第四个用户的信号向量是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（答案不唯一）
【解析】设满足条件的第四个用户的信号向量是，
则
则 则,，
故满足条件的一个信号向量是.
课堂巩固 自测
1．（教材 改编）已知向量，，，则（ ）
A. 12 B. C. 9 D.
【答案】A
【解析】选.由题意，，则.
2．已知向量，，若，则（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】选.因为，，且，所以存在,使得，即，
所以 解得
即.
3．已知，，，若向量与垂直（为坐标原点），则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】，，，
所以，
因为向量 与 垂直，
所以，所以.
4．如图，在四棱锥中， 底面，底面是边长为2的菱形， ，为的中点，，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
（1） 求线段的长；
（2） 求与夹角的余弦值.
【答案】
（1） 解：在菱形 中， ，则 ，
易知 为等边三角形，则，
在等边三角形 中，为 的中点，则，，
在 中，，
易得，,
所以.
,
即.
（2） 由题易知，，，，则，，所以，，，
则,,即 与 夹角的余弦值为.
1.已学习：空间向量运算的坐标表示及应用.
2.须贯通：空间向量的坐标运算实际上是平面向量坐标运算的推广（在平面向量坐标的基础上增加了一个竖坐标），与平面向量的坐标运算相比，空间向量坐标运算的适用范围更广，它可以解决立体几何中的相关问题.
3.应注意：（1）两向量对应坐标的比相等是的充分不必要条件，而非充要条件;
（2）讨论向量夹角忽略向量共线的情况.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知向量,，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由,，可得,，所以.
2．已知向量，，且，则（ ）
A. B. 4 C. D. 8
【答案】A
【解析】选.因为，，所以，
因为,所以，，
所以.
3．[（2025·梅州期末）]在空间直角坐标系中，已知点,,，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.设，因为，所以，得 所以.
4．若空间向量，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标是（ ）
A. ,0, B. ,0,
C. ,0, D. ,0,
【答案】C
【解析】选.由于空间向量，，则向量 在向量 方向上的投影向量为,0,.
5．在空间中，若向量，，共面，则（ ）
A. 4 B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】选.由向量,,共面，有，即，
故 解得
6．[（2025·武汉期中）]（多选）在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C. 若，且，则
D. 若且，则
【答案】AC
【解析】选.由，，得，
对于，，正确；
对于，，错误；
对于，由，，得，解得，正确；
对于，由 且，得，无解，错误.
7．已知向量,,则与的夹角为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题知,，又， ，
所以, .
8．已知空间向量,,,,且与互相平行，则实数的值为_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】由条件可知，
因为 与 互相平行，所以存在，使得，
所以 解得
9．已知空间三点，，，在直线上有一点满足，则点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】,,
【解析】设，则，，.
由 可得，即，
因为，，共线，故存在实数 使得，即,
所以 解得
所以点 的坐标为,,.
10．[（2025·渭南期中）]（13分）已知空间三点,,.
（1） 求的面积；（6分）
（2） 若向量，且，求点的坐标.（7分）
【答案】
（1） 解：设向量,的夹角为 ，由空间三点,,，
可得，,
,
，
可得
，
因为 ，所以，
所以.
（2） 因为，所以，其中，因为，,,可得，
所以，于是 或，
即点 的坐标为 或.
B 能力提升
11．已知,，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.因为,，且 与 的夹角为钝角，则 且 与 不反向共线，因为，则，解得，若 与 反向共线，设，则 解得
综上可得 的取值范围是.
12．在空间直角坐标系中，已知,,，则三棱锥的体积为_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】由题意得，，所以，即，所以 的面积为，点，，都在平面 上，点 到平面 的距离为3，所以三棱锥 的体积为.
13．已知为坐标原点，向量,,，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】,,
【解析】因为点 在直线 上运动，则，存在实数，使得，则，因此，，，所以，则当 时，，此时，点,,，所以当 取得最小值时，点 的坐标为,,.
14．（13分）如图，三棱柱， 底面，底面中，， ，棱，，分别是，的中点.
（1） 求的模;（4分）
（2） 求，的值；（4分）
（3） 求证：.（5分）
【答案】
（1） 解：以 为坐标原点，，，的方向分别为 轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图.
由题意得，,,
故.
（2） 依题意得,,,,
故,,
则,，,所以，.
（3） 证明：,，，,，，，,
由于,
故.
C 素养拓展
15．（15分）在正四棱柱中，底面是边长为4的正方形，与交于点,与交于点，且.
（1） 用向量方法求的长；（7分）
（2） 对于个向量,, ,，如果存在不全为零的个实数,, ,，使得，则称个向量,, ,线性相关，否则称为线性无关.试判断,,是否线性相关.（8分）
【答案】
（1） 解：设 长为，以 为坐标原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，,4,,,,4,,,
由，故，
解得（负值已舍去），即 的长为.
（2） 由，故，，，
假设存在实数，，，使得 成立,
则有 解得
即当且仅当 时,,
所以，，线性无关.
阶段提升（五） 空间向量（范围：§1～§3）
题型一 空间向量的线性运算
1．在平行六面体中，，，，点在上，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选..
2．设{,,}为空间的一组基，若向量，则向量在基{,,}下的坐标为.若向量以{,,}为一组基时的坐标为，则在以{,,}为一组基时的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由题意得，则 在以{,,}为基时的坐标为.
3．已知，，点在线段上，且，则向量的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】,,
【解析】因为点 在线段 上，且，所以，
所以，
得，
因为，，
所以,,，所以,,,,.
4．如图，是三棱锥的底面的重心.若，则的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为 是三棱锥 的底面 的重心，所以，由向量加法法则得，所以，
所以
，
而，
所以，所以，，，则.
空间向量线性运算的几个关键点
（1）结合图形，明确图形中各线段的几何关系.
（2）正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义.
（3）平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间向量中仍然成立.
题型二 共线、共面定理的应用
［例1］
（1） [（2025·长沙期中）]已知非零向量，，且,,不共面，若，则（ ）
A. B. C. 8 D. 13
（2） 如图所示，若为平行四边形所在平面外的一点，为棱上的点，且，点在上，且，若，，，四点共面，则实数的值是_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2）
【解析】
（1） 因为，则存在，使得，即，
则 解得
所以.
（2） 根据题意可得,，又因为，，，四点共面，故，解得.
三点，，共线 空间四点，，，共面
对空间任一点， 对空间任一点，
对空间任一点， 对空间任一点，
［跟踪训练1］．
（1） 已知点，，，若，，三点共线，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
（2） 如图，在正四棱台中，，，，.直线与平面交于点，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 选.由题得，，因为，，三点共线，所以存在实数，使，所以，所以
解得 所以.
（2） 依题意，，，在正四棱台中，，
设，则，因为，，，四点共面，
所以，所以.
题型三 空间向量数量积的应用
［例2］ 已知空间三点，，.设，.
（1） 求，；
（2） 求与的夹角；
（3） 若向量与互相垂直，求实数的值.
【答案】
（1） 【解】 因为，，所以,
所以；
因为，，所以，
所以.
（2） 由（1）可知,，
又,，所以,，
即 与 的夹角为.
（3） 由（1）可知，，
又向量 与 互相垂直，
所以，所以，
即，
解得.
空间向量数量积的三个应用
求夹角 设向量,的夹角为，则,进而可求两异面直线所成的角
求长度（距离） 运用公式,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题
解决垂直问题 利用,可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题
［跟踪训练2］．已知向量，，.求：
（1） 的值；
（2） ,；
（3） 的最小值.
【答案】
（1） 解：因为，，所以，
又因为，
所以.
（2） 因为，，
所以,
.
（3） 因为，，
所以，
所以，当 时，取得最小值28，则 的最小值为.
阶段小测（五）
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．关于空间向量,，，下列运算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.根据空间向量数量积的运算律可知,，，均成立，即,,正确；为与 共线的向量，为与 共线的向量，所以 与 不一定相等，故 错误.
2．已知，，若，则（ ）
A. B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】选.向量，，由，得，所以.
3．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则下列向量与相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选..
4．已知空间向量，满足，，，则向量，的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由，，，可得，解得，所以，.
又因为,，所以,.
5．已知空间向量,,满足，，且，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为，所以，，所以，，所以，，所以.
6．如图，是棱长为1的正方体内部（含表面）一动点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.以 为坐标原点，，，所在的直线分别为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
设，则,,，则.故，当 时取到最大值.
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
7．给出下列命题，其中正确的有（ ）
A. 若非零空间向量，，满足，，则有
B. 若三个非零向量，，不能构成空间向量的一组基，则，，必定共面
C. 若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间向量的一组基，则，共线
D. 已知{,,}是空间向量的一组基，则{,,}也是空间向量的一组基
【答案】BCD
【解析】选.当非零空间向量，，时，满足，，但 与 不平行，错误；
三个非零向量，，不能构成空间向量的一组基，则它们必定共面，正确；
能构成空间向量的一组基的向量必须是不共面的三个向量，由于非零向量，与任何一个向量都不能构成空间向量的一组基，即向量，与任何一个向量均共面，则，共线，正确；
若，，共面，则，可知，，共面，与{,,}为空间向量的一组基相矛盾，故{,,}可以构成空间向量的一组基，正确.
8．如图，正方体的棱长为2，为正方形的中心，，分别为棱，的中点.下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D. 的面积为
【答案】ACD
【解析】选.以点 为坐标原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，.
对于，，，，
,，正确;
对于，，错误;
对于，，正确；
对于，因为，
则，
所以，，，
所以，正确.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中横线上.）
9．已知,,三点共线，则_ _ _ _ .
【答案】0
【解析】由题意可知，,，
由,,三点共线可知,所以
解得 即.
10．在空间直角坐标系中，向量满足，且与向量的夹角的余弦值为，请写出向量的一个坐标_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（答案不唯一，坐标满足即可）
【解析】设，
由
得
则向量 的一个坐标为.
11．在棱长为2的正四面体中，点满足，点满足，当，最短时，_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意可知， 平面， 直线，当，最短时， 平面，，所以 为 的中心，为 的中点，此时，
因为 平面， 平面，
所以，
所以
.
又，
所以
.
四、解答题（本题共3小题，共43分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
12．（本小题满分13分）已知空间中三点，，.
（1） 设，，求的坐标；（6分）
（2） 求的面积.（7分）
【答案】
（1） 解：由已知得，
因为，设，,所以，
解得，
所以 或.
（2） 由题可得，，
所以，
，
所以,，
又，，所以，
所以的面积,.
13．（本小题满分15分）如图，在四面体中，，且，，为的中点，点是线段上的动点（含端点）.
（1） 以,,}为空间向量的一组基表示；（6分）
（2） 求的最小值.（9分）
【答案】
（1） 解：由题意可得，
所以
.
（2） 设，因为
，
所以，
故当 时，取得最小值，最小值为.
14．（本小题满分15分）在正三棱柱中，和为正三角形，所有的棱长都是2，点是边的中点，则在棱上是否存在点，使得向量与向量的夹角为 ，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.
解：以点 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，，，，.又点 在棱 上，可设,则，，，,所以，，.则，，解得,这与矛盾.所以在棱上不存在点，使得向量与向量的夹角为 .
§4 向量在立体几何中的应用
4.1 直线的方向向量与平面的法向量
新课导入
油纸伞是世界上最早的雨伞，是中国古人智慧的结晶.油纸伞舞蹈表演，更是传承几百年，用来伴舞，美轮美奂.观众甲、乙两人在不同地方观察到舞台上方的一个彩灯，甲说彩灯在他的左上方，而乙为何却说彩灯在他的右上方？当伞柄的方向改变时，伞面的位置是否也在改变？
学习目标
1.会用向量语言描述直线和平面. 2.理解直线的方向向量和平面的法向量. 3.会求直线的方向向量和平面的法向量. 4.会应用平面的法向量解决一些简单的问题.
新知学习 探究
一 直线的方向向量
思考．在空间中，如何确定一条直线？
提示：两点确定一条直线；直线上一点及这条直线的方向向量也可以确定一条直线.
［知识梳理］
1．空间中点的位置向量
在空间中取一个定点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示，向量就是点的①_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】位置向量
2．直线的方向向量与直线的向量表示
（1）如图，设点，是直线上②_ _ _ _ _ _ 的任意两点，称为直线的方向向量.
（2）如图，已知点是直线上的一点，非零向量是直线的一个方向向量.那么对于直线上的任意一点，一定存在实数，使得.反之，由几何知识不难确定，满足上式的点一定在直线上.因此，我们把这个式子称为直线的向量表示.
【答案】不重合
［例1］ （对接教材例1）如图，在四棱锥中，底面为矩形， 平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求：
（1） 的坐标；
（2） 直线的一个方向向量.
【答案】
［例1］ 【解】 由题知，，，两两垂直，如图所示，以 为原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，,.
（1） 因为 为 的中点，所以 的坐标为，，（建系不同，坐标不同）
（2） ，，即为直线 的一个方向向量.（建系不同，坐标不同）
（1）直线的方向向量为非零向量.
（2）直线的方向向量有无数个，如果是直线的方向向量，则必是直线的方向向量.求一条直线的方向向量,可以在该直线上取两点,,则即为该直线的一个方向向量.
［跟踪训练1］．已知直线的一个方向向量，且直线过点和，则（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 3
【答案】D
【解析】选.因为直线 过点 和，所以，又直线 的一个方向向量，所以，所以存在实数，使得，所以，
所以 解得
所以.
二 直线的方向向量的应用
［例2］
（1） 已知在空间直角坐标系中，点，，为线段上一点，且，则点的坐标是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
（2） 在四面体中，点，分别为线段，的中点，若，且，，三点共线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） C
（2） B
【解析】
（1） 由题意得.因为 为线段 上一点，且，所以，所以，，.
（2） 若，，三点共线，则存在实数 ，使 成立，所以 解得 故.
（1）求空间点的坐标，一般要根据具体的题目条件恰当地设出点的坐标，根据向量式列出方程组，把向量运算转化为代数运算，解方程组可得点的坐标.
（2），，三点共线的两种充要条件
①存在实数,使得，即.
②存在有序实数对，使得（其中）.
［跟踪训练2］．已知空间三点,,，在直线上有一点满足，则点的坐标为（ ）
A. ，， B. ，，
C. D.
【答案】B
【解析】选.因为，点 在直线 上，所以可设，所以.又，所以，所以，即,所以，故点 的坐标为，，.
三 平面的法向量与平面的向量表示
思考1．过同一点的两个定方向可以确定一个平面吗？
提示：不一定，若两个定方向共线，则不能确定平面；若两个定方向不共线，则确定唯一平面.
思考2．一定点和一个定方向能确定一个平面吗？
提示：可以，过定点且垂直于定方向的平面是唯一确定的.
［知识梳理］
1．平面的法向量
如果一条直线与一个平面①_ _ ，那么就把直线的方向向量叫作平面 的②_ _ _ _ _ _ ,则 .
【答案】垂直； 法向量
2．平面的方程
设平面 内一点，平面 的一个法向量，则对于平面 内任意一点，有，则平面 的方程为③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
角度1 平面的法向量
［例3］ （对接教材例4）如图在长方体中，,,,.以为原点，,,所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
（1） 写出平面的一个法向量；
（2） 当时，写出平面的一个法向量.
【答案】（1） 【解】 因为 轴垂直于平面,所以 是平面 的一个法向量.
（2） 因为,,,，
所以，，.
因此,.
设 是平面 的法向量,则,.
所以
所以 取,则,.
于是 是平面 的一个法向量.
母题探究．若平面的一个法向量为，求 ,的值及点的坐标.
解：因为，,所以，所以，，.
又因为平面 的法向量，
所以
即 解得
所以，
即，故，,此时点 的坐标为.
角度2 平面的方程
［例4］ 在长方体中，，，，分别为线段，的中点，.以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.
（1） 求平面的方程；
（2） 若直线与平面交于点，求点的坐标.
【答案】
（1） 【解】 在给定的空间直角坐标系中，，，，，，，，.设平面 的一个法向量为,则
令,则,,即平面 的一个法向量为.设 是平面 内的任意一点，则.由 得,即.故平面 的方程为.
（2） 方法一：设点，则由点 平面 得.设，又，则,
所以 即 代入（*）式得,解得.所以 即点，，.
方法二： ，设,连接，（图略），则，所以点.将点 的坐标代入平面 的方程得,解得.故点 的坐标为，，.
（1）求平面法向量的方法与步骤
①求平面的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如，；
②设平面的法向量为；
③联立方程组并求解；
④所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数（常数不能为0）便可得到平面的一个法向量.
（2）判断点是否在一个平面内的方法
①利用平面的向量表示；②利用平面的方程.
（3）求平面 的方程的关键是确定平面 的法向量，然后利用可得；平面的方程是关于，，的三元一次方程，求平面内一点坐标可利用待定系数法列方法（组）求解.
［跟踪训练3］．
（1） 如图所示，长方体中，，分别为棱，的中点，直线与平面的交点为，则（ ）
A. B. C. D.
（2） [（2025·南阳期末）]已知是平面 的一个法向量，点,在平面 内，则_ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2） 9
【解析】
（1） 选.设,,,以 为坐标原点，以，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系（图略），则，,,,.所以,,.设 是平面 的一个法向量,则 即 取,则,,即.设点 是平面 内的任意一点，则,由 得,即为平面 的方程.设，即点.由点 平面 得,解得,所以，所以，于是.故选.
（2） 由题得，因为 是平面 的一个法向量，点，在平面 内，所以，所以，即，解得.
课堂巩固 自测
1．若点，在直线上，则直线的一个方向向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由题意可得，的方向向量与 平行，只有选项 满足题意.故选.
2．（多选）已知平面 内有一点，平面 的一个法向量为，则下列点中不在平面 内的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】选.对于，，，所以，又因为 平面 ，所以 平面 .
对于，，，所以 与 不垂直，又因为 平面 ，所以 平面 .
对于，，，所以 与 不垂直，又因为 平面 ，所以 平面 .
对于，，，所以 与 不垂直，又因为 平面 ，所以 平面 .故选.
3．若向量,都是直线的方向向量，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，都是直线 的方向向量，所以.因此，解得,，所以.
4．在中，，，，设是平面内任意一点.
（1） 求平面的一个法向量；
（2） 求平面的方程.
【答案】
（1） 解：设平面 的一个法向量为，因为，，
所以
令，则，.
所以平面 的一个法向量为.
（2） 因为点 是平面 内任意一点，所以，
又，
所以，
所以.
故平面 的方程为.
1.已学习：（1）空间中直线、平面的向量表示；
（2）直线的方向向量与平面的法向量.
2.须贯通：（1）利用待定系数法求平面的法向量；
（2）利用空间向量表示直线、平面，体现了数形结合的思想方法.
3.应注意：理解直线的方向向量和平面的法向量的不唯一性.
课后达标 检测
A 基础达标
1．若，在直线上，则直线的一个方向向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2．已知平面 以为法向量，且经过坐标原点和点，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】B
【解析】选.由题意知,则，解得.
3．已知向量,分别是直线,的方向向量，若,则（ ）
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】D
【解析】选.由题意可知,则,解得,.故选.
4．若是平面 的一个法向量，则下列向量也可以作为平面 的法向量的是（ ）
A. B. C. ,, D. ,,
【答案】D
【解析】选.因为法向量不是零向量，所以 不符合题意；因为，所以 不符合题意；因为，所以 不符合题意；因为,,，所以，所以,,也可以作为平面 的法向量，所以 符合题意.
5．在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.依题意，， ，则，所以点 的坐标满足的关系式是.
6．（多选）已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 是平面的一个法向量
D.
【答案】ABC
【解析】选.因为，，所以，，则，正确；又 与 不平行，所以 是平面 的一个法向量，则 正确；因为，，所以 与 不平行，故 错误.
7．[（2025·南阳期末）]已知的三个顶点分别为，，，则边上的中线的一个方向向量为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（答案不唯一）
【解析】由于 的三个顶点分别为，，，则 的中点坐标为,,，即.所以 边上的中线的一个方向向量为.
8．在空间直角坐标系中，已知向量，点，点.若平面 经过点，且以为法向量，是平面 内的任意一点，则点的坐标满足的关系式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意得，若平面 经过点，且以 为法向量，则，即点 的坐标满足的关系式为.
9．已知点，，，，，若在平面内存在点，使得 平面，则点的坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】，，
【解析】由已知，可得，，可设.又，所以.又 平面，
所以
即
解得，故，，，所以，，，故点 的坐标为，，.
10．（13分）已知点,在直线上.
（1） 求直线的一个方向向量；（6分）
（2） 判断点是否在直线上.（7分）
【答案】（1） 解：直线 的一个方向向量为.
（2） .设,即，所以 无解，即这样的 不存在，即向量 与 不共线.故点 不在直线 上.
B 能力提升
11．（多选）已知点，，，若且，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】选.因为，所以 或，设，则 或，即 或 解得 或 所以 或.
12．（多选）已知，分别是平面 ， 的法向量，则平面 ， 交线的方向向量可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】选.平面 ， 交线的方向向量应该与 和 同时垂直，对于，，错误；对于，，，正确；对于，，，正确；对于，，错误.
13．（13分）如图，在四棱锥中， 底面，， ，，，是线段的中点.求证： 平面.
证明：因为 底面，，所以，，两两垂直，以 为坐标原点，以，，所在直线分别为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，.连接，因为 ，所以 为正三角形.所以，，，，，.所以，，，，因为，，，所以，，，所以.又，，，，，所以.又，， 平面，故 平面.
14．（15分）已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，.
（1） 求证：是平面的法向量；（7分）
（2） 求平行四边形的面积.（8分）
【答案】
（1） 解：证明：，，
所以，.
又， 平面，，
所以

展开更多......

收起↑