资源简介

1.1 《探索勾股定理》（2）—北师大版数学八年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2021八上·高州月考）我国汉代的赵爽在注释《周髀算经》时给出了勾股定理的无字证明，人们称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”指的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八上·福田期中）如图所示，一棵大树在离地面米处断裂，断裂后树的顶部落在离底部米处．这棵大树在折断之前是　 　米．
3．（2023八上·太原期中）在学习勾股定理时，小明利用如图验证了勾股定理.若图中，，则阴影部分直角三角形的面积为（　　）
A．5 B．25 C． D．
4．（2021八上·薛城期中）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2022八上·河南开学考）利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为　 　，该定理的结论其数学表达式是　 　．
6．（2024八上·长春净月高新技术产业开发期末）人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有　 　．（直接填写图序号）
7．（2021八上·莲湖期中）做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，再做一个边长为c的正方形，把它们按如图的方式拼成正方形，请用这个图证明勾股定理．
8．（2021八上·郑州期末）如图，用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，直角边的长分别为a和b，斜边长为c.可选取若干直角三角形纸板拼图，并根据拼图验证勾股定理. 请画出一种示意图并写出验证过程.
二、能力提升
9．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的一条直角边长为5，大正方形的边长为13，则中间小正方形的面积是（　　）
A．144 B．49 C．64 D．25
10．（2023八上·滕州开学考）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为则小正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．
11．（2020八上·苏州期中）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在 中， ， ， ，若图中大正方形的面积为48，小正方形的面积为6，则 的值为（　　）
A．60 B．79 C．84 D．90
12．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册 第二章 特殊三角形 单元测试卷）历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（　　）
A．S△EDA=S△CEB
B．S△EDA+S△CEB=S△CDB
C．S四边形CDAE=S四边形CDEB
D．S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD
13．（2015八上·南山期末）如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB=10，EF=2，那么AH等于　 　
14．阅读下面的材料
勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形．
由图1可以得到（a+b）2=4×ab+c2，
整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2．
所以a2+b2=c2．
如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请
你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：
由图2可以得到　 　
整理，得　 　 ，
所以　 　
15．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现；当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，
则DF=EC=b﹣a．
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab．
又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）
∴b2+ab=c2+a（b﹣a）
∴a2+b2=c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．
求证：a2+b2=c2．
证明：连结　 　，
∵S多边形ACBED=　 　，
又∵S多边形ACBED=　 　，
∴　 　，
∴a2+b2=c2．
16．（2024八上·南宁期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．
（1）如图，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积．
方法：　 　；方法：　 　；根据以上信息，可以得到的等式是　 　；
（2）如图，大正方形是由四个边长分别为的直角三角形（为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到之间的数量关系；
（3）在（）的条件下，若，求斜边的值．
三、综合应用
17．（2019八上·洛川期中）数形结合是数学学习的一种重要思想方法，我们学习平方差公式、完全平方公式等公式时，课本上用图形面积法验证了公式的正确性。观察下列4个全等的Rt△。
（1）用4个全等的Rt△拼成如图1所示的大正方形，大正方形的面积可以表示为 ，还可以表示为　 　，所以 　 　，将 展开整理后，可进一步的得到等式：　 　.
（2）用4个全等的Rt△还可以拼成如图2所示的大正方形，请利用图2证明（1）中等式成立.
（3）若已知Rt△中， ，利用你得到的等式求 的值.
18．我们运用图（Ⅰ）中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c3+4（ab），即（a+b）2=c2+4（ab）由此推导出一个重要的结论a2+b2=c2，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”．这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．
（1）请你用图（Ⅱ）（2002年国际数学家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c）．
（2）请你用（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+2y）2=x2+4xy+4y2．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．
故答案为：A．
【分析】根据赵爽弦图的概念直接得出答案。
2．【答案】24
【知识点】风吹树折模型
【解析】【解答】解：如图所示：根据题意可知米，米，
根据勾股定理得．
所以树折断前有（米）．
故答案为：．
【分析】根据勾股定理可得AB，再根据边之间的关系即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】根据勾股定理可得：c=，
∴阴影部分的面积=×c×c=，
故答案为：D.
【分析】先利用勾股定理求出c的值，再利用三角形的面积公式求解即可.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解： A、两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a，下第为b，高为(a+b)的梯形面积，故 ，整理得： ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积，故 ，整理得： ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积， ，整理得： ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、四个小图形面积和等于大正方形面积， ，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】先表示出各部分的面积，再判断即可。
5．【答案】勾股定理；c2=a2+b2
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：如图2，正方形的面积=（a+b）2，
用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×ab+c2，
即（a+b）2=4×ab+c2化简得a2+b2=c2．
这个定理称为：勾股定理．
故答案为：勾股定理，a2+b2=c2
【分析】根据边长为a+b正方形的面积=四个直角三角形的面积+边长为c的正方形的面积，可求出a2+b2=c2．
6．【答案】③④
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：①长方形的面积：，
②，
③，
整理，得，
④，
整理，得，
故答案为：③④．
【分析】根据勾股定理的证明方法求解。分别求出①②③④的面积，化简比较即可得．
7．【答案】证明：如图， ， ， ，
∵ ，即
∴ ，
∴ ．
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】对图形进行点标注，根据全等三角形的性质可得AE=BF=CG=DH=a，AH=DG=CF=BE=b，HE=EF=FG=GH=c，根据面积间的和差关系可得S正方形ABCD=4S△AEB+S正方形EFGH，然后结合正方形、三角形的面积公式进行证明.
8．【答案】解：拼图如下：
由图形可得，大正方形的边长为，面积为.
四个直角三角形的面积为：.
小正方形的边长为c，面积为.
由题意可得：.
化简可得.
（方法不唯一，合理即可）
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】拼成一个边长为（a+b）的正方形，根据正方形的面积=边长的×边长=边长为c的小正方形的面积+四个全等的直角三角形的面积，建立等式，整理即可.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：直角三角形的另一个直角边==12，
∴ 小正方形的边长=12-5=7，
∴ 中间小正方形的面积=72=49.
故答案为：49.
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的另一个直角边推出小正方形的边长，即可求得小正方形的面积.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，
∴小正方的边长a-b，a>b，
∵大正方的面积为129，
∴大正方形的面积=4×ab+（a-b)2=129，
解得：（a-b)2=81，
∵a>b，
∴a-b=9，
即小正方形的边长为9.
故答案为：C.
【分析】根据大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积；由图可知小正方形的边长=a-b，则小正方形的面积为（a-b)2.即大正方形的面积=4×ab+（a-b)2=129，结合ab=24即可求解。
11．【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】由图可知 ，
，
∴ ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】根据图形表示出小正方形的边长为（b-a），可得（b-a）2=6，再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出2ab，然后利用完全平方公式整理即可求解.
12．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵由S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD．
可知 ab+ c2+ ab= （a+b）2，
∴c2+2ab=a2+2ab+b2，整理得a2+b2=c2，
∴证明中用到的面积相等关系是：S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD．
故答案为：D
【分析】由图形的构成可知：直角三角形AED的面积+直角三角形BCE的面积+等腰直角三角形CED的面积=直角梯形ABCD的面积。
13．【答案】6
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵AB=10，EF=2，
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100﹣4=96，设AE为a，DE为b，即4× ab=96，
∴2ab=96，a2+b2=100，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，
∴a+b=14，
∵a﹣b=2，
解得：a=8，b=6，
∴AE=8，DE=6，
∴AH=8﹣2=6．
故答案为：6．
【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b=2，解得a，b的值代入即可．
14．【答案】4xab+(b-a)2=c2；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】
证明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b﹣a）2，
∴c2=4×ab+（b﹣a）2，
整理，得
2ab+b2﹣2ab+a2=c2，
∴c2=a2+b2．
故答案是：4xab+(b-a)2=c2；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2．
【分析】通过两个组合正方形的面积之间相等的关系即可证明勾股定理
15．【答案】BD，过点B作DE边上的高BF；S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab；S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a）；ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a）
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】证明：如图2，连结BD，过点B作DE边上的高BF
∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab
又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a）
∴ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a）
∴a2+b2=c2．
故答案为：BD，过点B作DE边上的高BF，S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），
ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a）．
【分析】首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，两种方法表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证．
16．【答案】（1）；；
（2）解：方法：，
方法：，
∴，
∴；
（3）解：把代入得，
，
∴．
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：（1）用方法一得到大正方形面积为：
用方法二得到大正方形面积为：
得到的等式为：，
故答案为：，，；
【分析】（1）从整体看得到大正方形的边长，进而得到其面积；然后从组成来看即可得到大正方形的面积为四部分面积之和，进而即可得到等式；
（2）分别从整体看和从组成来看得到大正方形的面积的两种表示方法，整理后即可求解；
（3）把相关数值代入（2）得到的等式即可求出c的值.
17．【答案】（1）；；
（2）解：大正方形的面积可以表示为 ，还可以表示为
∴
∴ 成立.
（3）解：把 代入
得：
∴
∴
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：（1）用4个全等的Rt△拼成如图1所示的大正方形，大正方形的面积可以表示为 ，还可以表示为 ，所以 ，将 展开整理后，可进一步的得到等式：
【分析】（1）根据大正方形的面积等于四个全等直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积即可得解；（2）根据大正方形的面积等于四个全等直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积即可得解；（3）将a，b的值代入得到的等式即可求解.
18．【答案】（1）解：
S阴影=4×ab，S阴影=c2﹣（a﹣b）2，
∴4×ab=c2﹣（a﹣b）2，即2ab=c2﹣a2+2ab﹣b2，
则a2+b2=c2；
（2）解：
如图所示，

大正方形的面积为x2+4y2+4xy，也可以为（x+2y）2，
则（x+2y）2=x2+4xy+4y2．
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）阴影部分面积由大正方形面积减去小正方形面积，也可以由四个直角三角形面积之和求出，两者相等即可得证；
（2）拼成如图所示图形，根据大正方形边长为x+2y，表示出正方形面积，再由两个小正方形与两个矩形面积之和求出，即可验证．
1 / 11.1 《探索勾股定理》（2）—北师大版数学八年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2021八上·高州月考）我国汉代的赵爽在注释《周髀算经》时给出了勾股定理的无字证明，人们称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”指的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．
故答案为：A．
【分析】根据赵爽弦图的概念直接得出答案。
2．（2024八上·福田期中）如图所示，一棵大树在离地面米处断裂，断裂后树的顶部落在离底部米处．这棵大树在折断之前是　 　米．
【答案】24
【知识点】风吹树折模型
【解析】【解答】解：如图所示：根据题意可知米，米，
根据勾股定理得．
所以树折断前有（米）．
故答案为：．
【分析】根据勾股定理可得AB，再根据边之间的关系即可求出答案.
3．（2023八上·太原期中）在学习勾股定理时，小明利用如图验证了勾股定理.若图中，，则阴影部分直角三角形的面积为（　　）
A．5 B．25 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】根据勾股定理可得：c=，
∴阴影部分的面积=×c×c=，
故答案为：D.
【分析】先利用勾股定理求出c的值，再利用三角形的面积公式求解即可.
4．（2021八上·薛城期中）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解： A、两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a，下第为b，高为(a+b)的梯形面积，故 ，整理得： ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积，故 ，整理得： ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积， ，整理得： ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、四个小图形面积和等于大正方形面积， ，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】先表示出各部分的面积，再判断即可。
5．（2022八上·河南开学考）利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为　 　，该定理的结论其数学表达式是　 　．
【答案】勾股定理；c2=a2+b2
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：如图2，正方形的面积=（a+b）2，
用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×ab+c2，
即（a+b）2=4×ab+c2化简得a2+b2=c2．
这个定理称为：勾股定理．
故答案为：勾股定理，a2+b2=c2
【分析】根据边长为a+b正方形的面积=四个直角三角形的面积+边长为c的正方形的面积，可求出a2+b2=c2．
6．（2024八上·长春净月高新技术产业开发期末）人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有　 　．（直接填写图序号）
【答案】③④
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：①长方形的面积：，
②，
③，
整理，得，
④，
整理，得，
故答案为：③④．
【分析】根据勾股定理的证明方法求解。分别求出①②③④的面积，化简比较即可得．
7．（2021八上·莲湖期中）做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，再做一个边长为c的正方形，把它们按如图的方式拼成正方形，请用这个图证明勾股定理．
【答案】证明：如图， ， ， ，
∵ ，即
∴ ，
∴ ．
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】对图形进行点标注，根据全等三角形的性质可得AE=BF=CG=DH=a，AH=DG=CF=BE=b，HE=EF=FG=GH=c，根据面积间的和差关系可得S正方形ABCD=4S△AEB+S正方形EFGH，然后结合正方形、三角形的面积公式进行证明.
8．（2021八上·郑州期末）如图，用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，直角边的长分别为a和b，斜边长为c.可选取若干直角三角形纸板拼图，并根据拼图验证勾股定理. 请画出一种示意图并写出验证过程.
【答案】解：拼图如下：
由图形可得，大正方形的边长为，面积为.
四个直角三角形的面积为：.
小正方形的边长为c，面积为.
由题意可得：.
化简可得.
（方法不唯一，合理即可）
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】拼成一个边长为（a+b）的正方形，根据正方形的面积=边长的×边长=边长为c的小正方形的面积+四个全等的直角三角形的面积，建立等式，整理即可.
二、能力提升
9．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的一条直角边长为5，大正方形的边长为13，则中间小正方形的面积是（　　）
A．144 B．49 C．64 D．25
【答案】B
【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：直角三角形的另一个直角边==12，
∴ 小正方形的边长=12-5=7，
∴ 中间小正方形的面积=72=49.
故答案为：49.
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的另一个直角边推出小正方形的边长，即可求得小正方形的面积.
10．（2023八上·滕州开学考）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为则小正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，
∴小正方的边长a-b，a>b，
∵大正方的面积为129，
∴大正方形的面积=4×ab+（a-b)2=129，
解得：（a-b)2=81，
∵a>b，
∴a-b=9，
即小正方形的边长为9.
故答案为：C.
【分析】根据大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积；由图可知小正方形的边长=a-b，则小正方形的面积为（a-b)2.即大正方形的面积=4×ab+（a-b)2=129，结合ab=24即可求解。
11．（2020八上·苏州期中）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在 中， ， ， ，若图中大正方形的面积为48，小正方形的面积为6，则 的值为（　　）
A．60 B．79 C．84 D．90
【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】由图可知 ，
，
∴ ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】根据图形表示出小正方形的边长为（b-a），可得（b-a）2=6，再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出2ab，然后利用完全平方公式整理即可求解.
12．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册 第二章 特殊三角形 单元测试卷）历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（　　）
A．S△EDA=S△CEB
B．S△EDA+S△CEB=S△CDB
C．S四边形CDAE=S四边形CDEB
D．S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵由S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD．
可知 ab+ c2+ ab= （a+b）2，
∴c2+2ab=a2+2ab+b2，整理得a2+b2=c2，
∴证明中用到的面积相等关系是：S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD．
故答案为：D
【分析】由图形的构成可知：直角三角形AED的面积+直角三角形BCE的面积+等腰直角三角形CED的面积=直角梯形ABCD的面积。
13．（2015八上·南山期末）如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB=10，EF=2，那么AH等于　 　
【答案】6
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵AB=10，EF=2，
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100﹣4=96，设AE为a，DE为b，即4× ab=96，
∴2ab=96，a2+b2=100，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，
∴a+b=14，
∵a﹣b=2，
解得：a=8，b=6，
∴AE=8，DE=6，
∴AH=8﹣2=6．
故答案为：6．
【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b=2，解得a，b的值代入即可．
14．阅读下面的材料
勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形．
由图1可以得到（a+b）2=4×ab+c2，
整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2．
所以a2+b2=c2．
如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请
你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：
由图2可以得到　 　
整理，得　 　 ，
所以　 　
【答案】4xab+(b-a)2=c2；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】
证明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b﹣a）2，
∴c2=4×ab+（b﹣a）2，
整理，得
2ab+b2﹣2ab+a2=c2，
∴c2=a2+b2．
故答案是：4xab+(b-a)2=c2；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2．
【分析】通过两个组合正方形的面积之间相等的关系即可证明勾股定理
15．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现；当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，
则DF=EC=b﹣a．
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab．
又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）
∴b2+ab=c2+a（b﹣a）
∴a2+b2=c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．
求证：a2+b2=c2．
证明：连结　 　，
∵S多边形ACBED=　 　，
又∵S多边形ACBED=　 　，
∴　 　，
∴a2+b2=c2．
【答案】BD，过点B作DE边上的高BF；S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab；S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a）；ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a）
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】证明：如图2，连结BD，过点B作DE边上的高BF
∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab
又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a）
∴ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a）
∴a2+b2=c2．
故答案为：BD，过点B作DE边上的高BF，S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），
ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a）．
【分析】首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，两种方法表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证．
16．（2024八上·南宁期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．
（1）如图，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积．
方法：　 　；方法：　 　；根据以上信息，可以得到的等式是　 　；
（2）如图，大正方形是由四个边长分别为的直角三角形（为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到之间的数量关系；
（3）在（）的条件下，若，求斜边的值．
【答案】（1）；；
（2）解：方法：，
方法：，
∴，
∴；
（3）解：把代入得，
，
∴．
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：（1）用方法一得到大正方形面积为：
用方法二得到大正方形面积为：
得到的等式为：，
故答案为：，，；
【分析】（1）从整体看得到大正方形的边长，进而得到其面积；然后从组成来看即可得到大正方形的面积为四部分面积之和，进而即可得到等式；
（2）分别从整体看和从组成来看得到大正方形的面积的两种表示方法，整理后即可求解；
（3）把相关数值代入（2）得到的等式即可求出c的值.
三、综合应用
17．（2019八上·洛川期中）数形结合是数学学习的一种重要思想方法，我们学习平方差公式、完全平方公式等公式时，课本上用图形面积法验证了公式的正确性。观察下列4个全等的Rt△。
（1）用4个全等的Rt△拼成如图1所示的大正方形，大正方形的面积可以表示为 ，还可以表示为　 　，所以 　 　，将 展开整理后，可进一步的得到等式：　 　.
（2）用4个全等的Rt△还可以拼成如图2所示的大正方形，请利用图2证明（1）中等式成立.
（3）若已知Rt△中， ，利用你得到的等式求 的值.
【答案】（1）；；
（2）解：大正方形的面积可以表示为 ，还可以表示为
∴
∴ 成立.
（3）解：把 代入
得：
∴
∴
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：（1）用4个全等的Rt△拼成如图1所示的大正方形，大正方形的面积可以表示为 ，还可以表示为 ，所以 ，将 展开整理后，可进一步的得到等式：
【分析】（1）根据大正方形的面积等于四个全等直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积即可得解；（2）根据大正方形的面积等于四个全等直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积即可得解；（3）将a，b的值代入得到的等式即可求解.
18．我们运用图（Ⅰ）中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c3+4（ab），即（a+b）2=c2+4（ab）由此推导出一个重要的结论a2+b2=c2，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”．这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．
（1）请你用图（Ⅱ）（2002年国际数学家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c）．
（2）请你用（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+2y）2=x2+4xy+4y2．
【答案】（1）解：
S阴影=4×ab，S阴影=c2﹣（a﹣b）2，
∴4×ab=c2﹣（a﹣b）2，即2ab=c2﹣a2+2ab﹣b2，
则a2+b2=c2；
（2）解：
如图所示，

大正方形的面积为x2+4y2+4xy，也可以为（x+2y）2，
则（x+2y）2=x2+4xy+4y2．
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）阴影部分面积由大正方形面积减去小正方形面积，也可以由四个直角三角形面积之和求出，两者相等即可得证；
（2）拼成如图所示图形，根据大正方形边长为x+2y，表示出正方形面积，再由两个小正方形与两个矩形面积之和求出，即可验证．
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