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1.2 《一定是直角三角形吗》—北师版数学八年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2025八下·饶平期末） 下列各组数是三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（　　）.
A．2， 4， 5 B．4， 5， 6
C．6， 8， 10 D．5， 9， 12
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】
解：A、，
∴
∴2，4，5三边不能构成直角三角形
故该选项错误；
B、
∴
∴4，5，6三边不能构成直角三角形
故该选项错误；
C、
∴
∴6，8，10三边可以构成直角三角形
故该选项正确；
D、
∴5，9，12三边不能构成直角三角形
故该选项错误；
故答案为：C .
【分析】
本题可根据勾股定理的逆定理，熟知勾股定理逆定理是解题关键.
勾股定理的逆定理：若一个三角形的三条边满足关系式(其中c为最长边)，则这个三角形是直角三角形；根据勾股定理逆定理对选项逐一判断即可得出答案.
2．（2025八下·江门期末）在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，则∠ABC的面积是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵AB=4， AC=3， BC=5，
∴32+42=52.
∴ABC是直角三角形，
∴ABC的面积是：×3×4=6.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理递定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，即可证明ABC是直角三角形，再利用面积公式计算即可解答.
3．（2024八下·东莞期中）下列各组数中，是勾股数的为（　　）
A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5
C．5，12，13 D．，，
【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、，不是勾股数，不符合题意；
B、三个数不是整数，不符合题意；
C、，三个数是勾股数，符合题意；
D、三个数不是整数，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项分析判断即可.
4．（2024八上·深圳期中）已知△中，、、分别是、、的对边，下列条件中不能判断△是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、由，得，
是直角三角形，故A不符合题意；
B、，
，
∵∠C是最大角，
不是直角三角形，故B符合题意；
C、，
，
，
∴，
，
是直角三角形，故C不符合题意；
D、设，，，
，
，
是直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】本题考查三角形内角和定理及勾股定理的逆定理的应用，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否等于即可判断是否为直角三角形.
5．（2017八上·高州月考）若一个三角形的三边满足 ，则这个三角形是　 　。
【答案】直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】由 得 ，三边符合勾股定理，
故该三角形是以边c为斜边的直角三角形。
【分析】将题意中式子变形得 c2 = a2+ b2，然后再根据勾股定理逆定理我们可得该三角形是直角三角形。类似于这种题，让我们判断一个三角形是什么形状的时候，我们在大脑里应该映射出直角三角形、等腰三角形、等边三角形这几种特殊的形状，然后再根据题意判断。
6．（2024八下·惠城月考）在中，若，则根据　 　可知　 　
【答案】勾股定理的逆定理；
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：152+82=225+64=289=172，
即AC2+BC2=AB2，
根据勾股定理的逆定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠ACB=90°.
故答案为：勾股定理的逆定理；90°.
【分析】根据勾股定理的逆定理可判断结论.
7．（2025八下·东莞期中）如图，王师傅在铁片中剪切下，且，，．
（1）求长；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：中，由勾股定理可得，
∴，
即的长为；
（2）解：在中，∵，，，
∴，
∴，
∴
∴，
即图中阴影部分的面积为．

【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理计算求解即可；
（2）利用勾股定理求出，再求出，最后根据三角形的面积公式计算求解即可。
（1）解：中，
根据勾股定理可得，
∴，
即的长为；
（2）解：在中，
∵，，，
∴，
∴，
∴
∴，
即图中阴影部分的面积为．
8．（2024八下·珠海期末）如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）利用勾股定理求出线段长： ， ， ， ；
（2）求证： ．
【答案】（1）
（2）解：连接，如图所示：
∵
∴
∴是直角三角形，
∴．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】解：（1），
，
故答案为：；
【分析】
本题主要考查勾股定理及其逆定理．
（1）以AB、AD、BC、CD为斜边构成直角三角形，利用勾股定理求出AB、AD、BC、CD的长度。
（2）连接，根据勾股定理求出BD，利用勾股定理逆定理证明∠BCD=90°．
（1）解：，
，
故答案为：；
（2）解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
二、能力应用
9．（2025八下·广州期中）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．
则当时，的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股数；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：从表中可知：依次为，，，，，，，，，，，即，
依次为，，，，，，即当时，，
依次为，，，，，，即当时，，
所以当时，．
故选：D．
【分析】结合表格中的数据找出规律求出a的值，再根据规律求出b和c，最后计算求解即可。
10．（2021八上·福田期末）下列条件：① ；② ；③ ；④ ，能判定 是直角三角形的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：① 即 ，△ABC是直角三角形，故①符合题意；
②∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=∠A ∠B，
∴∠A+∠B+∠A ∠B=180°，即∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，故②符合题意；
③∵ ，
设a= ，b= ，c= ，
则 ，
∴△ABC不是直角三角形，故③不合题意；
④∵ ，
∴∠C= ×180°=75°，故不是直角三角形；故④不合题意．
综上，正确的有①②，共2个，
故答案为：C．
【分析】根据三角形的内角和及勾股定理的逆定理逐项判断即可。
11．（2024八上·宝安期中）中，、、的对边分别是、、，下列条件不能判定是直角三角形的（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，，，能判定为直角三角形，∴A不符合题意；
B、∵，，，，，不是直角三角形，∴B符合题意；
C、，，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，∴C不符合题意；
D、设，则，，，是直角三角形，∴D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用三角形的内角和及勾股定理的逆定理逐项分析判断即可.
12．（2024八下·香洲期中）甲、乙两船从位于南北走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时15海里的速度向北偏东方向航行，乙船以每小时20海里的速度向另一方向航行，4小时后甲船到达C岛，乙船到达B岛，已知B、C两岛相距100海里，则乙船航行的方向为　 　．
【答案】南偏东
【知识点】勾股定理的逆定理；方位角
【解析】【解答】解：由题意可得：AC=15×4=60（海里），AB=20×4=80（海里）
∵BC=100
∴，
，
∴，
∴∠BAC=90°
∴180°-40°-90°=50°
乙船航行的方向是南偏东50°．
故答案为：南偏东50°．
【分析】
本题考查勾股定理的逆定理和方向角，熟知勾股定理逆定理是判断直角三角形的方法是解题关键.
勾股定理逆定理：如果一个三角形的三边满足关系式(c为最长边)，那么这个三角形为直角三角形；根据题意先求出AC，AB的长，再利用勾股定理的逆定理可知：△BAC是直角三角形，即∠BAC=90°，最后根据角的和差运算可知：180°-40°-90°=50°，即乙船航行的方向是南偏东50°，由此即可得出答案.
13．（2023八上·大埔期中）如图，在四边形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，则∠DAB的度数是　 　°．
【答案】135°
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，∴AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴设AB＝2x，则BC＝2x，CD=3x，DA=x，
∴AC2=AB2+BC2=(2x)2+(2x)2=8x2
又CD2-AD2=(3x)2-x2=8x2
∴AC2= CD2-AD2
∵AC2+AD2=CD2
∴ΔACD是直角三角形，
∴∠DAC=90°，
∴∠DAB=45°+90°=135°．
故答案是：135°.
【分析】先利用勾股定理的逆定理证出ΔACD是直角三角形，可得∠DAC=90°，再利用角的运算求出∠DAB=45°+90°=135°即可．
14．（2023八下·潮南月考）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则CD的长是　 　．
【答案】2.5
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵BC==，AB==5，AC==，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，
∴S△ABC=S△BCD+S△ACD=CD×2+CD×2=××，
解得CD=2.5.
故答案为：2.5.
【分析】利用勾股定理可得AC、BC、AB的值，结合勾股定理逆定理知△ABC为直角三角形，然后根据S△ABC=S△BCD+S△ACD以及三角形的面积公式就可求出CD的长.
15．（初中数学北师大版八年级上册1.2一定是直角三角形吗练习题）已知△ABC的三边长为a、b、c，满足a+b=10，ab=18，c=8，则此三角形为　 　三角形．
【答案】直角
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵a+b=10，ab=18，c=8，
∴（a+b）2﹣2ab
=100﹣36
=64，
c2=64，
∴a2+b2=c2，
∴此三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
【分析】对原式进行变形，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状．
16．（2025八下·江海期末）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°）．
（1）请求出BD的长度；
（2）根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准．
【答案】（1）解：在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45，
∴BD＝3，
答：BD的长度为3．
（2）解：该车符合安全标准，理由如下：
在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45，
在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，
即∠BCD＝90°，
∴BC⊥CD，
∴该车符合安全标准．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】(1)由勾股定理求出BD2=45，即可解答。
(2)由勾股定理求出BD2=45，再证BC2+CD2=BD2，然后由勾股定理的逆定理得△BCD是直角三角形，
∠BCD=90°，即可得出结论。
三、综合拓展
17．（2024·英德模拟）综合与实践
主题：检测雕塑(下图)底座正面的边和边是否分别垂直于底边．
素材：一个雕塑，一把卷尺．
步骤1：利用卷尺测量边，边和底边的长度，并测量出点之间的距离；
步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边．
解决问题：
（1）通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？
（2）如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有办法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明．
【答案】（1）解：垂直，理由为：
在中，因为，，，
所以，
，
所以，
所以
（2）能，
证明：在边上量一小段，
在边上量一小段，，
这时只要量一下是否等于即可
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理可证得，由此可证得结论.
（2）在边上量一小段，在边上量一小段，利用勾股定理的逆定理证明即可.
18．（2024八下·赤坎期中）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点是自来水管的位置，点和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，、两处相距6米，两处相距8米，两处相距10米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案：
八（1）班方案：沿线段铺设2段水管；
八（2）班方案：过点作于点，沿线段铺设3段水管；
（1）求证：；
（2）从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？
【答案】（1）证明：由题意得，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴.
（2）解：从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案，
理由如下：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴八（1）班方案中水管的长度小于八（2）班方案中水管的长度，
∴从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，且，即可证出；
（2）先利用等面积法求出CD的长，再利用线段的和差求出，最后比较大小即可.
19．阅读理解并解答问题
如果a、b、c为正整数，且满足a2+b2=c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数．
（1）请你根据勾股数的意思，说明为什么3、4、5是一组勾股数；
（2）写出一组不同于3、4、5的勾股数；
（3）如果m表示大于1的整数，且a=2m，b=m2﹣1，c=m2+1，请你根据勾股数的意思，说明a、b、c为勾股数．
【答案】解：（1）∵3、4、5是正整数，且32+42=52，
∴3、4、5是一组勾股数；
（2）∵122+162=202，且12，16，20都是正整数，
∴一组勾股数可以是12，16，20．答案不唯一；
（3）∵m表示大于1的整数，
∴由a=2m，b=m2﹣1，c=m2+1得到a、b、c均为正整数；
又∵a2+b2=（2m）2+（m2﹣1）2=4m2+m4﹣2m2+1=m4+2m2+1，而c2=（m2+1）2=m4+2m2+1，
∴a2+b2=c2，
∴a、b、c为勾股数．
【知识点】勾股数
【解析】【分析】（1）直接利用勾股数的定义去验证即可；
（2）根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，即可写出一组勾股数；
（3）得到a2+b2=c2即可得到这是一组勾股数．
1 / 11.2 《一定是直角三角形吗》—北师版数学八年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2025八下·饶平期末） 下列各组数是三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（　　）.
A．2， 4， 5 B．4， 5， 6
C．6， 8， 10 D．5， 9， 12
2．（2025八下·江门期末）在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，则∠ABC的面积是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2024八下·东莞期中）下列各组数中，是勾股数的为（　　）
A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5
C．5，12，13 D．，，
4．（2024八上·深圳期中）已知△中，、、分别是、、的对边，下列条件中不能判断△是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2017八上·高州月考）若一个三角形的三边满足 ，则这个三角形是　 　。
6．（2024八下·惠城月考）在中，若，则根据　 　可知　 　
7．（2025八下·东莞期中）如图，王师傅在铁片中剪切下，且，，．
（1）求长；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
8．（2024八下·珠海期末）如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）利用勾股定理求出线段长： ， ， ， ；
（2）求证： ．
二、能力应用
9．（2025八下·广州期中）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．
则当时，的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2021八上·福田期末）下列条件：① ；② ；③ ；④ ，能判定 是直角三角形的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．（2024八上·宝安期中）中，、、的对边分别是、、，下列条件不能判定是直角三角形的（　　）
A． B．
C． D．
12．（2024八下·香洲期中）甲、乙两船从位于南北走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时15海里的速度向北偏东方向航行，乙船以每小时20海里的速度向另一方向航行，4小时后甲船到达C岛，乙船到达B岛，已知B、C两岛相距100海里，则乙船航行的方向为　 　．
13．（2023八上·大埔期中）如图，在四边形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，则∠DAB的度数是　 　°．
14．（2023八下·潮南月考）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则CD的长是　 　．
15．（初中数学北师大版八年级上册1.2一定是直角三角形吗练习题）已知△ABC的三边长为a、b、c，满足a+b=10，ab=18，c=8，则此三角形为　 　三角形．
16．（2025八下·江海期末）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°）．
（1）请求出BD的长度；
（2）根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准．
三、综合拓展
17．（2024·英德模拟）综合与实践
主题：检测雕塑(下图)底座正面的边和边是否分别垂直于底边．
素材：一个雕塑，一把卷尺．
步骤1：利用卷尺测量边，边和底边的长度，并测量出点之间的距离；
步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边．
解决问题：
（1）通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？
（2）如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有办法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明．
18．（2024八下·赤坎期中）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点是自来水管的位置，点和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，、两处相距6米，两处相距8米，两处相距10米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案：
八（1）班方案：沿线段铺设2段水管；
八（2）班方案：过点作于点，沿线段铺设3段水管；
（1）求证：；
（2）从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？
19．阅读理解并解答问题
如果a、b、c为正整数，且满足a2+b2=c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数．
（1）请你根据勾股数的意思，说明为什么3、4、5是一组勾股数；
（2）写出一组不同于3、4、5的勾股数；
（3）如果m表示大于1的整数，且a=2m，b=m2﹣1，c=m2+1，请你根据勾股数的意思，说明a、b、c为勾股数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】
解：A、，
∴
∴2，4，5三边不能构成直角三角形
故该选项错误；
B、
∴
∴4，5，6三边不能构成直角三角形
故该选项错误；
C、
∴
∴6，8，10三边可以构成直角三角形
故该选项正确；
D、
∴5，9，12三边不能构成直角三角形
故该选项错误；
故答案为：C .
【分析】
本题可根据勾股定理的逆定理，熟知勾股定理逆定理是解题关键.
勾股定理的逆定理：若一个三角形的三条边满足关系式(其中c为最长边)，则这个三角形是直角三角形；根据勾股定理逆定理对选项逐一判断即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵AB=4， AC=3， BC=5，
∴32+42=52.
∴ABC是直角三角形，
∴ABC的面积是：×3×4=6.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理递定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，即可证明ABC是直角三角形，再利用面积公式计算即可解答.
3．【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、，不是勾股数，不符合题意；
B、三个数不是整数，不符合题意；
C、，三个数是勾股数，符合题意；
D、三个数不是整数，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项分析判断即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、由，得，
是直角三角形，故A不符合题意；
B、，
，
∵∠C是最大角，
不是直角三角形，故B符合题意；
C、，
，
，
∴，
，
是直角三角形，故C不符合题意；
D、设，，，
，
，
是直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】本题考查三角形内角和定理及勾股定理的逆定理的应用，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否等于即可判断是否为直角三角形.
5．【答案】直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】由 得 ，三边符合勾股定理，
故该三角形是以边c为斜边的直角三角形。
【分析】将题意中式子变形得 c2 = a2+ b2，然后再根据勾股定理逆定理我们可得该三角形是直角三角形。类似于这种题，让我们判断一个三角形是什么形状的时候，我们在大脑里应该映射出直角三角形、等腰三角形、等边三角形这几种特殊的形状，然后再根据题意判断。
6．【答案】勾股定理的逆定理；
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：152+82=225+64=289=172，
即AC2+BC2=AB2，
根据勾股定理的逆定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠ACB=90°.
故答案为：勾股定理的逆定理；90°.
【分析】根据勾股定理的逆定理可判断结论.
7．【答案】（1）解：中，由勾股定理可得，
∴，
即的长为；
（2）解：在中，∵，，，
∴，
∴，
∴
∴，
即图中阴影部分的面积为．

【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理计算求解即可；
（2）利用勾股定理求出，再求出，最后根据三角形的面积公式计算求解即可。
（1）解：中，
根据勾股定理可得，
∴，
即的长为；
（2）解：在中，
∵，，，
∴，
∴，
∴
∴，
即图中阴影部分的面积为．
8．【答案】（1）
（2）解：连接，如图所示：
∵
∴
∴是直角三角形，
∴．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】解：（1），
，
故答案为：；
【分析】
本题主要考查勾股定理及其逆定理．
（1）以AB、AD、BC、CD为斜边构成直角三角形，利用勾股定理求出AB、AD、BC、CD的长度。
（2）连接，根据勾股定理求出BD，利用勾股定理逆定理证明∠BCD=90°．
（1）解：，
，
故答案为：；
（2）解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
9．【答案】D
【知识点】勾股数；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：从表中可知：依次为，，，，，，，，，，，即，
依次为，，，，，，即当时，，
依次为，，，，，，即当时，，
所以当时，．
故选：D．
【分析】结合表格中的数据找出规律求出a的值，再根据规律求出b和c，最后计算求解即可。
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：① 即 ，△ABC是直角三角形，故①符合题意；
②∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=∠A ∠B，
∴∠A+∠B+∠A ∠B=180°，即∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，故②符合题意；
③∵ ，
设a= ，b= ，c= ，
则 ，
∴△ABC不是直角三角形，故③不合题意；
④∵ ，
∴∠C= ×180°=75°，故不是直角三角形；故④不合题意．
综上，正确的有①②，共2个，
故答案为：C．
【分析】根据三角形的内角和及勾股定理的逆定理逐项判断即可。
11．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，，，能判定为直角三角形，∴A不符合题意；
B、∵，，，，，不是直角三角形，∴B符合题意；
C、，，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，∴C不符合题意；
D、设，则，，，是直角三角形，∴D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用三角形的内角和及勾股定理的逆定理逐项分析判断即可.
12．【答案】南偏东
【知识点】勾股定理的逆定理；方位角
【解析】【解答】解：由题意可得：AC=15×4=60（海里），AB=20×4=80（海里）
∵BC=100
∴，
，
∴，
∴∠BAC=90°
∴180°-40°-90°=50°
乙船航行的方向是南偏东50°．
故答案为：南偏东50°．
【分析】
本题考查勾股定理的逆定理和方向角，熟知勾股定理逆定理是判断直角三角形的方法是解题关键.
勾股定理逆定理：如果一个三角形的三边满足关系式(c为最长边)，那么这个三角形为直角三角形；根据题意先求出AC，AB的长，再利用勾股定理的逆定理可知：△BAC是直角三角形，即∠BAC=90°，最后根据角的和差运算可知：180°-40°-90°=50°，即乙船航行的方向是南偏东50°，由此即可得出答案.
13．【答案】135°
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，∴AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴设AB＝2x，则BC＝2x，CD=3x，DA=x，
∴AC2=AB2+BC2=(2x)2+(2x)2=8x2
又CD2-AD2=(3x)2-x2=8x2
∴AC2= CD2-AD2
∵AC2+AD2=CD2
∴ΔACD是直角三角形，
∴∠DAC=90°，
∴∠DAB=45°+90°=135°．
故答案是：135°.
【分析】先利用勾股定理的逆定理证出ΔACD是直角三角形，可得∠DAC=90°，再利用角的运算求出∠DAB=45°+90°=135°即可．
14．【答案】2.5
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵BC==，AB==5，AC==，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，
∴S△ABC=S△BCD+S△ACD=CD×2+CD×2=××，
解得CD=2.5.
故答案为：2.5.
【分析】利用勾股定理可得AC、BC、AB的值，结合勾股定理逆定理知△ABC为直角三角形，然后根据S△ABC=S△BCD+S△ACD以及三角形的面积公式就可求出CD的长.
15．【答案】直角
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵a+b=10，ab=18，c=8，
∴（a+b）2﹣2ab
=100﹣36
=64，
c2=64，
∴a2+b2=c2，
∴此三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
【分析】对原式进行变形，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状．
16．【答案】（1）解：在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45，
∴BD＝3，
答：BD的长度为3．
（2）解：该车符合安全标准，理由如下：
在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45，
在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，
即∠BCD＝90°，
∴BC⊥CD，
∴该车符合安全标准．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】(1)由勾股定理求出BD2=45，即可解答。
(2)由勾股定理求出BD2=45，再证BC2+CD2=BD2，然后由勾股定理的逆定理得△BCD是直角三角形，
∠BCD=90°，即可得出结论。
17．【答案】（1）解：垂直，理由为：
在中，因为，，，
所以，
，
所以，
所以
（2）能，
证明：在边上量一小段，
在边上量一小段，，
这时只要量一下是否等于即可
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理可证得，由此可证得结论.
（2）在边上量一小段，在边上量一小段，利用勾股定理的逆定理证明即可.
18．【答案】（1）证明：由题意得，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴.
（2）解：从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案，
理由如下：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴八（1）班方案中水管的长度小于八（2）班方案中水管的长度，
∴从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，且，即可证出；
（2）先利用等面积法求出CD的长，再利用线段的和差求出，最后比较大小即可.
19．【答案】解：（1）∵3、4、5是正整数，且32+42=52，
∴3、4、5是一组勾股数；
（2）∵122+162=202，且12，16，20都是正整数，
∴一组勾股数可以是12，16，20．答案不唯一；
（3）∵m表示大于1的整数，
∴由a=2m，b=m2﹣1，c=m2+1得到a、b、c均为正整数；
又∵a2+b2=（2m）2+（m2﹣1）2=4m2+m4﹣2m2+1=m4+2m2+1，而c2=（m2+1）2=m4+2m2+1，
∴a2+b2=c2，
∴a、b、c为勾股数．
【知识点】勾股数
【解析】【分析】（1）直接利用勾股数的定义去验证即可；
（2）根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，即可写出一组勾股数；
（3）得到a2+b2=c2即可得到这是一组勾股数．
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