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1.3 《勾股定理的应用》（1）—北师版数学八年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2024八上·四川期中）一架长的梯子，如图那样斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么他的底部滑行了（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·西山期中）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面面处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 处， 旗杆折断之前的高度是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·天河期中）一个台阶如图，阶梯每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点最短路程是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·椒江期末）如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为1.5米，梯子顶端到地面距离为2米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面距离为2.4米，则小巷的宽度为（　　）
A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米
5．（2024八下·丹阳期中）如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离处5米的绿地旁边处有健身器材，为保护绿地，不直接穿过绿地从到，而是沿小道从，这样多走了　 　米．
6．（2025八下·梓潼期中）如图，一个游泳爱好者，要横跨一条宽 的河流，由于水流速度的原因，这位游泳爱好者向下游偏离了，这位游泳爱好者在横跨河流时的实际游泳距离为　 　米．
7．（2024八下·南昌期中）为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的四边形空地ABCD内进行绿化改造，∠A＝90°，AB＝12m，AD＝9m，BC＝17m，CD＝8m．
（1）若要在B，D两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为120元/m；最低花费为多少元？
（2）如果种植草皮的费用是200元/m2，那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元？
二、能力提升
8．（2025八下·广元期中）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以20米/秒的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（　　）
A．16秒 B．18秒 C．20秒 D．22秒
9．（2023九上·青秀月考）如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（　　）
A．1米 B．米 C．2米 D．4米
10．（2024八下·武昌期中）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（　　）
A．（x﹣1）2+52＝x2 B．x2+102＝（x+1）2
C．（x﹣1）2+102＝x2 D．x2+52＝（x+1）2
11．如图 ， 为矩形 的边 上一点， 将矩形沿 折叠， 使点 恰好落在 上的点 处． 若 ， 则 的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
12．如图， 在矩形纸片 中， ， 折叠纸片，使 边与对角线 重合， 点 落在点 处，折痕为 ， 若 ， 则 的长为　 　.
13．如图， 在矩形 中， ， 将 沿 翻折得到 交 于点 ， 则 　 　
14．（2025八下·龙湖期中）2025年1月1日，汕头市区春节烟火晚会精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“粤东之城，蛇年呈祥”的美好图景．如图，东海岸道路上有A、B两个出口，相距250米，在公路北面不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C与A的距离为150米，与B的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点C周围半径130米范围内不得进入．
（1）烟花燃放点C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）烟花燃放过程中，按照安全要求，A、B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长．
15．（2024七上·宁阳期末）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为．
（1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？
（2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？
16．（2024八下·滑县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
三、综合拓展
17．
（1）问题背景在△ABC 中，AB，BC，AC 三边的长分别为 求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示.这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积.
请你将△ABC 的面积直接填写在横线上：　 　.
（2）思维拓展我们把上述求△ABC 面积的方法叫作构图法，若△ABC 三边的长分别为 请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积.
（3）探索创新若△ABC三边的长分别为 且m≠n)，试运用构图法求出这个三角形的面积.
18．（2023八下·忻州期末）阅读与思考
阅读下列材料并完成相应的任务．
我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在课本中我们已经了解到“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”． 以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法： 方法1：若m为奇数，则，和是勾股数． 方法2：若任取两个正整数m和，则，，是勾股数．
任务：
（1）在以上两种方法中任选一种，证明以a，b，c为边长的是直角三角形．
（2）学校园林设计师按照如图所示的方式摆放兰花，已知这四个直角三角形全等，且直角三角形的三边是勾股数，较短的直角边长为，要求在每个直角三角形的三个顶点处需要摆放一盆兰花，每个直角三角形的三条边间隔1米摆放一盆兰花，请你计算出总共需要的兰花数量．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：，，
∴，
∴，
设它的底部滑行了，则有，
∴，
解得：；
故选D．
【分析】根据勾股定理求出，设它的底部向外滑行，则有，然后根据勾股定理得到方程解题即可．
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；线段的和、差、倍、分的简单计算；风吹树折模型；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】解：由题得：
，
在直角三角形ABC中：∵
，
米，
旗杆折断之前的高度是18米；
故答案为：D．
【分析】
由旗杆垂直于地面可知， 利用勾股定理求出的长，再由旗杆折断之前的高度是求解即可．
3．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-台阶问题
【解析】【解答】解：如图所示：
台阶平面展开图为长方形，，，
蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．
，
故选：D．
【分析】先将图形平面展开，根据两点之间线段最短可知蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长，根据勾股定理求出AB即可．
4．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：∵，，，
∴在中，，
∴，
∵，，∴在中，，
∴，
故答案为：A．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，利用勾股定理得出长，然后在中，利用勾股定理求出长，最后可求得的长．
5．【答案】4
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：在中，为斜边，
米，
少走的距离为
（米），
故答案为：4．
【分析】在直角中，利用勾股定理求得长解答即可．
6．【答案】10
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：由题意得：∠ACB=90°，
∴在Rt△ABC中，，
∴，
故答案为：10．
【分析】
勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和=斜边的平方，根据勾股定理求解即可得出答案．
7．【答案】（1）解：如图，连接BD，
∵∠A＝90°，AB＝12m，AD＝9m，
∴BD＝＝＝15（m），
∴铺设这条鹅卵石路的最低花费为120×15＝1800（元）；
（2）解：∵CD＝8m，BC＝17m，BD＝15m，
∴CD2+BD2＝82+152＝289＝172＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴整块空地的面积为：，
∴整块空地上种植草皮共需投入114×200＝22800（元）．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1）连接BD，然后利用勾股定理先求BD，即可求解；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明∠BDC=90°，接下来利用三角形的面积公式求出整块空地的面积，最后再计算总费用即可．
8．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【解答】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB＝AD＝200米，
∵∠QON＝30°，OA＝240米，
∴AC＝120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB＝200米，
∵AB＝200米，AC＝120米，
∴由勾股定理得：BC＝160米，CD＝160米，即BD＝320米，
∵火车在铁路MN上沿ON方向以20米/秒的速度行驶，
∴影响时间应是：320÷20＝16秒．
故选A．
【分析】过点A作AC⊥ON，根据30°的直角三角形的性质求出AC的长，再点A作AD＝AB＝200m，根据勾股定理求出BD长，然后根据路程÷速度=时间计算解题．
9．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图，过点C作于点F，
∴米，
由题意得：米，
在中，由勾股定理得：（米），
∴（米），
∴木马上升的高度为1米，
故答案为：A．
【分析】过点C作于点F，先利用勾股定理求出AF的长，再利用线段的和差求出BF的长，从而可得答案.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设芦苇长为x尺，则水深（x-1）尺，
由题意得：（x-1）2+52=x2，
故答案为：A．
【分析】设芦苇长为x尺，利用勾股定理列方程解题即可．
11．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：由题意得：E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，可得BE=EF=1，CF=BC=3，∠EFC=∠B=，
ABCD为矩形，可得∠AED=∠CDF，
在△AED与△FDC中，
∵
∴，
∴ED=CD，
设CD的长为x，在Rt△EAD中，由勾股定理得，即，
解得x=5，
故选：B．
【分析】本题考查矩形的性质和翻折变换后的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质．先根据翻折变换的性质可得：EF=BE=1，BC=CF=AD=3，利用矩形的性质可得：∠AED=∠CDF，利用全等三角形的判定定理可证明△AED≌△FDC ，利用全等三角形的性质可得：ED=CD，设CD的长为x，利用勾股定理可列出方程，解方程可求出x的值，据此可求出CD的长．
12．【答案】6
【知识点】矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=8-3=5，
在Rt△CEF中，，
设AB=x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即
(x+4)2= x2+82，
解得x =6，
故答案为：6.
【分析】先根据矩形的性质求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长.
13．【答案】3
【知识点】勾股定理；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：由折叠的性质知△BCD≌△BED
∴∠DBC=∠DBE
∵AD||BC
∴∠ADB=∠DBC
∴∠ADB=∠DBE
∴FB=FD
设AF=x，则BF=DF=8-x，
在△ABF中，由勾股定理得，解得x=3，即AF=3；
答案：3
【分析】由折叠的性质知∠DBC=∠DBE，结合平行得∠ADB=∠DBC得∠ADB=∠DBE，设AF=x，则BF=8-x，由勾股定理得，求出x的值即可.
14．【答案】（1）（1）解：由题意得米，米，米，
如图，过C作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：（米），
答：烟花燃放点C距离公路的垂直距离为120米
（2）（2）解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下：
如图，由（1）可知，，
公路上存在两点E、F到的距离为130米，公路上之间到燃放点C的距离匀小于130米，
按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁，
以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，
，，
，
在中，，
，
即需要封锁的公路长为100米．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质及三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键；
（1）过C作，由勾股定理得逆定理得是直角三角形，所以，利用等面积法求解即可.
（2）过C作，以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，因为，所以判断有危险，在Rt△CDF中，根据勾股定理求出，进而求出即可．
（1）解：由题意得米，米，米，
如图，过C作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：（米），
答：烟花燃放点C距离公路的垂直距离为120米；
（2）解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下：
如图，由（1）可知，，
公路上存在两点E、F到的距离为130米，公路上之间到燃放点C的距离匀小于130米，
按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁，
以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，
，，
，
在中，，
，
即需要封锁的公路长为100米．
15．【答案】（1）解：由题意可知，
∵，
∴△ABD为直角三角形，
在中，
∵，，
∴，
∵，
∴台风中心经过从B点移到D点.
（2）解：如图所示，在射线上取点E、F，使得，
∵AE=AF，，
∴△AED为等腰三角形，，
在中，
∵Ae=200km，AD=160km，
∴，
∴，
∴h，
∴A市受到台风影响的时间持续．
【知识点】勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，再根据台风移动速度，即可求出时间；
（2）根据受台风影响的半径为200km，结合台风的运动路径，即可作图， 只需计算台风中心从 B 点出发到其影响范围首次触及 A 市的位置 E 和离开 A 市影响范围的位置 F 的时间差即可，先运用勾股定理求得，则即可求出=240km，继而可求出受台风影响的持续时间．
（1）解：由题意可知，，，，
在中，，
∵，
∴台风中心经过从B点移到D点；
（2）解：如图，在射线上取点E、F，使得，
由得，
在中，，
∴，
∴，
∴A市受到台风影响的时间持续．
16．【答案】解：在中，
，
设秋千的绳索长为，则，
故，
解得：，
答：绳索的长度是．
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】设秋千的绳索长为，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
17．【答案】（1）
（2）解：△ABC 如图所示(位置不唯一)，
（3）解：构造△ABC 如图所示，
=5mn.
【知识点】三角形的面积；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：（1）如图①， △ABC 的面积=；
故答案为：；
【分析】（1）根据网格，把要求三角形的面积，转化为正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可；
（2）首先根据勾股定理画出符合题意的三角形(位置不唯一，但是形状大小相同)，然后用构图法求出三角形的面积即可；
（3）如图，构建长为4n，宽为3m的矩形，然后根据勾股定理，画出 △ ABC，然后用构图法，利用矩形的面积减去直角三角形的面积即可求出△ ABC的面积。
18．【答案】（1）解：方法一：∵，
，
∴，，
，
∴a，b，c为边长的是直角三角形；
方法二：∵，，，
∴，，，
∴，
∴a，b，c为边长的是直角三角形
（2）解：∵这四个直角三角形全等，且直角三角形的三边是勾股数，较短的直角边长为，
∴直角三角形的三边长为，
∴正方形的边长为：，
正方形的边长为：，
∵在每个直角三角形的三个顶点处需要摆放一盆兰花，每个直角三角形的三条边间隔1米摆放一盆兰花，
∴正方形上摆放兰花的盆数为：（盆），
正方形上摆放兰花的盆数为：（盆），
∴总共需要的兰花数量为：（盆），
答：总共需要兰花盆．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行证明即可；
（2）根据勾股数的定义，先求出直角三角形的各边长，进一步求出正方形AHFD和正方形BCEF的边长，进一步计算出摆放的兰花盆数即可。
1 / 11.3 《勾股定理的应用》（1）—北师版数学八年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2024八上·四川期中）一架长的梯子，如图那样斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么他的底部滑行了（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：，，
∴，
∴，
设它的底部滑行了，则有，
∴，
解得：；
故选D．
【分析】根据勾股定理求出，设它的底部向外滑行，则有，然后根据勾股定理得到方程解题即可．
2．（2024八下·西山期中）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面面处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 处， 旗杆折断之前的高度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；线段的和、差、倍、分的简单计算；风吹树折模型；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】解：由题得：
，
在直角三角形ABC中：∵
，
米，
旗杆折断之前的高度是18米；
故答案为：D．
【分析】
由旗杆垂直于地面可知， 利用勾股定理求出的长，再由旗杆折断之前的高度是求解即可．
3．（2024八下·天河期中）一个台阶如图，阶梯每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点最短路程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-台阶问题
【解析】【解答】解：如图所示：
台阶平面展开图为长方形，，，
蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．
，
故选：D．
【分析】先将图形平面展开，根据两点之间线段最短可知蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长，根据勾股定理求出AB即可．
4．（2024八下·椒江期末）如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为1.5米，梯子顶端到地面距离为2米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面距离为2.4米，则小巷的宽度为（　　）
A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：∵，，，
∴在中，，
∴，
∵，，∴在中，，
∴，
故答案为：A．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，利用勾股定理得出长，然后在中，利用勾股定理求出长，最后可求得的长．
5．（2024八下·丹阳期中）如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离处5米的绿地旁边处有健身器材，为保护绿地，不直接穿过绿地从到，而是沿小道从，这样多走了　 　米．
【答案】4
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：在中，为斜边，
米，
少走的距离为
（米），
故答案为：4．
【分析】在直角中，利用勾股定理求得长解答即可．
6．（2025八下·梓潼期中）如图，一个游泳爱好者，要横跨一条宽 的河流，由于水流速度的原因，这位游泳爱好者向下游偏离了，这位游泳爱好者在横跨河流时的实际游泳距离为　 　米．
【答案】10
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：由题意得：∠ACB=90°，
∴在Rt△ABC中，，
∴，
故答案为：10．
【分析】
勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和=斜边的平方，根据勾股定理求解即可得出答案．
7．（2024八下·南昌期中）为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的四边形空地ABCD内进行绿化改造，∠A＝90°，AB＝12m，AD＝9m，BC＝17m，CD＝8m．
（1）若要在B，D两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为120元/m；最低花费为多少元？
（2）如果种植草皮的费用是200元/m2，那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元？
【答案】（1）解：如图，连接BD，
∵∠A＝90°，AB＝12m，AD＝9m，
∴BD＝＝＝15（m），
∴铺设这条鹅卵石路的最低花费为120×15＝1800（元）；
（2）解：∵CD＝8m，BC＝17m，BD＝15m，
∴CD2+BD2＝82+152＝289＝172＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴整块空地的面积为：，
∴整块空地上种植草皮共需投入114×200＝22800（元）．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1）连接BD，然后利用勾股定理先求BD，即可求解；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明∠BDC=90°，接下来利用三角形的面积公式求出整块空地的面积，最后再计算总费用即可．
二、能力提升
8．（2025八下·广元期中）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以20米/秒的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（　　）
A．16秒 B．18秒 C．20秒 D．22秒
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【解答】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB＝AD＝200米，
∵∠QON＝30°，OA＝240米，
∴AC＝120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB＝200米，
∵AB＝200米，AC＝120米，
∴由勾股定理得：BC＝160米，CD＝160米，即BD＝320米，
∵火车在铁路MN上沿ON方向以20米/秒的速度行驶，
∴影响时间应是：320÷20＝16秒．
故选A．
【分析】过点A作AC⊥ON，根据30°的直角三角形的性质求出AC的长，再点A作AD＝AB＝200m，根据勾股定理求出BD长，然后根据路程÷速度=时间计算解题．
9．（2023九上·青秀月考）如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（　　）
A．1米 B．米 C．2米 D．4米
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图，过点C作于点F，
∴米，
由题意得：米，
在中，由勾股定理得：（米），
∴（米），
∴木马上升的高度为1米，
故答案为：A．
【分析】过点C作于点F，先利用勾股定理求出AF的长，再利用线段的和差求出BF的长，从而可得答案.
10．（2024八下·武昌期中）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（　　）
A．（x﹣1）2+52＝x2 B．x2+102＝（x+1）2
C．（x﹣1）2+102＝x2 D．x2+52＝（x+1）2
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设芦苇长为x尺，则水深（x-1）尺，
由题意得：（x-1）2+52=x2，
故答案为：A．
【分析】设芦苇长为x尺，利用勾股定理列方程解题即可．
11．如图 ， 为矩形 的边 上一点， 将矩形沿 折叠， 使点 恰好落在 上的点 处． 若 ， 则 的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：由题意得：E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，可得BE=EF=1，CF=BC=3，∠EFC=∠B=，
ABCD为矩形，可得∠AED=∠CDF，
在△AED与△FDC中，
∵
∴，
∴ED=CD，
设CD的长为x，在Rt△EAD中，由勾股定理得，即，
解得x=5，
故选：B．
【分析】本题考查矩形的性质和翻折变换后的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质．先根据翻折变换的性质可得：EF=BE=1，BC=CF=AD=3，利用矩形的性质可得：∠AED=∠CDF，利用全等三角形的判定定理可证明△AED≌△FDC ，利用全等三角形的性质可得：ED=CD，设CD的长为x，利用勾股定理可列出方程，解方程可求出x的值，据此可求出CD的长．
12．如图， 在矩形纸片 中， ， 折叠纸片，使 边与对角线 重合， 点 落在点 处，折痕为 ， 若 ， 则 的长为　 　.
【答案】6
【知识点】矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=8-3=5，
在Rt△CEF中，，
设AB=x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即
(x+4)2= x2+82，
解得x =6，
故答案为：6.
【分析】先根据矩形的性质求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长.
13．如图， 在矩形 中， ， 将 沿 翻折得到 交 于点 ， 则 　 　
【答案】3
【知识点】勾股定理；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：由折叠的性质知△BCD≌△BED
∴∠DBC=∠DBE
∵AD||BC
∴∠ADB=∠DBC
∴∠ADB=∠DBE
∴FB=FD
设AF=x，则BF=DF=8-x，
在△ABF中，由勾股定理得，解得x=3，即AF=3；
答案：3
【分析】由折叠的性质知∠DBC=∠DBE，结合平行得∠ADB=∠DBC得∠ADB=∠DBE，设AF=x，则BF=8-x，由勾股定理得，求出x的值即可.
14．（2025八下·龙湖期中）2025年1月1日，汕头市区春节烟火晚会精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“粤东之城，蛇年呈祥”的美好图景．如图，东海岸道路上有A、B两个出口，相距250米，在公路北面不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C与A的距离为150米，与B的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点C周围半径130米范围内不得进入．
（1）烟花燃放点C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）烟花燃放过程中，按照安全要求，A、B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长．
【答案】（1）（1）解：由题意得米，米，米，
如图，过C作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：（米），
答：烟花燃放点C距离公路的垂直距离为120米
（2）（2）解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下：
如图，由（1）可知，，
公路上存在两点E、F到的距离为130米，公路上之间到燃放点C的距离匀小于130米，
按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁，
以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，
，，
，
在中，，
，
即需要封锁的公路长为100米．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质及三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键；
（1）过C作，由勾股定理得逆定理得是直角三角形，所以，利用等面积法求解即可.
（2）过C作，以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，因为，所以判断有危险，在Rt△CDF中，根据勾股定理求出，进而求出即可．
（1）解：由题意得米，米，米，
如图，过C作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：（米），
答：烟花燃放点C距离公路的垂直距离为120米；
（2）解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下：
如图，由（1）可知，，
公路上存在两点E、F到的距离为130米，公路上之间到燃放点C的距离匀小于130米，
按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁，
以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，
，，
，
在中，，
，
即需要封锁的公路长为100米．
15．（2024七上·宁阳期末）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为．
（1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？
（2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？
【答案】（1）解：由题意可知，
∵，
∴△ABD为直角三角形，
在中，
∵，，
∴，
∵，
∴台风中心经过从B点移到D点.
（2）解：如图所示，在射线上取点E、F，使得，
∵AE=AF，，
∴△AED为等腰三角形，，
在中，
∵Ae=200km，AD=160km，
∴，
∴，
∴h，
∴A市受到台风影响的时间持续．
【知识点】勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，再根据台风移动速度，即可求出时间；
（2）根据受台风影响的半径为200km，结合台风的运动路径，即可作图， 只需计算台风中心从 B 点出发到其影响范围首次触及 A 市的位置 E 和离开 A 市影响范围的位置 F 的时间差即可，先运用勾股定理求得，则即可求出=240km，继而可求出受台风影响的持续时间．
（1）解：由题意可知，，，，
在中，，
∵，
∴台风中心经过从B点移到D点；
（2）解：如图，在射线上取点E、F，使得，
由得，
在中，，
∴，
∴，
∴A市受到台风影响的时间持续．
16．（2024八下·滑县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
【答案】解：在中，
，
设秋千的绳索长为，则，
故，
解得：，
答：绳索的长度是．
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】设秋千的绳索长为，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
三、综合拓展
17．
（1）问题背景在△ABC 中，AB，BC，AC 三边的长分别为 求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示.这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积.
请你将△ABC 的面积直接填写在横线上：　 　.
（2）思维拓展我们把上述求△ABC 面积的方法叫作构图法，若△ABC 三边的长分别为 请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积.
（3）探索创新若△ABC三边的长分别为 且m≠n)，试运用构图法求出这个三角形的面积.
【答案】（1）
（2）解：△ABC 如图所示(位置不唯一)，
（3）解：构造△ABC 如图所示，
=5mn.
【知识点】三角形的面积；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：（1）如图①， △ABC 的面积=；
故答案为：；
【分析】（1）根据网格，把要求三角形的面积，转化为正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可；
（2）首先根据勾股定理画出符合题意的三角形(位置不唯一，但是形状大小相同)，然后用构图法求出三角形的面积即可；
（3）如图，构建长为4n，宽为3m的矩形，然后根据勾股定理，画出 △ ABC，然后用构图法，利用矩形的面积减去直角三角形的面积即可求出△ ABC的面积。
18．（2023八下·忻州期末）阅读与思考
阅读下列材料并完成相应的任务．
我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在课本中我们已经了解到“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”． 以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法： 方法1：若m为奇数，则，和是勾股数． 方法2：若任取两个正整数m和，则，，是勾股数．
任务：
（1）在以上两种方法中任选一种，证明以a，b，c为边长的是直角三角形．
（2）学校园林设计师按照如图所示的方式摆放兰花，已知这四个直角三角形全等，且直角三角形的三边是勾股数，较短的直角边长为，要求在每个直角三角形的三个顶点处需要摆放一盆兰花，每个直角三角形的三条边间隔1米摆放一盆兰花，请你计算出总共需要的兰花数量．
【答案】（1）解：方法一：∵，
，
∴，，
，
∴a，b，c为边长的是直角三角形；
方法二：∵，，，
∴，，，
∴，
∴a，b，c为边长的是直角三角形
（2）解：∵这四个直角三角形全等，且直角三角形的三边是勾股数，较短的直角边长为，
∴直角三角形的三边长为，
∴正方形的边长为：，
正方形的边长为：，
∵在每个直角三角形的三个顶点处需要摆放一盆兰花，每个直角三角形的三条边间隔1米摆放一盆兰花，
∴正方形上摆放兰花的盆数为：（盆），
正方形上摆放兰花的盆数为：（盆），
∴总共需要的兰花数量为：（盆），
答：总共需要兰花盆．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行证明即可；
（2）根据勾股数的定义，先求出直角三角形的各边长，进一步求出正方形AHFD和正方形BCEF的边长，进一步计算出摆放的兰花盆数即可。
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