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第一章 特殊平行四边形 单元测试·提升卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．如图，是菱形的对角线，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．距离不确定
3．如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（ ）
A． B． C． D．
4．下列条件中，能判定四边形是矩形的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且垂直
C．对角线互相平分且相等 D．对角线互相垂直且相等
5．如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．
6．如图，中，，，要判定四边形是菱形，还需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．平分
7．如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（ ）
A．28 B．30 C．32 D．34
8．如图，菱形的边长为，，，分别是，边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长是（ ）
A． B．2 C． D．
11．如图，在正方形中，，点在边上，与关于所在的直线对称，将绕点顺时针旋转得到，连接，则为（ ）
A． B．4 C． D．8
12．如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：；；；的最小值为3，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．如图，的对角线交于点O，只需添加一个条件即可证明是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
14．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，则CE的长为 ．
15．如图是一块菱形花坛，沿着它的对角线修建的两条小路的长分别为和，则这个菱形花坛的面积为 ．
16．如图，在菱形中，，E是上一点，M、N分别是的中点，且，则菱形的周长为 ．
17．如图，在矩形中，对角线交于点为上的点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在上，连接．若，则 ．
18．如图，在菱形ABCD中，，，点M为边中点，点E为菱形四条边上的一个动点，沿的方向运动，连接，以为边作直角三角形，其中，，在点E运动的过程中，线段长度的最大值为 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC．BD相交于点O，且O是BD的中点
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若，，求四边形ABCD的周长．
20．（8分）如图，在中，点为上一点，点为的中点，连结，过点作交的延长线于点，连结、．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，点是的中点，则四边形为______（直接写出四边形的形状）．
21．（8分）如图，将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，点F恰好落在的延长线上．

(1)证明：；
(2)证明：的延长线经过点B．
22．（8分）如图，已知矩形，，，点是边上一点，连接．
(1)在边上作出点，使得点到的距离等于线段的长度；（用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，设点到的垂线段为，连接，若点刚好是的中点，补全图形（无需尺规作图），并求此时的长度．
23．（10分）如图，在平行四边形中，点F在边上，，连接，点O为的中点，的延长线交边于点E，连接
(1)求证∶四边形是菱形；
(2)若平行四边形的周长为22，，，求的长．
24．（10分）如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，连接，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
25．（10分）如图，平行四边形中，，点是线段的中点，过点作交于点，的延长线交于点，且．
(1)如图，若，求的值；
(2)如图，连接，求证：；
(3)如图，延长交于点，求的值．
26．（10分）在菱形中，，点F、G分别是边上的动点（不与端点重合）
(1)连接，若，，请在图1中画图分析，直接写出的度数：______．
(2)若；
①如图2，连接、得，试判断的形状，并证明．
②如图3，点E是边上的动点，且，连接，点M是的中点，若，求的取值范围．中小学教育资源及组卷应用平台
第一章 特殊平行四边形 单元测试·提升卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．如图，是菱形的对角线，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的对角线平分每一组对角求解即可．
【详解】解：∵是菱形的对角线，，
∴，
故选：B．
2．如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．距离不确定
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．由直角三角形斜边中线的性质得到．
【详解】解：∵，
∴，
∵是斜边的中线，，
∴，
∴M，C两点间的距离为，
故选：B．
3．如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
由矩形得到，继而得到，而是等边三角形，因此得到．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
故选：C．
4．下列条件中，能判定四边形是矩形的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且垂直
C．对角线互相平分且相等 D．对角线互相垂直且相等
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的判定条件，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的判定条件． 根据矩形的判定即可得到结论．
【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项不能判定四边形是矩形；
B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故B选项不能判定四边形是矩形；
C、对角线相互平分且相等的四边形是矩形，故C选项能判定四边形是矩形；
D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，故D选项不能判定四边形是矩形；
故选：C．
5．如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】A
【分析】本题考查菱形的性质，中位线的性质，由相关定理确定线段间的数量关系是解题的关键．
由菱形性质，结合勾股定理求得，根据中位线定理求．
【详解】解：由菱形知，
∴，，，
∴，
∵点M为的中点，O为的中点，
∴；
故选：A．
6．如图，中，，，要判定四边形是菱形，还需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．平分
【答案】D
【分析】当平分时，四边形是菱形，可知先证明四边形是平行四边形，再证明BD=DE即可解决问题．
【详解】解：当平分时，四边形是菱形，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形．
故选：D．
【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
7．如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（ ）
A．28 B．30 C．32 D．34
【答案】A
【分析】本题考查矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，过点作于点H，由四边形是矩形，可得四边形是矩形，则， ，，再根据 平分和平分线得到，则，即可由，得到，根据中点得到，则，即可得到矩形的边长，最后根据矩形面积公式计算即可．
【详解】解：如图，过点作于点H，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，，
∵ 平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点 F 为 的中点，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积是，
故选：A．
8．如图，菱形的边长为，，，分别是，边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查菱形的性质，三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理推出，由垂线段最短得到．连接，过作于，判定是等腰直角三角形，求出，由垂线段最短得到，由三角形中位线定理推出，即可得到的最小值．
【详解】解：连接，过作于
，菱形的边长为，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
的最小值是，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
的最小值为．
故选：A．
9．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据菱形的性质，得出，，，求出，根据，求出，利用直角三角形斜边上的中线性质求出答案即可．
【详解】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
故选：B．
10．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，，根据折叠的性质可得，再由线段的和差可得，然后在和中由勾股定理得到，，将，和代入计算即可求得的值．
【详解】解：连接，，如图，
在中，，
在中，
根据折叠的性质可知，，
，
四边形是边长为9的正方形，
，，，
，
解得．
故选：B．
11．如图，在正方形中，，点在边上，与关于所在的直线对称，将绕点顺时针旋转得到，连接，则为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定与性质、轴对称的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．连接，先根据正方形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据正方形的性质可得的边上的高等于4，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是正方形，，
∴，
∴，
∵与关于所在的直线对称，
∴，，
∴，
由旋转的性质得：，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵四边形是正方形，
∴，
∴的边上的高等于，
∴，
∴，
故选：D．
12．如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：；；；的最小值为3，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】连接，证明四边形为矩形，可得；由可得，所以；
由矩形可得，则；由，则；由四边形为正方形可得，即，所以，即，可得；
由中的结论可得；
由于点为上一动点，当时，根据垂线段最短可得此时最小，最小值为，由知，所以的最小值为．
【详解】解：连接，交于点，如图，
，，
．
，
四边形为矩形．
，．
四边形为正方形，
，．
在和中，
，
．
．
．
正确；
延长，交于，交于点，
，
．
由知：，
．
．
，
．
．
即：，
．
正确；
由知：．
即：．
正确；
点为上一动点，
根据垂线段最短，当时，最小．
，，
．
．
由知：，
的最小值为，
错误．
综上所述，正确的结论为：．
故选：A．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．如图，的对角线交于点O，只需添加一个条件即可证明是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据菱形的判定定理即可得出结论．
【详解】这个条件可以是，依据是对角线互相垂直的平行四边形是菱形．还可以添加的条件有 或 或 或 ，依据是一组邻边相等的平行四边形是菱形．
故答案为：（答案不唯一）．
14．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，则CE的长为 ．
【答案】
【详解】EF垂直且平分AC，故AE=EC，AO=OC．
所以△AOE≌△COE．
设CE为x．
则DE=AD-x，CD=AB=2．
根据勾股定理可得x2=（3-x）2+22
解得CE=13/6．
15．如图是一块菱形花坛，沿着它的对角线修建的两条小路的长分别为和，则这个菱形花坛的面积为 ．
【答案】42
【分析】本题考查菱形的性质，解题的关键是记住菱形的面积等于对角线乘积的一半．根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半即可解决问题．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
∴菱形的面积．
故答案为：42．
16．如图，在菱形中，，E是上一点，M、N分别是的中点，且，则菱形的周长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形中位线定理，连接，由三角形中位线定理可得，再由菱形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，据此根据菱形周长计算公式求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵M、N分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴菱形的周长，
故答案为：．
17．如图，在矩形中，对角线交于点为上的点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在上，连接．若，则 ．
【答案】
【分析】设，由对称性得到，进而由等腰三角形性质得到，再结合三角形外角性质得到，再由对称性得到，则，，从而有，再由，由等腰三角形性质得到，由三角形内角和定理得到，利用矩形性质及等腰三角形性质得到，从而有，解得，在中，有两锐角互余得．
【详解】解：设，
将沿翻折，使点的对应点恰好落在上，
，则，
是的一个外角，
，
在矩形中，，则由对称性可知，
，，
则，
，
，
在中，则由三角形内角和定理可得，
在矩形中，，则，
即，解得，
在中，，则，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形中求角度，涉及对称性质、等腰三角形性质、外角性质、矩形性质、直角三角形两锐角互余、三角形内角和定理、解方程等知识，熟练掌握相关几何性质，找准各个角度之间的关系列方程求解是解决问题的关键．
18．如图，在菱形ABCD中，，，点M为边中点，点E为菱形四条边上的一个动点，沿的方向运动，连接，以为边作直角三角形，其中，，在点E运动的过程中，线段长度的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据点E在菱形的边、、、的运动，可确定点F的运动路径，即可求得的最大值．
【详解】如图，当点E在上时，则点F在射线运动，当运动到点B时，点F点运动到点，且；当点E在上时，则点F在线段上运动，且；当点E在上时，则点F在线段上运动，且；当点E在上时，，则点F在线段上运动，且，；所以点F的运动路径是一个菱形，其边长为4，当点E与点D重合，点F与点重合时，最长；连结；
∵在菱形ABCD中，，，点M为边中点，
∴，，
∴，
由勾股定理得：，
∴在中，；
所以线段长度的最大值为．
故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC．BD相交于点O，且O是BD的中点
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若，，求四边形ABCD的周长．
【答案】(1)详见解析;(2)32
【分析】（1）利用全等三角形的性质证明即可解决问题．
（2）证明四边形ABCD是菱形，即可求四边形ABCD的周长．
【详解】解：（1）证明：，
，
，，
，
．
又，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD的周长.
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（8分）如图，在中，点为上一点，点为的中点，连结，过点作交的延长线于点，连结、．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，点是的中点，则四边形为______（直接写出四边形的形状）．
【答案】(1)见解析
(2)菱形
【分析】（1）证明，得，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由菱形的判定即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形为菱形，
故答案为：菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、平行线的性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
21．（8分）如图，将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，点F恰好落在的延长线上．

(1)证明：；
(2)证明：的延长线经过点B．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）如图：连接，由旋转的性质可得，然后根据矩形的性质和等腰三角形即可证明结论；
（2）如图：延长交于点，由旋转的性质可得、，矩形的性质可得、．再证可得，最后根据三角形的内角和定理和等量代换即可解答．
【详解】（1）解：如图：连接，
由旋转性质得，
又∵在矩形中，，
∴；
（2）解：延长交于点，

由旋转性质得，，，
在矩形中，，，
由（1）得，
∴，．
又∵，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴点与B重合．
∴的延长线经过点B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键．
22．（8分）如图，已知矩形，，，点是边上一点，连接．
(1)在边上作出点，使得点到的距离等于线段的长度；（用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，设点到的垂线段为，连接，若点刚好是的中点，补全图形（无需尺规作图），并求此时的长度．
【答案】(1)见解析
(2)画图见解答；的长度为
【分析】（1）作的角平分线，交于点，根据角平分线的性质得点到的距离等于．
（2）根据四边形为矩形，，，，证明，即可得出，再证，设，则，，由勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，作的平分线，交于点，
则点即为所求．
（2）如图所示，
由题意得，，．
四边形为矩形，
，，．
在和中，
，
，
．
点为的中点，
，
．
在和中，
，
，
．
设，则，，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
的长度为．
23．（10分）如图，在平行四边形中，点F在边上，，连接，点O为的中点，的延长线交边于点E，连接
(1)求证∶四边形是菱形；
(2)若平行四边形的周长为22，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）先证明，证明四边形是平行四边形，结合即可得证；
（2）设菱形的边长为，根据平行四边形的周长计算x的值，结合，菱形性质证明是等边三角形，解答即可．
【详解】（1）证明：∵平行四边形，
∴，
∴，
∵点O为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
设，
∵，
∴，
∵平行四边形的周长为22，
∴，
解得．
故的长为5．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形额判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
24．（10分）如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，连接，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键；
（1）由旋转的性质得到，，由正方形的性质，，，进而得到，即可得证；
（2）由全等三角形的性质，推出，继而根据勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）证明：∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴在中，．
25．（10分）如图，平行四边形中，，点是线段的中点，过点作交于点，的延长线交于点，且．
(1)如图，若，求的值；
(2)如图，连接，求证：；
(3)如图，延长交于点，求的值．
【答案】(1)1
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先证明，，然后证，最后根据证明，问题随之得解；
（2）如图过点F作于J，交的延长线于K．过点D作交的延长线于T，连接，设交于N．先证，得，然后证四边形是正方形，，是等腰直角三角形，再证，，最后证，即可得证．
（3）过点作于，于设，则，可得．．得．根据可得：，在中，由勾股定理得：，．．在中，由勾股定理得：．即得．
【详解】（1）四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌．
，，
，
，
，
；
（2）证明：如图，过点作于，交的延长线于过点作交的延长线于，连接，设交于．
，
四边形是矩形，
．
，
，
在和中，
，
≌，
．
，，
平分，
．
，，
，
，
在和，
，
≌．
，，
，
，
，
，，
，
．
（3）如图，过点作于，于
设，
则，
则由勾股定理可得．
由（2）可知，，
，，
．
．
根据可得：
，
在中，由勾股定理得：
，
．
，
．
在中，由勾股定理得：
．
．
26．（10分）在菱形中，，点F、G分别是边上的动点（不与端点重合）
(1)连接，若，，请在图1中画图分析，直接写出的度数：______．
(2)若；
①如图2，连接、得，试判断的形状，并证明．
②如图3，点E是边上的动点，且，连接，点M是的中点，若，求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)①是等边三角形，见解析；②
【分析】（1）以A为圆心，AF为半径画弧，可能交CD于两点，分两种情形计算；
（2）①连接AC，可证得≌，从而，进而得出，从而是等边三角形；
②以BC所在的直线为x轴，点B为原点，过点B与BC的直线为y轴建立坐标系，设DAD延长线于H，作轴于Q，设，可表示出，从而，可表示出，从而得出，进一步得出结果．
【详解】（1）解：如图1，
当时，
四边形是菱形，，
，
，
，
当点G在处时，
，
，
，
故答案为：或；
（2）①是等边三角形，理由如下：
连接，如图2，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
同理可得，是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
②如图，
以BC所在的直线为x轴，点B为原点，过点B与BC的直线为y轴建立坐标系，设的延长线交y轴于H，作轴于Q，
设，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
∵点F、G分别是边上的动点（不与端点重合），
，
当时，，
最小，
当或4时，，
最大，

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