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第四章 图形的相似 单元测试·提升卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列各组线段中，能成比例的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】D
【分析】本题考查了线段成比例．如果四个数、、、满足，那么这四个数就称为成比例的数，记作 或者或者；因此判断四条线段是否成比例，需验证是否存在两对线段的乘积相等即可，对选项一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、，故错误；
B、，故错误；
C、，故错误；
D、，故正确．
故选D．
2．已知（，），下列变形错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决问题的关键．利用内项之积等于外项之积可对各选项进行判断，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，故选项C中的变形错误，选项D中的变形正确；
若，则，故选项A中的变形正确；
若，则，故选项B中的变形正确．
故选：C．
3．如图，点P在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，则添加的条件可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可．
【详解】解：在，中，
，不是夹角的两边对应成比例，不能判定，故选项A错误；
，即：，不是夹角的两边对应成比例，不能判定，故选项B错误；
，不是夹角的两边对应成比例，不能判定，故选项C错误；
，即，两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似，故能判定，故选项D正确；
故选D．
4．如图，直线，直线，与这组平行线依次交于点，，，，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，直接利用平行线分线段成比例定理进而得出结论．
【详解】解：
，故B正确；
，故C正确；
，即，故D正确；
A选项的，即，不符合平行线分线段成比例定理，故A错误；
故选：A．
5．如图，是菱形的对角线，于点，并交于点，若，，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．根据菱形的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理可求出x的值，从而得到，，再由，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴可设，则，
在中，，，
∴，
解得：，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故选：B
6．如图，在中，是上一点，与交于点，如果，，那么的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质，得到，，得到，根据相似三角形的面积比等于相似比，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选C．
7．如图，在中，，F为上一点，M为线段上一点，作，交于点H，若，则的长为（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】设，则，延长交于点D，利用三角形相似的判定和性质解答即可．
本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
设，则，
如图，延长交于点D，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
8．如图，已知与位似，点为位似中心，，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了位似的性质，根据位似图形的性质判断解答即可，掌握位似的性质是解题的关键．
【详解】解：、∵与位似，点为位似中心，
∴，原选项正确，不符合题意；
、∵与位似，点为位似中心，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，原选项正确，不符合题意；
、∵与位似，点为位似中心，
∴，
∴，原选项错误，符合题意；
、∵，
∴，
∴，原选项正确，不符合题意；
故选：．
9．的边上有D，E，F三点，各点位置如图所示．若，，，，，则根据图中标示的各线段的长度，可求得阴影部分与空白部分的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．证明，推出，推出，可得，推出，同理得到，由此可得结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同法可证，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴阴影部分与空白部分的面积之比是：，
故选：A．
10．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（ ）
A．点Q B．点P C．点N D．点M
【答案】D
【分析】本题主要考查了确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键．
连接对应点，交点即是位似中心，据此即可解答．
【详解】解：如图：连接，易得交点为M，即位似中心是点M．
故选：D．
11．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心，且相似比为，点，，均在x轴上．若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．根据位似变换的性质得出，求出，，再根据位似变换的性质得出，得出，从而得出，求出、的长即可．
【详解】解：正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心，
，
相似比为，
，，
，
正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心，
相似比为，
，即，
，，
点的坐标为
故选：B．
12．如图所示，已知四边形是矩形，延长到点E，使，连接．点F为的中点，分别连接，，交于点G．观察下列结论：①；②；③；④其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】连接，设的交点为，证明，判断①；过作，判断出，利用面积公式判断②；证明，判断③；证明，推出平分，利用同（等）高的三角形的面积比等于底边比，得到，等量代换，判断④．
【详解】解：连接，设的交点为，
∵，F为的中点，
∴，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；故①正确；
过作，
在中：，
在中：，
∵，
∴，
∵，
∴；故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；故③正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴平分，
∴点到的距离相等，
∴
∵，
∴；故④正确；
综上所述：①②③④正确.
故选：D．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．已知，则的值为 ．
【答案】1
【分析】本题可先根据已知条件得出与的关系，再将其代入所求式子进行计算．本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质并能灵活运用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
将代入可得：
，
故答案为：．
14．如图，在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到，已知，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是位似图形的概念、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．
根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：∵将以原点O为位似中心，为位似比作位似变换得到，且，
∴点的坐标是 ，即．
故答案为：．
15．已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了比例的性质，利用比例的性质可得，代入已知条件即可求解，掌握比例的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16．如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为．若，则的长分别为 ．
【答案】，
【分析】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握这些定理是解题的关键．由平分，得到，由，得到内错角，等量代换后可证得 ，即是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，而在中，由勾股定理可求得的长，然后证明，即可得到．
【详解】解：∵平分，
∴；
又∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，垂足为，
∴，
在中，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，．
17．如图，中，E、D是边上的三等分点，F是的中点，交、于G，H，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、比例的性质，结合图形添加平行线的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．过点作交延长线于点，通过证明，得到，，则有，根据三等分点的定义以及等量代换可得，，再通过证明，，再利用相似三角形的性质以及线段的和差即可求解．
【详解】解：如图，过点作交延长线于点，
∵F是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵E、D是边上的三等分点，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
，
∴．
故答案为：．
18．如图，在中，，，，点D为边的中点，点E在边上，连接，将沿翻折得到，连接，，若，则的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了翻折问题，平行线分线段成比例，矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确求出长度是解题的关键．设与交点为M，过M作于点N，过D作于点G，延长交于点H，由折叠可知，，所以，推出四边形是矩形，根据，设，所以，得到，解出x的值，即可求出的长度，再进一步求出的长，从而求出最后结果．
【详解】解：如图，设与交点为M，过M作于点N，过D作于点G，延长交于点H．
由折叠可知，，
，
，点D为边的中点，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
即，
解得：，
，
，
是中点，，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）如图，，B是线段AD上的一点，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，本题利用两角相等的两个三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例即可求证．
【详解】解：如图，，且．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．（8分）如图，在网格图中，已知和点．
(1)以点M为位似中心，在y轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2；
(2)写出各顶点的坐标．
【答案】(1)图见详解
(2)
【分析】本题考查了位似图形的性质和位似比、画位似图形，掌握理解位似图形的性质和位似比是解题关键．
（1）延长到使，则点为的对应点，同样方法作出、的对应点、，从而得到；
（2）利用（1）所画图形可得到的各顶点坐标．
【详解】（1）解：延长到使，则点为的对应点，同样方法作出、的对应点、，连接，即为所求作的；
（2）解：由图可得：
21．（8分）如图，小虎自制了一个小孔成像装置，其中，纸筒的长度为，他准备了一支长为的蜡烛，想要得到高度为的像，求此时蜡烛与纸筒的距离的长度．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，根据题意可证明，再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴此时蜡烛与纸筒的距离的长度为．
22．（8分）已知线段，，满足．
(1)求的值．
(2)当线段是线段，的比例中项，且时，求的值．
【答案】(1)的值为
(2)的值为
【分析】本题考查了比例的性质，比例中项的定义．熟练掌握比例的性质是解题的关键．
（1）根据比例的性质求解即可；
（2）根据比例中项的定义，即可得到，再根据即可求解．
【详解】（1）解：设，，
则原式．
（2）解：当时，，
∵是线段，的比例中项，
∴
∵线段，
∴．
23．（10分）如图，在中，，平分交于点D．

(1)在边上求作一点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了尺规作图―作垂线以及相似三角形的性质．熟记相关性质定理是解题关键．
（1）过点作的垂线，即可确定点；
（2）设，则，，根据相似三角形的性质可得，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，点E即为所求；

（2）解：由（1）在作图可得，
∵，平分
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∵
∴，
即，
解得，
∴．
24．（10分）在中，，E是边上一点，将沿着翻折到．如图，若E、F、D三点共线．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的综合应用，涉及翻折变换，相似三角形判定与性质等知识，掌握翻折的性质和平行四边形性质是解题的关键．
（1）利用翻折的性质和平行四边形的性质，得到即可得到结论；
（2）利用翻折的性质和平行四边形的性质得出相等的角和边，证明，利用对应线段成比例求出，然后利用线段的和差进行求解即可．
【详解】（1）证明： 四边形是平行四边形，
，
，
将沿着翻折到，
，
，
；
（2）解： 将沿着翻折到，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，，
，，
由（1）知，
，
，
，
．
25．（10分）在中，，两条高，交于点H，F是的中点，连接并延长交边于点G．
(1)如图1，若是等边三角形．
①求证：；
②求的长．
(2)如图2，若，，求的面积．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
（1）①根据等边三角形的性质可得， 从而得到，，即可；②过点作交于点，可得，，从而得到，，进而得到，即可；
（2）过点作交于点，可得，，从而得到，进而得到，再证明，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）①证明：，是等边三角形的高，
，，，分别平分和，
，
，，
；
②解：过点作交于点，
，，
，，
，是的中点，
，，
，，
，
，等边三角形的边长为8，
，
；
（2）解：过点作交于点，
，，
，，
∵是的中点，
∴，
，
，
．
，
，
．
，
，，
．
，，
，
，
，
即，
，
．
26．（10分）已知直线交轴于点，交轴于点．
(1)直接写出的值为______；
(2)如图①，已知点是轴上的一个动点，过点作轴平行线，交直线于点，连接，若，求点的坐标；
(3)如图②，已知点的坐标为，作直线，若点为直线下方一点，且满足，则的值为______．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）已知直线交轴于点，根据函数图象上的点的坐标满足函数方程，代入点求解即可．
（2）设，根据轴，从而表示出，由，轴，进一步推导出证的条件，利用相似三角形的性质求出的值，进而求出点的坐标．
（3）过点作于点，过点作于点，易证和为等腰直角三角形，设，由勾股定理得，，解得，即，利用两点间的距离关系表示出，根据勾股定理得，再根据以及，构造三角形，由相似三角形的性质得， 即，解关于的方程即可．
【详解】（1）交轴于点，
，
解得，
故的值为．
（2）由（1）知，则
设，
轴，
点横坐标为，
把代入，
得，
，，
，
又，
，
，
由，可知，，
，
解得，
当时，，，
当时，，，
综上，点的坐标为或
（3）如图，过点作于点，过点作于点，
，，，
，，，
轴轴，
为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
设，
由勾股定理得，，
即，
解得，即，
，，
，
，
即，
，
，
，
即，
解得，
点位于第四象限，
故的值为．中小学教育资源及组卷应用平台
第四章 图形的相似 单元测试·提升卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列各组线段中，能成比例的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
2．已知（，），下列变形错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点P在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，则添加的条件可能是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线，直线，与这组平行线依次交于点，，，，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，是菱形的对角线，于点，并交于点，若，，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，是上一点，与交于点，如果，，那么的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，在中，，F为上一点，M为线段上一点，作，交于点H，若，则的长为（　　）
A． B．1 C． D．
8．如图，已知与位似，点为位似中心，，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．的边上有D，E，F三点，各点位置如图所示．若，，，，，则根据图中标示的各线段的长度，可求得阴影部分与空白部分的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（ ）
A．点Q B．点P C．点N D．点M
11．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心，且相似比为，点，，均在x轴上．若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．如图所示，已知四边形是矩形，延长到点E，使，连接．点F为的中点，分别连接，，交于点G．观察下列结论：①；②；③；④其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．已知，则的值为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到，已知，则点的坐标是 ．
15．已知，则 ．
16．如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为．若，则的长分别为 ．
17．如图，中，E、D是边上的三等分点，F是的中点，交、于G，H，则 ．
18．如图，在中，，，，点D为边的中点，点E在边上，连接，将沿翻折得到，连接，，若，则的面积是 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）如图，，B是线段AD上的一点，且．求证：．
20．（8分）如图，在网格图中，已知和点．
(1)以点M为位似中心，在y轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2；
(2)写出各顶点的坐标．
21．（8分）如图，小虎自制了一个小孔成像装置，其中，纸筒的长度为，他准备了一支长为的蜡烛，想要得到高度为的像，求此时蜡烛与纸筒的距离的长度．
22．（8分）已知线段，，满足．
(1)求的值．
(2)当线段是线段，的比例中项，且时，求的值．
23．（10分）如图，在中，，平分交于点D．

(1)在边上求作一点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，求的长．
24．（10分）在中，，E是边上一点，将沿着翻折到．如图，若E、F、D三点共线．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
25．（10分）在中，，两条高，交于点H，F是的中点，连接并延长交边于点G．
(1)如图1，若是等边三角形．
①求证：；
②求的长．
(2)如图2，若，，求的面积．
26．（10分）已知直线交轴于点，交轴于点．
(1)直接写出的值为______；
(2)如图①，已知点是轴上的一个动点，过点作轴平行线，交直线于点，连接，若，求点的坐标；
(3)如图②，已知点的坐标为，作直线，若点为直线下方一点，且满足，则的值为______．

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