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第二章 一元二次方程 单元测试·提升卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的识别，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程；一般形式为：．先将各个方程化简成一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：A、方程，化简后为：，是关于的一元二次方程，符合题意；
B、方程不是整式方程，因此不是关于的一元二次方程，不符合题意；
C、方程，必须限定二次项系数不为0，即，因此不一定是关于的一元二次方程，不符合题意；
D、方程，化简后为：，不是关于的一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
2．关于的方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有1个实数根
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，
根据题意求出，再判断根的情况即可.
【详解】解：∵一元二次方程中，，
∴，
∴这个一元二次方程有两个相等的实数根.
故选：B.
3．用配方法解方程时，将其配方成的形式，则的值为（ ）
A．5 B． C． D．2
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．先移项，再配方得出，得出，求出，，再代入求出答案即可．
【详解】解：，
移项，得，
配方，得，
所以，
所以，，
∴．
故选：C．
4．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】B
【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．”是解题的关键．根据题意当时，方程为，有实数根，当时，得出，解之即可得出结论．
【详解】解：当时，方程为，有实数根，
当时，
∵关于x的方程有实数根，
∴，
解得：，
综上，k的取值范围是，
故选：B．
5．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．1 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，熟知一元二次方程的根满足方程是解题的关键．根据一元二次方程根的定义，把代入方程，即可解得m的值．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴
∴
故选：B．
6．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．5 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】本题可直接利用一元二次方程根与系数的关系来求解两根之和．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握若是一元二次方程的两个实数根，则是解题的关键．
【详解】解：在方程中，，
故选：B．
7．若等腰三角形的三边长均满足方程，则此三角形的周长为（ ）
A．9 B．12 C．9或12 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系．
先求出这个方程的解，再根据等腰三角形及三角形的三边关系即可求出周长．
【详解】解：解方程得，
∵三角形为等腰三角形，
∴三边长为5，5，2或2，2，5（舍去）
∴周长为，
故选B．
8．已知是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2029 B．2028 C．2027 D．2026
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的根，根与系数的关系．由是方程的一个实数根，可得．由根与系数的关系，可得．代入即可求解．
【详解】解：是方程的一个实数根，
，
．
是方程的两个实数根，
．
，
故选A．
9．已知关于x的方程，下列说法中正确的是（ ）
A．当时，方程有两个不相等的实根
B．当时，方程无解
C．当时，方程只有一个实根
D．当时，方程一定有两个不相等的实根
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及一元一次方程的解．需分别代入各选项中的k值，计算判别式或直接解方程，判断根的情况．
【详解】A：当时，方程为，解得，有两个不相等的实根，正确．
B：当时，方程为，解为，有解，原说法错误．
C：当时，方程为：，判别式，方程有两个不相等的实根，原说法错误．
D：当时，判别式．当时，，方程有两个相等实根，故“一定有两个不相等的实根”错误．
故选A．
10．若关于的一元二次方程． 有两个实数根，则实数的取值范围是 （ ）
A． B．且
C．且 D．且
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得且，求出的取值范围即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴且，
故选：C．
11．已知是实数，且满足，则的值为（ ）
A．3 B．3或 C．或6 D．6
【答案】A
【分析】此题主要考查了换元法解一元二次方程．先设，再把原方程变形为，再根据因式分解法求出y的值，即可得出的值．在解题时要注意当时，此方程无解，解题的关键是利用换元法将原方程变形．
【详解】解：设，
原方程变为．
∴．
∴，．
当时，方程的判别式，存在实数解．
当时，方程的判别式，无实数解．
∴满足条件．
故选：A．
12．已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，分为等腰三角形的底和腰两种情形，讨论求解即可得到答案，应用分类讨论解答是解题的关键．
【详解】解：当为底时，由题意得，
解得，
此时一元二次方程为，
解得，
∵，
∴不能构成三角形，
∴不合，舍去；
当为腰时，将代入方程得，
，
解得或，
当时，一元二次方程为，
解得，，
三边长为，可以构成三角形；
当时，一元二次方程为，
解得，，
∵，
∴不能构成三角形，
∴不合，舍去，
综上，，
故选：．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．一元二次方程的根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴或，
解得：，
故答案为：．
14．若是关于x的一元二次方程的一个根，则 ．
【答案】
【分析】本题考查方程的解，把代入方程，得到关于m的方程，求解即可．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴，
∴．
故答案为：
15．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程有实数根的条件，以及对完全平方非负性的理解．
原方程左边为完全平方形式，右边为常数表达式，由于左边，因此右边满足即可，无需展开方程计算判别式．
【详解】解：，
要使该方程有实数根，则，
．
故答案为：．
16．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的定义，解一元二次方程；解题的关键是掌握一元二次方的根的判别式的意义，根据二次方程的定义以及，构建方程求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，且
∴
故答案为：．
17．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系．
先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系求出，，再将化为计算即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴

故答案为：
18．如图，在中，，，，动点P从点C出发，以2的速度沿方向运动；同时动点Q从点B出发，以1的速度沿方向运动．则运动 秒后 P、Q两点相距25．
【答案】10
【分析】本题考查了动点问题、勾股定理及解一元二次方程，根据题意用时间准确表示出，的长并找到等量关系是解题的关键．设运动时间为x秒，则，，根据图形知，根据勾股定理列出方程，解出即可．
【详解】解：设运动x秒后P、Q两点相距25，
则，，
由题意，得，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去，
故答案为：
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）用适合的方法解下列方程：
(1)；
(2)
【答案】(1)，；
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键：
（1）利用开平方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：，
∴，
解得：，；
（2）解：，
，
∴或，
解得：，．
20．（8分）请用指定方法解下列一元二次方程．
（1）（配方法）
（2）（公式法）
【答案】（1），；（2），．
【分析】（1）把方程两边都加上1得，配成完全平方式，然后利用直接开平方法求解；
（2）先计算判别式的值，然后根据根公式求出方程的解．
【详解】解：（1）配方得：，即，
∴，；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】此题考查了利用配方法和公式法解一元二次方程，其中配方法的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方，公式法的关键是熟练掌握求根公式．
21．（8分）某商场准备对去年购进的一批进价为每件40元的T恤进行过季处理，若每件T恤的售价定为30元亏本销售时，可售出50件，若每件T恤的售价每降低1元，销售量相应增加5件，现在仓库还有剩余100件T恤需要处理．
(1)若想将剩余的100件T恤全部清仓，至少需要降价多少元？
(2)商场将100件T恤进行降价处理，处理不了的积压在仓库，一共亏损了2080元，求每件T恤的售价为多少元？
【答案】(1)至少需要降价10元
(2)每件T恤的售价为24元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用．
（1）设至少需要降价元，根据每件T恤的售价定为30元亏本销售时，每件T恤的售价每降低1元，销售量相应增加5件，现在仓库还有剩余100件T恤需要处理，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设每件T恤的售价为元，则销量为，根据：亏损金额总成本每件T恤的售价销售量，列出一元二次方程，解方程，然后取符合条件的值即可．
【详解】（1）解：若想将剩余的100件T恤全部清仓，设至少需要降价元，
根据题意得，
解得，
答：若想将剩余的100件T恤全部清仓，至少需要降价10元；
（2）解：设每件T恤的售价为元，则销量为，
根据题意得，，
整理得：，
解得：或，
当，，不符合题意，舍去，
答：每件T恤的售价为24元．
22．（8分）关于x的一元二次方程．
(1)当时，求方程的根；
(2)若方程有两个不相等的实数根，求c的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：（1）当时，方程有两个不相等的两个实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程无实数根是解题的关键．
（1）把代入一元二次方程，求出的值即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式解答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴方程可化为，
∴，
解得；
（2）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得：．
23．（10分）已知，是方程的两实数根，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了根与系数的关系；
（1）先利用根与系数的关系得到，，利用因式分解法变形得到，然后利用整体代入的方法计算；
（2）利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）解：，，
原式；
（2）解：．
．
24．（10分）如图，在长方形中，，，点P从点A开始沿线段向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿线段向点C以的速度移动，点P，Q分别从A，B两点同时出发了t秒钟，直至两个动点中某一点到达端点后停止．
(1)经过几秒钟后， 的面积等于？
(2)经过几秒钟后，的长度等于？
(3)若的面积为S，写出的面积S关于t的函数关系式，要求写出自变量的取值范围．
【答案】(1)1秒
(2)2秒
(3)
【分析】（1）由题意得，t秒后，，，根据，列方程求出t的值即可；
（2）在中，, , , ，根据勾股定理列方程，求出t的值即可；
（3）根据，将，代入化简即可．
【详解】（1）解：由题意得，t秒后，，，
∵，
∴，
解得，．
由题意得P点从A点运动到B点需要秒，Q点从B点运动到C点需要秒，
∴，
∴不合题意，舍去．
∴经过1秒钟后，的面积等于4cm2．
（2）解：在中，, , , ，
∴，
∴，
解得（舍去）, ．
∴经过2秒钟后，的长度等于5cm．
（3）解：由题意得
．
25．（10分）定义：如果关于的一元二次方程（、、均为常数，）有两个实数根，，若，则称这样的方程为“邻根方程”．
(1)下列方程中，是“邻根方程”的是_____（填序号）．
① ② ③
(2)若是“邻根方程”，则的值为_____．
(3)阅读材料：若一元二次方程的两个根为，，则，．
解决问题：若一元二次方程为“邻根方程”，求的值．
【答案】(1)①③
(2)或
(3)
【分析】（1）根据定义，计算判定解答即可．
（2）根据得到，根据是“邻根方程”，得到 ，解绝对值方程即可．
（3）根据，，结合定义，建立等式解答即可．
【详解】（1）解：①，解方程，得，满足，
是“邻根方程”；
②，解方程，得，不满足，不是“邻根方程”；
③，解方程，得，满足，
是“邻根方程”；
故答案为：①③．
（2）解：根据，得到，
根据是“邻根方程”，得到 ，
故或．
解得或．
故答案为：或．
（3）解：设一元二次方程两个根为，，
则，，
，
，
，
，
．
26．（10分）“三折叠，怎么折，都有面．”华为“三折叠”一经上市，便火遍全国，形成一股“折叠风”．9月10日，华为新出的型号为“Mate XT非凡大师”的手机在深圳湾召开发布会，某华为手机专卖网店抓住商机，购进10000台“Mate XT 非凡大师”手机进行销售，每台的成本是20000元，在线同时向国内、国外发售．第一个星期，国内销售每台售价是25000元，共获利1000万元，国外销售也售出相同数量该款手机，但每台成本增加4000元，获得的利润却是国内的6倍．
(1)求该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是多少元？
(2)受中美贸易战影响，第二个星期，国内销售每台该款手机售价在第一个星期的基础上降低，销量上涨；国外销售每台售价在第一个星期的基础上上涨，并且在第二个星期将剩下的手机全部卖完，结果第二个星期国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求的值．
【答案】(1)该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是54000元
(2)
【分析】本题主要考查了销售的应用问题，涉及到一元二次方程、一元一次方程应用等知识，弄清题意，找出数量关系是解决问题的关键．
（1）根据(国外的售价成本)销售的数量国内的6倍，列方程解出即可；
（2）根据第二个星期国外的销售总额国内的销售总额元，利用换元法解方程可解答．
【详解】（1）解：设该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是x元，
根据题意得：，
解得：，
答：该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是54000元；
（2）解：第一个星期国内销售手机的数量为：(台)，则国外销售手机的数量为：台，
根据题意：第二个星期国内销售手机的数量为：(台)，国外销售手机的数量为：台，
由题意得：，
设，则原方程化为：，
即，
解得：（负值舍去），
则，故，
答：的值为．中小学教育资源及组卷应用平台
第二章 一元二次方程 单元测试·提升卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．关于的方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有1个实数根
3．用配方法解方程时，将其配方成的形式，则的值为（ ）
A．5 B． C． D．2
4．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
5．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．1 B．4 C． D．
6．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．5 B． C．1 D．
7．若等腰三角形的三边长均满足方程，则此三角形的周长为（ ）
A．9 B．12 C．9或12 D．不能确定
8．已知是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2029 B．2028 C．2027 D．2026
9．已知关于x的方程，下列说法中正确的是（ ）
A．当时，方程有两个不相等的实根
B．当时，方程无解
C．当时，方程只有一个实根
D．当时，方程一定有两个不相等的实根
10．若关于的一元二次方程． 有两个实数根，则实数的取值范围是 （ ）
A． B．且
C．且 D．且
11．已知是实数，且满足，则的值为（ ）
A．3 B．3或 C．或6 D．6
12．已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．一元二次方程的根是 ．
14．若是关于x的一元二次方程的一个根，则 ．
15．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
16．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
17．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
18．如图，在中，，，，动点P从点C出发，以2的速度沿方向运动；同时动点Q从点B出发，以1的速度沿方向运动．则运动 秒后 P、Q两点相距25．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）用适合的方法解下列方程：
(1)；
(2)
20．（8分）请用指定方法解下列一元二次方程．
（1）（配方法）
（2）（公式法）
21．（8分）某商场准备对去年购进的一批进价为每件40元的T恤进行过季处理，若每件T恤的售价定为30元亏本销售时，可售出50件，若每件T恤的售价每降低1元，销售量相应增加5件，现在仓库还有剩余100件T恤需要处理．
(1)若想将剩余的100件T恤全部清仓，至少需要降价多少元？
(2)商场将100件T恤进行降价处理，处理不了的积压在仓库，一共亏损了2080元，求每件T恤的售价为多少元？
22．（8分）关于x的一元二次方程．
(1)当时，求方程的根；
(2)若方程有两个不相等的实数根，求c的取值范围．
23．（10分）已知，是方程的两实数根，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
24．（10分）如图，在长方形中，，，点P从点A开始沿线段向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿线段向点C以的速度移动，点P，Q分别从A，B两点同时出发了t秒钟，直至两个动点中某一点到达端点后停止．
(1)经过几秒钟后， 的面积等于？
(2)经过几秒钟后，的长度等于？
(3)若的面积为S，写出的面积S关于t的函数关系式，要求写出自变量的取值范围．
25．（10分）定义：如果关于的一元二次方程（、、均为常数，）有两个实数根，，若，则称这样的方程为“邻根方程”．
(1)下列方程中，是“邻根方程”的是_____（填序号）．
① ② ③
(2)若是“邻根方程”，则的值为_____．
(3)阅读材料：若一元二次方程的两个根为，，则，．
解决问题：若一元二次方程为“邻根方程”，求的值．
26．（10分）“三折叠，怎么折，都有面．”华为“三折叠”一经上市，便火遍全国，形成一股“折叠风”．9月10日，华为新出的型号为“Mate XT非凡大师”的手机在深圳湾召开发布会，某华为手机专卖网店抓住商机，购进10000台“Mate XT 非凡大师”手机进行销售，每台的成本是20000元，在线同时向国内、国外发售．第一个星期，国内销售每台售价是25000元，共获利1000万元，国外销售也售出相同数量该款手机，但每台成本增加4000元，获得的利润却是国内的6倍．
(1)求该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是多少元？
(2)受中美贸易战影响，第二个星期，国内销售每台该款手机售价在第一个星期的基础上降低，销量上涨；国外销售每台售价在第一个星期的基础上上涨，并且在第二个星期将剩下的手机全部卖完，结果第二个星期国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求的值．

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