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第六章 反比例函数 单元测试·提升卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各点不在双曲线上的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，这是反比例函数的图象，点是反比例函数图象上任意一点，过点A作轴于点B，连接，则的面积是（　　）
A．6 B．12 C．18 D．24
4．已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．在一个密闭的容器内装有一定质量的某种气体，当它的容积V改变时，气体的密度也随之改变，与V在一定范围内满足关系（m是常数，且）它的图象如图所示，当为时，V的值为（ ）．
A．2 B．3 C．3.6 D．7.2
6．已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点 B．若，则
C．图象在第二、四象限内 D．y随x的增大而减小
7．如图，网格（每个小正方形的边长为）中有，，，，，，，，九个格点，点的坐标为，反比例函数的表达式为，对于，下列判断正确的是（ ）
若反比例函数的图象过点，则它必过点；
在九个格点中，若只有个在反比例函数图象的上方，则的整数值有个．
A．都对 B．都不对 C．只有对 D．只有对
8．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图像如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．该蓄电池的电压为
B．当时，
C．当电阻越大时，蓄电池的电流也越大
D．当时，
9．如图，直线与坐标轴分别交于点，，与双曲线交于点，根据图像求出不等式的解集（　　）
A． B． C． D．
10．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
11．如图，矩形的两边、分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数（）与相交于点D，与相交于点E，若，且的面积是24，则k的值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
12．如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，点C、D在x轴上，、分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．若反比例函数的图象的分支位于第一、三象限，则的取值范围是 ．
14．如图，若反比例函数的图象经过点A，则矩形的面积为 ．
15．如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则 ．
16．小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．请根据图中信息，则点坐标为 ．
17．如图，矩形的顶点A，C分别在第二、四象限，顶点B，D在反比例函数的图像上，且经过原点O．点E在x轴的正半轴上，的中点F也在该反比例函数的图像上，且平分．若的面积为9，则 ．
18．如图，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上．反比例函数的图象过矩形的对称中心，交于点．现给出以下结论：
①；
②的面积为；
③点，可能关于直线对称；
④若平分，则
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）已知反比例函数的解析式，并且当时，．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当时，求y的值．
20．（8分）某汽车的功率为一定值，汽车行驶时的速度（米/秒）与它所受的牵引力（牛）之间满足反比例函数关系，其图像如图所示：
(1)请写出这一反比例函数的解析式；
(2)当它所受牵引力为牛时，汽车的速度为多少？
21．（8分）如图，直线与坐标轴交于点、，与双曲线交于、两点．并且．
(1)填空：点的坐标为　　，点的坐标为 　　；
(2)求反比例函数的解析式；
(3)当时，根据图象直接写出此条件下的的取值范围 　　．
22．（8分）如图，反比例函数y＝（m≠0）的图象与一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象交于点A（﹣4，﹣1）和点B．
(1)求点B的坐标；
(2)求△AOB的面积．
23．（10分）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于和两点．
(1)求和的值；
(2)直接写出关于的不等式的解集______．
(3)将直线向左平移个单位长度后，与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值．
24．（10分）某野外考察小组在途中遇到一片十几米宽的湿地，为了安全，迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线用若干块木板铺了一条临时通道，木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图像经过，．
(1)请直接写出P与S的函数关系式．
(2)求m的值，并解释m的实际意义．
(3)如果要求压强不超过，木板的面积至少要多大？
25．（10分）教室里的饮水机接通电源，就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时x成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若在水温为时，接通电源后，水温和时间x的关系如图．
(1)直线的函数关系式为______．
(2)①如图，t的值为______；
②饮水机第一次关机前，当水温达到以上时，则x的取值范围为______．
(3)为了在上午第三节下课时（）能喝到不超过的水，则接通电源的时间可以是当天上午的吗？说明理由．
26．（10分）如图1，已知点，平行四边形的边与y轴交于点，且E为的中点，双曲线经过C、D两点．
(1)求反比例函数表达式；
(2)点P在双曲线上，点Q在x轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求满足要求的所有点Q的坐标；
(3)以线段为对角线作正方形（如图3），点P为对角线上一动点，连接，过点P作．交于点M，以、为邻边作矩形，连接．试探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出值的范围．中小学教育资源及组卷应用平台
第六章 反比例函数 单元测试·提升卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数定义是解决问题的关键．形如（为常数且）的函数是反比例函数，逐一分析选项即可判断．
【详解】解：A、是一次函数，故此选项不符合题意；
B、是一次函数，故此选项不符合题意；
C、不符合反比例函数的形式，不是反比例函数，故此选项不符合题意；
D、符合反比例函数的形式，是反比例函数，故此选项符合题意．
故选：D．
2．下列各点不在双曲线上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上点的坐标满足函数解析式是解答的关键．将选项中的点的横坐标代入解析式中求出y值，若等于点的纵坐标，则该点在函数图象上，若不等于则不在，进而可作出判断．
【详解】解：A、当时，，则在双曲线上，不符合题意；
B、当时，，则不在双曲线上，符合题意；
C、当时，，则在双曲线上，不符合题意；
D、当时，，则在双曲线上，不符合题意；
故选：B．
3．如图，这是反比例函数的图象，点是反比例函数图象上任意一点，过点A作轴于点B，连接，则的面积是（　　）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数图象与性质，根据点到坐标轴的距离可得，结合反比例函数图象上的点满足表达式得到，进而利用面积公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵点为反比例函数图象上一点，
∴，
∴．
故选：A．
4．已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数的增减性是关键．
根据题意，反比例函数图象经过第一、三象限，每个象限，随的增大而减少，由此即可求解．
【详解】解：反比例函数，
∴图象经过第一、三象限，每个象限，随的增大而减少，
当时，，当时，，
，
∴，
∴，
故选：D ．
5．在一个密闭的容器内装有一定质量的某种气体，当它的容积V改变时，气体的密度也随之改变，与V在一定范围内满足关系（m是常数，且）它的图象如图所示，当为时，V的值为（ ）．
A．2 B．3 C．3.6 D．7.2
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先利用待定系数法求出，再求出当时，V的值即可得到答案．
【详解】解：把代入中得，
∴，
在中，当时，，解得，
故选：B．
6．已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点 B．若，则
C．图象在第二、四象限内 D．y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴图象在第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大，
当时，，
∴图象必经过点，
当时，，
∴当时，；
综上，只有选项D的结论不正确；
故选D．
7．如图，网格（每个小正方形的边长为）中有，，，，，，，，九个格点，点的坐标为，反比例函数的表达式为，对于，下列判断正确的是（ ）
若反比例函数的图象过点，则它必过点；
在九个格点中，若只有个在反比例函数图象的上方，则的整数值有个．
A．都对 B．都不对 C．只有对 D．只有对
【答案】A
【详解】解：∵点的坐标为，
∴，，，，，，，，
把代入得，
把，，，，，，，，代入符合的为点，故判断正确；
∵只有个在反比例函数图象的上方，
∴点在上方，点和点在图象下方或在图象上，
故的取值范围为，
∴整数为，，，共个， 故判断正确，
故正确，
故选：．
8．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图像如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．该蓄电池的电压为
B．当时，
C．当电阻越大时，蓄电池的电流也越大
D．当时，
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，求函数值，反比例函数的性质，先求出反比例函数的解析式，然后根据反比例函数的图象及性质逐一判断即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：设使用蓄电池时，电流与电阻的解析式为，
根据图象可得：，
∴电流与电阻的解析式为，
∴、该蓄电池的电压为，原说法正确，不符合题意；
、当时，，原说法正确，不符合题意；
、当电阻越大时，蓄电池的电流越小，原说法错误，符合题意；
、当时，，原说法正确，不符合题意；
故选：．
9．如图，直线与坐标轴分别交于点，，与双曲线交于点，根据图像求出不等式的解集（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握数形结合思想成为解题的关键．
本题先把点代入，求得，然后观察函数图象即可求解；
【详解】解：把代入，解得：，
∴，
观察函数图象得到当时，，
由题意可得：，
∴不等式的解集为；
故选：D；
10．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，根据一次函数与反比例函数的图象与性质逐一排除即可，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：、由图象可知，，即，由图象可知，不符合题意；
、由图象可知，，即，由图象可知，不符合题意；
、由图象可知，，即，由图象可知，不符合题意；
、由图象可知，，即，由图象可知，符合题意；
故选：．
11．如图，矩形的两边、分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数（）与相交于点D，与相交于点E，若，且的面积是24，则k的值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的k的意义，设点则 )，然后根据列关于k的方程解答即可．
【详解】解：设点则 )，
，
的面积是，
，
解得
故选： C．
12．如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，点C、D在x轴上，、分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，相似的判定和性质，矩形的性质，灵活运用相关知识是解决问题的关键．设，，根据题意，利用函数关系式表示出线段，利用三角形的面积公式，即可得答案．
【详解】解：设点，，则，
∴点B的纵坐标为，
∵B在上
∴点B的横坐标为，
，
∵在矩形中，
，
∴，
又∵,
∴,
∴，
，
，
，
．
故选：D．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．若反比例函数的图象的分支位于第一、三象限，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的图象，掌握反比例函数的系数与图象分布关系是解决问题的关键．根据反比例函数的图象可列出不等式进行求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象的分支位于第一、三象限，
，
．
故答案为：．
14．如图，若反比例函数的图象经过点A，则矩形的面积为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数k值的几何意义解答即可．
【详解】解：反比例函数的图象经过点A，
矩形的面积为
故答案为：
15．如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确构造相似三角形是解题的关键．作轴，轴，根据值的几何意义，得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值即可．
【详解】解：作轴，轴，垂足分别为，
则：，
∵点为反比例函数图象上的一点，点为反比例函数图象上一点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去）；
故答案为：．
16．小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．请根据图中信息，则点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题是反比例函数与一次函数综合题，考查了求函数解析式，一次函数的平移问题，一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键．由图形可知，，利用待定系数法求出反比例函数解析式和直线的解析式，再根据一次函数的平移得到直线的解析式，联立反比例函数和直线，求出交点坐标即可．
【详解】解：由图形可知，，
设反比例函数解析式为，
反比例函数图象过点，
，
比例函数解析式为，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为，
由图象可知，直线可由直线向上平移3个单位得到，
直线的解析式为，
联立，解得：或，
点在第二象限，
故答案为：
17．如图，矩形的顶点A，C分别在第二、四象限，顶点B，D在反比例函数的图像上，且经过原点O．点E在x轴的正半轴上，的中点F也在该反比例函数的图像上，且平分．若的面积为9，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，中点坐标等知识点，进行等积转化是解题的关键．
连接，过点作轴于点，可证明，则，设，求出，再由中点坐标公式可得，将代入，即可求解．
【详解】解：连接，过点作轴于点，
∵四边形是矩形，
∴经过点，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴
设，
∵
∴，
∴，
∴，
∵点F为的中点，
∴，即，
将代入，
则
解得：，
故答案为：6．
18．如图，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上．反比例函数的图象过矩形的对称中心，交于点．现给出以下结论：
①；
②的面积为；
③点，可能关于直线对称；
④若平分，则
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①④/④①
【详解】解：连接，设，
点是矩形的对称中心，
点在对角线的中点上，
，，，
点在反比例函数上，
，
反比例函数解析式为，
当时，，
即，
，，
，结论①正确；
，
，
，
，
又，
，结论②错误；
连接交于点，
，，设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
，
同理直线的解析式为，
点是直线和直线的交点，
，
解得，
此时，
，
若点，关于直线对称，则点是中点，矛盾，
结论③错误；
作轴交于点，轴于点，
，
四边形是矩形，
，
，
又矩形中，，
，
点是中点，
∴
点是中点，即，
平分，
，
，
，
，
中，，
又，
，即，
结论④正确．
综上，正确的结论有①④．
故答案为：①④．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）已知反比例函数的解析式，并且当时，．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当时，求y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查求反比例函数的解析式，求函数值．
（1）待定系数法求解析式即可；
（2）把代入解析式求值即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数的解析式，并且当时，，
∴；
∴；
（2）当时，．
20．（8分）某汽车的功率为一定值，汽车行驶时的速度（米/秒）与它所受的牵引力（牛）之间满足反比例函数关系，其图像如图所示：
(1)请写出这一反比例函数的解析式；
(2)当它所受牵引力为牛时，汽车的速度为多少？
【答案】(1)
(2)米/秒
【分析】（1）根据图形，设与之间的函数关系式为，从图形中取一组数据代入计算即可求解；
（2）将牛代入反比例函数表达式计算，即可求解．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，
把代入得，，
∴反比例函数的解析式为：．
（2）解：把牛，代入（米/秒），
∴汽车的速度为米/秒．
【点睛】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合运用，掌握反比例函数表达式的意义及计算方法是解题的关键．
21．（8分）如图，直线与坐标轴交于点、，与双曲线交于、两点．并且．
(1)填空：点的坐标为　　，点的坐标为 　　；
(2)求反比例函数的解析式；
(3)当时，根据图象直接写出此条件下的的取值范围 　　．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1 ）分别将、代入一次函数解析式中求出与之对应的、的值，由此即可得出点、的坐标；
（2 ）根据结合点、的坐标即可求出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论；
（3 ）解析式联立成方程组，解方程组求得的坐标，然后根据图象即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
点的坐标为；
当时，有，解得：，
点的坐标为．
故答案为：，；
（2）解：，且、、、四点共线，
点是线段的中点，
，，
点的坐标为．
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
（3）解：由解得或，
，
观察图象，当时，的取值范围是或．
故答案为：或．
22．（8分）如图，反比例函数y＝（m≠0）的图象与一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象交于点A（﹣4，﹣1）和点B．
(1)求点B的坐标；
(2)求△AOB的面积．
【答案】(1)B（1，4）
(2)
【分析】（1）根据点A的坐标可求反比例函数解析式中m的值与一次函数中k的值，进而得出反比例函数与一次函数的解析式，联立解析式可得另一交点B的坐标．
（2）利用坐标轴将所求三角形进行分割，变成易于求解的三角形面积，将分割后的三角形面积进行相加即可得△AOB的面积．
【详解】（1）解：∵反比例函数y＝（m≠0）的图象与一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象交于点A（﹣4，﹣1），
∴﹣1＝，﹣1＝﹣4k+3，
∴m＝4，k＝1，
∴反比例函数为，一次函数为y＝x+3，
解得或，
∴B（1，4）；
（2）
解：设一次函数图像交y轴于点C．
∵一次函数的解析式为：y＝x+3．
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），即CO＝3，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝
＝．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，利用三角形面积的和差求三角形的面积是解决本题的关键．
23．（10分）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于和两点．
(1)求和的值；
(2)直接写出关于的不等式的解集______．
(3)将直线向左平移个单位长度后，与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值．
【答案】(1)，
(2)或
(3)的值为或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，一次函数图象的平移，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）将代入一次函数解析式即可得出，从而可得，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据函数图象即可得解；
（3）求出平移后的解析式为，结合题意可得方程的解只有一个，由此计算即可得解．
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴，即，
将代入可得：，
∴；
（2）解：由函数图象可得：关于的不等式的解集为或；
（3）解：将直线向左平移个单位长度后，得到的新直线的解析式为，
由（1）可得反比例函数的解析式为，
∵将直线向左平移个单位长度后，与反比例函数的图象有且只有一个公共点，
∴方程的解只有一个，
整理可得：，
∴，
解得：或，
∴的值为或．
24．（10分）某野外考察小组在途中遇到一片十几米宽的湿地，为了安全，迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线用若干块木板铺了一条临时通道，木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图像经过，．
(1)请直接写出P与S的函数关系式．
(2)求m的值，并解释m的实际意义．
(3)如果要求压强不超过，木板的面积至少要多大？
【答案】(1)
(2)，当木板对地面的压强时，木板面积是；
(3)
【分析】本题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，用反比例函数的知识解决实际问题，认真观察图象得出结果．
（1）设反比例函数关系式为，将点代入即可得出解析式；
（2）将代入解析式，可求出S的值，即可求解；
（3）将代入解析式，可求出S的值，然后根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设反比例函数关系式为，
把代入，得，
解得，
∴P与S的函数关系式；
（2）解：把代入，得，
解得，
当木板对地面的压强为时，木板面积是；
（3）解：当时，，
解得，
∵在中，，
∴P随S的增大而减小，
故当压强不超过时，木板的面积至少是．
25．（10分）教室里的饮水机接通电源，就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时x成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若在水温为时，接通电源后，水温和时间x的关系如图．
(1)直线的函数关系式为______．
(2)①如图，t的值为______；
②饮水机第一次关机前，当水温达到以上时，则x的取值范围为______．
(3)为了在上午第三节下课时（）能喝到不超过的水，则接通电源的时间可以是当天上午的吗？说明理由．
【答案】(1)
(2)① ②
(3)接通电源的时间可以是当天上午的，理由见解析
【分析】（1）设直线的函数关系式为，利用待定系数法解答即可．
（2）①根据题意，得反比例函数经过点，设反比例函数的解析式为，确定解析式，后代入求值即可；
②根据解析式为，，分别计算当时的x的值，即可得到范围．
（3）根据解析式为，，当时，；当时，；确定循环时长，解答即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的应用，待定系数法，正确理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得温度升到用时间为，
设直线的函数关系式为，
根据题意，得，
解得，
所以．
（2）解：①根据题意，得反比例函数经过点，
设反比例函数的解析式为，
故，
解得，
故，
当时，
故，
故答案为：；
②解：根据解析式为，，
当时，；
当时，；
故温度为60摄氏度以上时的时间范围是，
故答案为：．
（3）解：根据解析式为，，
当时，；
当时，；
故温度为50摄氏度以上时的时间范围是，
即有，
根据题意，得饮水机循环开机时间为，且每个循环周期中，和时段中温度低于，
若接通电源的时间是当天上午的，到一共为，
经过5次循环，剩余时长为，
恰好在的时段中，此时温度不高于，
故可以在接通电源．
26．（10分）如图1，已知点，平行四边形的边与y轴交于点，且E为的中点，双曲线经过C、D两点．
(1)求反比例函数表达式；
(2)点P在双曲线上，点Q在x轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求满足要求的所有点Q的坐标；
(3)以线段为对角线作正方形（如图3），点P为对角线上一动点，连接，过点P作．交于点M，以、为邻边作矩形，连接．试探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出值的范围．
【答案】(1)；
(2)或或；
(3)是，．
【分析】（1）求解，设，结合，可得，可得，进一步可得答案；
（2）如图，当为对角线时，四边形为平行四边形；如图，当为对角线时，四边形为平行四边形，如图，当为对角线时，四边形为平行四边形，进一步结合平移性质与平行四边形的性质求解即可；
（3）如图，作于，于，证明四边形为正方形，可得，证明，可得，证明矩形为正方形，证明，可得，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵，为中点，
∴，
设，
又∵，
∴，
∵点，都在双曲线上，
∴，
∴，
∴；
∴反比例函数表达式为：；
（2）解：如图，当为对角线时，四边形为平行四边形；
∴，，
设，，
∴，解得：，
∴，
如图，当为对角线时，四边形为平行四边形，
∴，，
设，，
∴，解得：，
∴，
如图，当为对角线时，四边形为平行四边形，
∴，，
设，，
∴，解得：，
∴，
综上：或或；
（3）解：如图，作于，于，
点是正方形对角线上的点，
∴，，
，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
∴，
∴矩形为正方形，
正方形和正方形，
，，，
，
，
，
∴是定值．

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