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1.3 《二次函数的性质》—浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2025九上·钱塘期末）关于二次函数，下列说法正确的是（　　）
A．当时，函数有最小值3 B．当时，函数有最大值3
C．当时，函数有最小值3 D．当时，函数有最大值3
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵二次函数中，
∴二次函数当时，函数有最大值3，
故答案为：D．
【分析】利用二次函数的最值解题．
2．（2025九上·温州期末）已知 ，下列说法正确的是（ ）
A．当 时， 有最小值 B．当 时， 有取大值
C．当 时， 有最小值 D．当 时， 有最大值
【答案】C
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：
A.∵当 1时，y有最小值，∴A选项不正确；
B.∵当 时，y有最大值，∴B选项不正确；
C.∵当 时，y有最小值，∴C选项正确；
D.∵当 时，y有最大值，∴D选项不正确.
故答案为： C.
【分析】配方解析式化成顶点式，画出图象，由图象的对称性增减性顶点，确定函数的最大值或最小值，逐一判断即得.
3．已知二次函数y=ax2+bx+c，且ac＜0，则它的图象经过(　　)
A．一、二、三象限 B．二、三、四象限
C．一、三、四象限 D．一、二、三、四象限
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】由ac＜0，可判断b2-4ac＞0，方程ax2+bx+c=0的有两个异号根，根据抛物线与x轴的交点问题得到抛物线与x轴有两个交点分别在y轴的两侧，然后分类讨论：当a＞0时，c＜0或
当a＜0时，c＞0时，根据二次函数图象与系数的关系易得抛物线经过第一、二、三、四象限．
【解答】∵ac＜0，
∴△=b2-4ac＞0，方程ax2+bx+c=0的有两个异号根，
∴抛物线与x轴有两个交点，两交点分别在y轴的两侧，
当a＞0时，c＜0，抛物线经过第一、二、三、四象限；
当a＜0时，c＞0，抛物线经过第一、二、三、四象限，
综上所述，抛物线经过第一、二、三、四象限．
故选D．
4．（2024九上·三门期末）二次函数的图象的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：二次函数的图象的对称轴为．
故答案为：C ．
【分析】利用抛物线的对称轴公式计算解题．
5．（2024九上·天台期末）已知抛物线，当时，y的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线开口向上，
∵0＜x＜5，且1-0＜5-1，
∴当x=1时该函数的值最小，为-4，x=5时，该函数的值最大，为y=52-2×5-3=12
∴当时，y的取值范围是，
故答案为：．
【分析】将二次函数解析式利用配方法化为顶点式得出抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线开口向上，从而可得抛物线上的点离对称轴越远，其函数值越大，故当x=1时该函数的值最小，x=5时，该函数的值最大，据此求解即可.
6．（2024九上·浙江期中）若点A（0，y1），B（1，y2），C（3，y3）在抛物线y＝（x﹣1）2+k上，则y1，y2，y3的大小关系为 　 　（用“＞”连接）．
【答案】y3＞y1＞y
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线对称轴x=1，二次项系数a=1＞0
∵A、B在抛物线对称轴的左侧，0＜1
∴y1＞y2 ∵ 0-1<1-3 ，
即点A离对称轴比点B离对称轴近
∴y3＞y1
∴y3＞y1＞y2
故答案为：y3＞y1＞y2.
【分析】根据抛物线的性质，当a＞0时，自变量x越靠近对称轴，函数值就越小；当a＜0时，自变量x越靠近对称轴，函数值就越大.
7．（2024九上·柯城期中）已知：二次函数的图象经过点．
（1）求的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
（3）当取何值时，随的增大而减小．
【答案】（1）解：∵ 二次函数的图象经过点 ，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；
（3）解：∵，
∴a=1>0，
∴二次函数图象开口向上，
由（1）得二次函数图象对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）将点（3，0）代入二次函数解析式，即可求解；
（2）将二次函数一般式转化为顶点式，即可求解；
（3）先根据二次函数的性质得二次函数图象开口向上，然后根据二次函数的增减性进行作答即可．
（1）解：把代入，得：，
∴；
（2）由（1）知：，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；
（3）∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线；
∴当时，随的增大而减小．
8．（2024八下·宁波期末）如图，已知二次函数图象经过点和点
（1）求该二次函数的解析式
（2）结合函数图象，直接写出：当时，函数y的取值范围
【答案】（1）解：将点A和点C的坐标代入函数解析式，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为；

（2）抛物线的对称轴为，∵，
∴当时，y取得最大值为：，
当时，，
当时，，
∴函数y的取值范围：．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】
（1）根据待定系数法，将和点 代入函数解析式即可求出函数解析式；
（2）根据二次函数图象及其性质即可得到结论．
（1）解：将点A和点C的坐标代入函数解析式，
得，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）抛物线的对称轴为，
∵，
∴当时，y取得最大值为：，
当时，，
当时，，
∴函数y的取值范围：．
二、能力提升
9．（2024九上·翁源期中）设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，
可知，抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵，，是抛物线上的三点，
且，
∴，
故答案为：D．
【分析】由题意，先将抛物线的解析式配成顶点式，根据解析式可知：a=-1＜0，可得抛物线开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越小，然后根据三个点到对称轴的距离即可判断求解．
10．（2024九上·乌鲁木齐月考）二次函数在的范围内有最小值为，则c的值（　　）
A．3或 B． C．或1 D．3
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵a=-1，b=-2
∴二次函数图象的对称轴为直线，
∵，
∴二次函数的图象开口向下，在对称轴处取最大值
∴离对称轴越远函数值越小
∵，且，
∴当时，二次函数取最小值，最小值为，
∵在的范围内有最小值为，
∴，
解得：或3．
故选：A
【分析】
根据一般式求对称轴的公式，可求对称轴为直线，根据自变量x的取值范围以及对称轴可得当时，二次函数取最小值，最小值为，从而得到，即可求解．
11．（2024九上·宁波期末）已知关于x的二次函数（m，n为常数），则下列说法正确的是（　　）
A．开口向上
B．对称轴在y轴的左侧
C．若，该函数图象与x轴没有交点
D．当时，该函数的最大值与最小值的差为4
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：A、∵a=-1<0，
∴抛物线开口向下，故A错误，不符合题意；
B、∵二次函数的对称轴为直线，
∴当m>0时，对称轴为y轴右侧，当m<0时，对称轴为y轴左侧，当m=0时，对称轴为y轴，故B错误，不符合题意；
C、∵m+n=1，
∴，
∴函数图象与x轴有两个交点，故C错误，不符合题意；
D、∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=m，
∴二次函数的最大值为-m2+2m2+n= m2+n，
∵m+2-m=2>m-(m-1)=1，
∴当x=m+2时，二次函数有最小值，最小值为-(m+2)2+2m(m+2)+n=m2+n-4，
∴m2+n-(m2+n-4)= 4，故D正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数解析式和二次函数的性质逐项解答即可.
12．（2024九上·镇海区期末）表中所列的7对值是二次函数图象上的点所对应的坐标，其中
7 14 14 7
根据表中提供的信息，有以下四个判断：
①；②；③当时，的值是；④其中判断正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】所以，据此判断即可．
【解答】解：，其对应的函数值是先增大后减小，
抛物线开口向下，
，①符合题意；
，
，②符合题意；
根据图表中的数据知，只有当是抛物线的对称轴，抛物线的顶点坐标纵坐标不一定是，故③不符合题意；
，，
，
，④符合题意．
综上，可得判断正确的是：①②④．
故答案为：C．
【分析】首先根据表格函数值的变化，可得抛物线开口向下，所以；然后根据函数值是先增大后减小，可得，可得二次函数有最大值，而且二次函数的最小值，
13．（2022九上·江门期末）如图，二次函数的图象与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点为B．有下列结论：①；②；③若，则；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（　　）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，故①符合题意；
二次函数的图象与x轴交于点，顶点坐标为，
由图可知抛物线与x轴的另一个交点为，
∴，故②符合题意；
∵抛物线与x轴交于点，
∴，
∴，
由①知，即，
∴．
∵，
∴，
∴，故③符合题意；
由图可知，二次函数的图象开口向下，有最大值，最大值为n，
∴抛物线与直线有两个交点，
∴关于x的方程有两个不相等的实数根，故④符合题意．
综上所述，正确的有①②③④共4个．
故答案为：D．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
14．（2023九上·盐城期中）若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，如：，，等都是“二倍点”.在的范围内，若二次函数的图像上至少存在一个“二倍点”，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得，二倍点所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”，
即在的范围内，二次函数和至少有一个交点，
令，整理得，，
∴，
解得，
把代入得，代入得，
，解得；
把代入得，代入得，
，解得：，
综上，c的取值范围为：．
故答案为：．
【分析】由题意得，二倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求解．
15．（2022九上·台州月考）如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，，则四边形周长的最大值为　 　.
【答案】6
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：当y=0时，-x2+x+2=0
解之：x1=-1，x2=2，
∴当0＜x＜2时y＞0
设点P（x，-x2+x+2），
∴矩形OAPB的周长为2（x-x2+x+2）=-2（x-1）2+6，
∵-2＜0，抛物线的开口向下，
∴当x=1时矩形OAPB的周长最大值为6.
故答案为：6.
【分析】由y=0，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到y＞0时x的取值范围；设点P（x，-x2+x+2），可得到矩形OAPB的周长与x的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质和x的取值范围可得到矩形OAPB的周长的最大值.
16．（2025九上·江北期末）二次函数 自变量 的部分取值和对应的函数值 如下表所示：
-1 0 1 2
下列说法正确的是　 　．（填写序号）
①抛物线的对称轴为直线 ；
②函数图象开口向上；
③当 时， 随 的增大而增大；
④当 时， 的取值范围是 ．
【答案】①②③
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 和 时的函数值相同，
∴对称轴为直线 故①正确；
∵当 时的函数值大于 时的函数值，
∴当 时的函数值是该函数的最小值，
∴函数图象开口向上，故②正确；
∴当 时，y随x的增大而增大，
∴当 时，y随x的增大而增大，故③正确；
的关于对称轴的对称点是(
∴当 时， x的取值范围是 或 故
④不正确.
故答案为： ①②③.
【分析】通过二次函数图象的对称性可得： 和 时的函数值相同，从而判断①；由表格数据可知 时的函数值是该函数的最小值，即可判断②；利用二次函数的增减性即可判断③；利用对称性和增减性即可判断④.
17．（2025九上·上城期末）已知二次函数（其中，为常数）．
（1）若函数图象的对称轴为直线，且经过点，求二次函数表达式；
（2）若该二次函数图象经过点，求的值；
（3）在（1）的条件下，若二次函数的图象上有两点，，对于，，总有，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵函数图象的对称轴为直线，且经过点，
∴，解得：，
∴；

（2）解：把代入，得：，
∴，
∴，
∴或；
（3）解：∵，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵对于，，总有，
∴，
∴．

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）待定系数法把代入解析式，进而即可求出函数解析式；
（2）把，代入函数解析式，得到：，进行求解即可；
（3）根据二次函数的增减性，进行求解即可．
（1）解：∵函数图象的对称轴为直线，且经过点，
∴，解得：，
∴；
（2）把代入，得：，
∴，
∴，
∴或；
（3）∵，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵对于，，总有，
∴，
∴．
18．（2021九上·柳江期中）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；
（3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P（xP，yP），当1≤xP≤a，1≤a≤5时，求△PCD面积的最大值（可含a表示）．
【答案】（1）解：抛物线过A（-1，0），对称轴为x=2，
∴，
解得，
∴抛物线表达式为y=x2-4x-5；
（2）解：过点C作CE⊥x轴于点E，
∵∠CAB=45°，
∴AE=CE，
设点C的横坐标为xc，则纵坐标为yc=xc+1，
∴C（xc，xc+1），
代入y=x2-4x-5得，
xc+1=-4xc-5，
解得xc=-1（舍去），xc=6，
∴yc=7，
∴点C的坐标是（6，7）；
（3）解：由（2）得C的坐标是（6，7），
∵对称轴x=2，
∴点D的坐标是（-2，7），
∴CD=8，
∵CD与x轴平行，点P在x轴下方，
设△PCD以CD为底边的高为h，
则h=|yp|+7，
∴当|yp|取最大值时，△PCD的面积最大，
∵1≤xp≤a，1≤a≤5，
①当1≤a＜2时，1≤xp≤a，此时y=x2-4x-5在1≤xp≤a上y随x的增大而减小，
∴|yp|max=|a2-4a-5|=5+4a-a2，
∴h=|yp|+7=12+4a-a2，
∴△PCD的最大面积为：
Smax=×CD×h=×8×（12+4a-a2）=48+16a-4a2；
②当2≤a≤5时，此时y=x2-4x-5的对称轴x=2含于1≤xp＜a内，
∴|yp|max=|22-4×2-5|=9，
∴h=9+7=16，
∴△PCD的最大面积为Smax=×CD×h=×8×16=64，
综上所述：当1≤a＜2时，△PCD的最大面积为48+16a-4a2；当2≤a≤5时，△PCD的最大面积为64．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将A（-1，0）代入可得1-b+c=0，根据对称轴为直线x=2可得=2，求出b、c的值，进而可得抛物线的解析式；
（2）过点C作CE⊥x轴于点E，则AE=CE，设C（xc，xc+1），代入y=x2-4x-5中求出xC的值，进而可得点C的坐标；
（3）由（2）得C（6，7），D（-2，7），则CD=8，设△PCD以CD为底边的高为h，则h=|yp|+7，然后分①1≤a＜2，②2≤a≤5，确定出y=x2-4x-5在1≤xp≤a上的增减性，得到|yp|max，然后表示出h，再根据三角形的面积公式进行解答.
三、拓展提升
19．（2024九上·岱山开学考）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
（1）①点的“纵横值”为 ；
②求出函数的“最优纵横值”；
（2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值；
（3）若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
【答案】（1）解：①.
②，∵，∴，∴函数的“最优纵横值”为2.
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵最优纵横值为5，
∴，
∴.
（3）解：，
若，则当时，；
即：，
解得：或（舍去）；
若，则当时，；
即：，
解得（舍）或；
综上所述：b的值为5或．
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；反比例函数图象上点的坐标特征；配方法的应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）解：①由题意得：点的“纵横值”为，故答案为：.
【分析】（1）①根据定义，求出y-x的值即可；
②根据定义， 先计算y-x的值，结合x的取值范围和反比例函数图象上点的坐标特征，即可求解；
（2）根据抛物线的对称轴求出b=3，故抛物线的解析式为y=-x2+3x+c，根据定义，求出y-x=-x2+3x+c-x=-（x-1）2+1+c，根据配方法可得x=1时，y-x的值最大为c+1，根据最优纵横值为5，即可得出1+c=5，解得c=4；
（3）根据定义，求出，结合故y-x与x的函数图象，关于直线x=b对称，且抛抛物线的开口向下，据此分为b＞0和b＜-1两种情况，分别计算求出b的值，即可求解.
20．（2023九上·泰兴期末）阅读材料：小明同学在平面直角坐标系中研究中点时，发现了一个有趣的结论：若，是平面直角坐标系内两点，是的中点，则有结论，.这其实就是中点坐标公式，有了这个公式可以解决很多坐标系中求中点坐标的问题.
已知：二次函数的函数图象上分别有A，B两点，其中，A，B分别在对称轴的异侧，C是中点，D是中点.利用阅读材料解决如下问题：
（1） 概念理解：
如图1，若，求出C，D的坐标.
（2） 解决问题：
如图2，点A是B关于y轴的对称点，作轴交抛物线于点E.延长至F，使得.试判断F是否在x轴上，并说明理由.
（3） 拓展探究：
如图3，是一个动点，作轴交抛物线于点E.延长至F，使得.
①令，试探究值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
②在①条件下，y轴上一点，抛物线上任意一点H，连接，，直接写出的最小值.
【答案】（1）解：∵，，C是中点，
∴，，
；
，，D是中点
，，
；
（2）解：F是在x轴上，理由如下：
，点A是B关于y轴的对称点，
，
是中点，D是中点，
，则；
轴交抛物线于点，
，
把代入得，，，
，，
轴，且，
是在x轴上；
（3）解：①，，C是中点，
；
是中点，
；
轴交抛物线于点E，
，
把代入得，，
轴交抛物线于点E.延长至F，使得，
，，
，即，
，，
，
点在上，，
，
轴，，
即，，，
综上是一个定值；
②
【知识点】二次函数的最值；关于坐标轴对称的点的坐标特征；线段的中点；点的坐标与象限的关系；二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：（3）②∵是y轴上一点，H是抛物线上任意一点，，
∴当点G、H、F共线时，最小，最小值为的长度，
∵，
∴
，
∵，
∴当时，最小，最小值为，
此时，最小为，
故的最小值为.
【分析】（1）根据中点坐标公式进行解答；
（2）关于y轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得点A的坐标，由C是AB的中点，D是BC的中点可得点C、D的坐标，由DE∥y轴可得xE=xD=1，将xE=1代入抛物线解析式中求出yE，得到点E的坐标，然后求出DE、EF的值，据此解答；
（3）①根据中点坐标公式可得点C、D的坐标，由DE∥y轴可得xE=xD，将xE代入抛物线解析式中求出yE，表示出点E的坐标，然后表示出yF，根据点A（m，n）在抛物线上可得n=m2，据此解答；
②由题意可得：当点G、H、F共线时，GH+HF最小，最小值为GF的长度，根据勾股定理表示出GF2，然后根据二次函数的性质进行解答.
21．（2024九上·西塘开学考）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出，求二次函数的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表：
a … 0 2 4 …
x … * 2 0 …
y的最小值 … * …
注：*为②的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．
【答案】解：（1）①把代入，得：；
∴；
②∵，
∴当时，有最小值为；
（2）∵，
∵抛物线的开口向上，
∴当时，有最小值；
∴甲的说法合理；
（3）正确；
∵，
∴当时，有最小值为，
即：，
∴当时，有最大值，为．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）①把代入解析式即可求出答案.
②将一般式转化为顶点式，结合二次函数的性质即可求出答案.
（2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质即可求出答案.
（3）将一般式转化为顶点式，表示出的最大值，再利用二次函数求最值即可.
1 / 11.3 《二次函数的性质》—浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2025九上·钱塘期末）关于二次函数，下列说法正确的是（　　）
A．当时，函数有最小值3 B．当时，函数有最大值3
C．当时，函数有最小值3 D．当时，函数有最大值3
2．（2025九上·温州期末）已知 ，下列说法正确的是（ ）
A．当 时， 有最小值 B．当 时， 有取大值
C．当 时， 有最小值 D．当 时， 有最大值
3．已知二次函数y=ax2+bx+c，且ac＜0，则它的图象经过(　　)
A．一、二、三象限 B．二、三、四象限
C．一、三、四象限 D．一、二、三、四象限
4．（2024九上·三门期末）二次函数的图象的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
5．（2024九上·天台期末）已知抛物线，当时，y的取值范围是　 　．
6．（2024九上·浙江期中）若点A（0，y1），B（1，y2），C（3，y3）在抛物线y＝（x﹣1）2+k上，则y1，y2，y3的大小关系为 　 　（用“＞”连接）．
7．（2024九上·柯城期中）已知：二次函数的图象经过点．
（1）求的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
（3）当取何值时，随的增大而减小．
8．（2024八下·宁波期末）如图，已知二次函数图象经过点和点
（1）求该二次函数的解析式
（2）结合函数图象，直接写出：当时，函数y的取值范围
二、能力提升
9．（2024九上·翁源期中）设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024九上·乌鲁木齐月考）二次函数在的范围内有最小值为，则c的值（　　）
A．3或 B． C．或1 D．3
11．（2024九上·宁波期末）已知关于x的二次函数（m，n为常数），则下列说法正确的是（　　）
A．开口向上
B．对称轴在y轴的左侧
C．若，该函数图象与x轴没有交点
D．当时，该函数的最大值与最小值的差为4
12．（2024九上·镇海区期末）表中所列的7对值是二次函数图象上的点所对应的坐标，其中
7 14 14 7
根据表中提供的信息，有以下四个判断：
①；②；③当时，的值是；④其中判断正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2022九上·江门期末）如图，二次函数的图象与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点为B．有下列结论：①；②；③若，则；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（　　）．
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2023九上·盐城期中）若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，如：，，等都是“二倍点”.在的范围内，若二次函数的图像上至少存在一个“二倍点”，则的取值范围是　 　．
15．（2022九上·台州月考）如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，，则四边形周长的最大值为　 　.
16．（2025九上·江北期末）二次函数 自变量 的部分取值和对应的函数值 如下表所示：
-1 0 1 2
下列说法正确的是　 　．（填写序号）
①抛物线的对称轴为直线 ；
②函数图象开口向上；
③当 时， 随 的增大而增大；
④当 时， 的取值范围是 ．
17．（2025九上·上城期末）已知二次函数（其中，为常数）．
（1）若函数图象的对称轴为直线，且经过点，求二次函数表达式；
（2）若该二次函数图象经过点，求的值；
（3）在（1）的条件下，若二次函数的图象上有两点，，对于，，总有，求的取值范围．
18．（2021九上·柳江期中）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；
（3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P（xP，yP），当1≤xP≤a，1≤a≤5时，求△PCD面积的最大值（可含a表示）．
三、拓展提升
19．（2024九上·岱山开学考）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
（1）①点的“纵横值”为 ；
②求出函数的“最优纵横值”；
（2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值；
（3）若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
20．（2023九上·泰兴期末）阅读材料：小明同学在平面直角坐标系中研究中点时，发现了一个有趣的结论：若，是平面直角坐标系内两点，是的中点，则有结论，.这其实就是中点坐标公式，有了这个公式可以解决很多坐标系中求中点坐标的问题.
已知：二次函数的函数图象上分别有A，B两点，其中，A，B分别在对称轴的异侧，C是中点，D是中点.利用阅读材料解决如下问题：
（1） 概念理解：
如图1，若，求出C，D的坐标.
（2） 解决问题：
如图2，点A是B关于y轴的对称点，作轴交抛物线于点E.延长至F，使得.试判断F是否在x轴上，并说明理由.
（3） 拓展探究：
如图3，是一个动点，作轴交抛物线于点E.延长至F，使得.
①令，试探究值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
②在①条件下，y轴上一点，抛物线上任意一点H，连接，，直接写出的最小值.
21．（2024九上·西塘开学考）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出，求二次函数的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表：
a … 0 2 4 …
x … * 2 0 …
y的最小值 … * …
注：*为②的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵二次函数中，
∴二次函数当时，函数有最大值3，
故答案为：D．
【分析】利用二次函数的最值解题．
2．【答案】C
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：
A.∵当 1时，y有最小值，∴A选项不正确；
B.∵当 时，y有最大值，∴B选项不正确；
C.∵当 时，y有最小值，∴C选项正确；
D.∵当 时，y有最大值，∴D选项不正确.
故答案为： C.
【分析】配方解析式化成顶点式，画出图象，由图象的对称性增减性顶点，确定函数的最大值或最小值，逐一判断即得.
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】由ac＜0，可判断b2-4ac＞0，方程ax2+bx+c=0的有两个异号根，根据抛物线与x轴的交点问题得到抛物线与x轴有两个交点分别在y轴的两侧，然后分类讨论：当a＞0时，c＜0或
当a＜0时，c＞0时，根据二次函数图象与系数的关系易得抛物线经过第一、二、三、四象限．
【解答】∵ac＜0，
∴△=b2-4ac＞0，方程ax2+bx+c=0的有两个异号根，
∴抛物线与x轴有两个交点，两交点分别在y轴的两侧，
当a＞0时，c＜0，抛物线经过第一、二、三、四象限；
当a＜0时，c＞0，抛物线经过第一、二、三、四象限，
综上所述，抛物线经过第一、二、三、四象限．
故选D．
4．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：二次函数的图象的对称轴为．
故答案为：C ．
【分析】利用抛物线的对称轴公式计算解题．
5．【答案】
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线开口向上，
∵0＜x＜5，且1-0＜5-1，
∴当x=1时该函数的值最小，为-4，x=5时，该函数的值最大，为y=52-2×5-3=12
∴当时，y的取值范围是，
故答案为：．
【分析】将二次函数解析式利用配方法化为顶点式得出抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线开口向上，从而可得抛物线上的点离对称轴越远，其函数值越大，故当x=1时该函数的值最小，x=5时，该函数的值最大，据此求解即可.
6．【答案】y3＞y1＞y
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线对称轴x=1，二次项系数a=1＞0
∵A、B在抛物线对称轴的左侧，0＜1
∴y1＞y2 ∵ 0-1<1-3 ，
即点A离对称轴比点B离对称轴近
∴y3＞y1
∴y3＞y1＞y2
故答案为：y3＞y1＞y2.
【分析】根据抛物线的性质，当a＞0时，自变量x越靠近对称轴，函数值就越小；当a＜0时，自变量x越靠近对称轴，函数值就越大.
7．【答案】（1）解：∵ 二次函数的图象经过点 ，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；
（3）解：∵，
∴a=1>0，
∴二次函数图象开口向上，
由（1）得二次函数图象对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）将点（3，0）代入二次函数解析式，即可求解；
（2）将二次函数一般式转化为顶点式，即可求解；
（3）先根据二次函数的性质得二次函数图象开口向上，然后根据二次函数的增减性进行作答即可．
（1）解：把代入，得：，
∴；
（2）由（1）知：，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；
（3）∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线；
∴当时，随的增大而减小．
8．【答案】（1）解：将点A和点C的坐标代入函数解析式，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为；

（2）抛物线的对称轴为，∵，
∴当时，y取得最大值为：，
当时，，
当时，，
∴函数y的取值范围：．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】
（1）根据待定系数法，将和点 代入函数解析式即可求出函数解析式；
（2）根据二次函数图象及其性质即可得到结论．
（1）解：将点A和点C的坐标代入函数解析式，
得，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）抛物线的对称轴为，
∵，
∴当时，y取得最大值为：，
当时，，
当时，，
∴函数y的取值范围：．
9．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，
可知，抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵，，是抛物线上的三点，
且，
∴，
故答案为：D．
【分析】由题意，先将抛物线的解析式配成顶点式，根据解析式可知：a=-1＜0，可得抛物线开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越小，然后根据三个点到对称轴的距离即可判断求解．
10．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵a=-1，b=-2
∴二次函数图象的对称轴为直线，
∵，
∴二次函数的图象开口向下，在对称轴处取最大值
∴离对称轴越远函数值越小
∵，且，
∴当时，二次函数取最小值，最小值为，
∵在的范围内有最小值为，
∴，
解得：或3．
故选：A
【分析】
根据一般式求对称轴的公式，可求对称轴为直线，根据自变量x的取值范围以及对称轴可得当时，二次函数取最小值，最小值为，从而得到，即可求解．
11．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：A、∵a=-1<0，
∴抛物线开口向下，故A错误，不符合题意；
B、∵二次函数的对称轴为直线，
∴当m>0时，对称轴为y轴右侧，当m<0时，对称轴为y轴左侧，当m=0时，对称轴为y轴，故B错误，不符合题意；
C、∵m+n=1，
∴，
∴函数图象与x轴有两个交点，故C错误，不符合题意；
D、∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=m，
∴二次函数的最大值为-m2+2m2+n= m2+n，
∵m+2-m=2>m-(m-1)=1，
∴当x=m+2时，二次函数有最小值，最小值为-(m+2)2+2m(m+2)+n=m2+n-4，
∴m2+n-(m2+n-4)= 4，故D正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数解析式和二次函数的性质逐项解答即可.
12．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】所以，据此判断即可．
【解答】解：，其对应的函数值是先增大后减小，
抛物线开口向下，
，①符合题意；
，
，②符合题意；
根据图表中的数据知，只有当是抛物线的对称轴，抛物线的顶点坐标纵坐标不一定是，故③不符合题意；
，，
，
，④符合题意．
综上，可得判断正确的是：①②④．
故答案为：C．
【分析】首先根据表格函数值的变化，可得抛物线开口向下，所以；然后根据函数值是先增大后减小，可得，可得二次函数有最大值，而且二次函数的最小值，
13．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，故①符合题意；
二次函数的图象与x轴交于点，顶点坐标为，
由图可知抛物线与x轴的另一个交点为，
∴，故②符合题意；
∵抛物线与x轴交于点，
∴，
∴，
由①知，即，
∴．
∵，
∴，
∴，故③符合题意；
由图可知，二次函数的图象开口向下，有最大值，最大值为n，
∴抛物线与直线有两个交点，
∴关于x的方程有两个不相等的实数根，故④符合题意．
综上所述，正确的有①②③④共4个．
故答案为：D．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
14．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得，二倍点所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”，
即在的范围内，二次函数和至少有一个交点，
令，整理得，，
∴，
解得，
把代入得，代入得，
，解得；
把代入得，代入得，
，解得：，
综上，c的取值范围为：．
故答案为：．
【分析】由题意得，二倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求解．
15．【答案】6
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：当y=0时，-x2+x+2=0
解之：x1=-1，x2=2，
∴当0＜x＜2时y＞0
设点P（x，-x2+x+2），
∴矩形OAPB的周长为2（x-x2+x+2）=-2（x-1）2+6，
∵-2＜0，抛物线的开口向下，
∴当x=1时矩形OAPB的周长最大值为6.
故答案为：6.
【分析】由y=0，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到y＞0时x的取值范围；设点P（x，-x2+x+2），可得到矩形OAPB的周长与x的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质和x的取值范围可得到矩形OAPB的周长的最大值.
16．【答案】①②③
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 和 时的函数值相同，
∴对称轴为直线 故①正确；
∵当 时的函数值大于 时的函数值，
∴当 时的函数值是该函数的最小值，
∴函数图象开口向上，故②正确；
∴当 时，y随x的增大而增大，
∴当 时，y随x的增大而增大，故③正确；
的关于对称轴的对称点是(
∴当 时， x的取值范围是 或 故
④不正确.
故答案为： ①②③.
【分析】通过二次函数图象的对称性可得： 和 时的函数值相同，从而判断①；由表格数据可知 时的函数值是该函数的最小值，即可判断②；利用二次函数的增减性即可判断③；利用对称性和增减性即可判断④.
17．【答案】（1）解：∵函数图象的对称轴为直线，且经过点，
∴，解得：，
∴；

（2）解：把代入，得：，
∴，
∴，
∴或；
（3）解：∵，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵对于，，总有，
∴，
∴．

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）待定系数法把代入解析式，进而即可求出函数解析式；
（2）把，代入函数解析式，得到：，进行求解即可；
（3）根据二次函数的增减性，进行求解即可．
（1）解：∵函数图象的对称轴为直线，且经过点，
∴，解得：，
∴；
（2）把代入，得：，
∴，
∴，
∴或；
（3）∵，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵对于，，总有，
∴，
∴．
18．【答案】（1）解：抛物线过A（-1，0），对称轴为x=2，
∴，
解得，
∴抛物线表达式为y=x2-4x-5；
（2）解：过点C作CE⊥x轴于点E，
∵∠CAB=45°，
∴AE=CE，
设点C的横坐标为xc，则纵坐标为yc=xc+1，
∴C（xc，xc+1），
代入y=x2-4x-5得，
xc+1=-4xc-5，
解得xc=-1（舍去），xc=6，
∴yc=7，
∴点C的坐标是（6，7）；
（3）解：由（2）得C的坐标是（6，7），
∵对称轴x=2，
∴点D的坐标是（-2，7），
∴CD=8，
∵CD与x轴平行，点P在x轴下方，
设△PCD以CD为底边的高为h，
则h=|yp|+7，
∴当|yp|取最大值时，△PCD的面积最大，
∵1≤xp≤a，1≤a≤5，
①当1≤a＜2时，1≤xp≤a，此时y=x2-4x-5在1≤xp≤a上y随x的增大而减小，
∴|yp|max=|a2-4a-5|=5+4a-a2，
∴h=|yp|+7=12+4a-a2，
∴△PCD的最大面积为：
Smax=×CD×h=×8×（12+4a-a2）=48+16a-4a2；
②当2≤a≤5时，此时y=x2-4x-5的对称轴x=2含于1≤xp＜a内，
∴|yp|max=|22-4×2-5|=9，
∴h=9+7=16，
∴△PCD的最大面积为Smax=×CD×h=×8×16=64，
综上所述：当1≤a＜2时，△PCD的最大面积为48+16a-4a2；当2≤a≤5时，△PCD的最大面积为64．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将A（-1，0）代入可得1-b+c=0，根据对称轴为直线x=2可得=2，求出b、c的值，进而可得抛物线的解析式；
（2）过点C作CE⊥x轴于点E，则AE=CE，设C（xc，xc+1），代入y=x2-4x-5中求出xC的值，进而可得点C的坐标；
（3）由（2）得C（6，7），D（-2，7），则CD=8，设△PCD以CD为底边的高为h，则h=|yp|+7，然后分①1≤a＜2，②2≤a≤5，确定出y=x2-4x-5在1≤xp≤a上的增减性，得到|yp|max，然后表示出h，再根据三角形的面积公式进行解答.
19．【答案】（1）解：①.
②，∵，∴，∴函数的“最优纵横值”为2.
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵最优纵横值为5，
∴，
∴.
（3）解：，
若，则当时，；
即：，
解得：或（舍去）；
若，则当时，；
即：，
解得（舍）或；
综上所述：b的值为5或．
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；反比例函数图象上点的坐标特征；配方法的应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）解：①由题意得：点的“纵横值”为，故答案为：.
【分析】（1）①根据定义，求出y-x的值即可；
②根据定义， 先计算y-x的值，结合x的取值范围和反比例函数图象上点的坐标特征，即可求解；
（2）根据抛物线的对称轴求出b=3，故抛物线的解析式为y=-x2+3x+c，根据定义，求出y-x=-x2+3x+c-x=-（x-1）2+1+c，根据配方法可得x=1时，y-x的值最大为c+1，根据最优纵横值为5，即可得出1+c=5，解得c=4；
（3）根据定义，求出，结合故y-x与x的函数图象，关于直线x=b对称，且抛抛物线的开口向下，据此分为b＞0和b＜-1两种情况，分别计算求出b的值，即可求解.
20．【答案】（1）解：∵，，C是中点，
∴，，
；
，，D是中点
，，
；
（2）解：F是在x轴上，理由如下：
，点A是B关于y轴的对称点，
，
是中点，D是中点，
，则；
轴交抛物线于点，
，
把代入得，，，
，，
轴，且，
是在x轴上；
（3）解：①，，C是中点，
；
是中点，
；
轴交抛物线于点E，
，
把代入得，，
轴交抛物线于点E.延长至F，使得，
，，
，即，
，，
，
点在上，，
，
轴，，
即，，，
综上是一个定值；
②
【知识点】二次函数的最值；关于坐标轴对称的点的坐标特征；线段的中点；点的坐标与象限的关系；二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：（3）②∵是y轴上一点，H是抛物线上任意一点，，
∴当点G、H、F共线时，最小，最小值为的长度，
∵，
∴
，
∵，
∴当时，最小，最小值为，
此时，最小为，
故的最小值为.
【分析】（1）根据中点坐标公式进行解答；
（2）关于y轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得点A的坐标，由C是AB的中点，D是BC的中点可得点C、D的坐标，由DE∥y轴可得xE=xD=1，将xE=1代入抛物线解析式中求出yE，得到点E的坐标，然后求出DE、EF的值，据此解答；
（3）①根据中点坐标公式可得点C、D的坐标，由DE∥y轴可得xE=xD，将xE代入抛物线解析式中求出yE，表示出点E的坐标，然后表示出yF，根据点A（m，n）在抛物线上可得n=m2，据此解答；
②由题意可得：当点G、H、F共线时，GH+HF最小，最小值为GF的长度，根据勾股定理表示出GF2，然后根据二次函数的性质进行解答.
21．【答案】解：（1）①把代入，得：；
∴；
②∵，
∴当时，有最小值为；
（2）∵，
∵抛物线的开口向上，
∴当时，有最小值；
∴甲的说法合理；
（3）正确；
∵，
∴当时，有最小值为，
即：，
∴当时，有最大值，为．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）①把代入解析式即可求出答案.
②将一般式转化为顶点式，结合二次函数的性质即可求出答案.
（2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质即可求出答案.
（3）将一般式转化为顶点式，表示出的最大值，再利用二次函数求最值即可.
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