资源简介

1.4 《二次函数的应用》（1）—浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2024九上·柯城期中）某同学在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离，则该同学此次掷球的成绩(即的长度)是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023九上·路桥月考）如图是抛物线形拱桥的示意图，已知水面宽4m，顶点离水面2m．当水面宽6m时，水面下降（　　）
A．1m B．1.5m C．2.5m D．4.5m
3．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（　　）
A．60m2 B．63m2 C．64m2 D．66m2
4．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度(单位：)与水平距离(单位：)之间的关系是，则铅球推出的距离　 　m．
5．（2023九上·义乌月考）如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是y＝﹣x2，当水位线在AB位置时，水面宽为12米，这时水面离桥顶的高度h是　 　米．
6．（2021九上·普宁期末）用长12m的铝合金条制成矩形窗框（如图所示），那么这个窗户的最大透光面积是　 　（中间横框所占的面积忽略不计）
7．（2025九上·嘉兴期末）如图为一座拱桥的示意图，桥洞的拱形是抛物线，已知水面宽，桥洞顶部离水面．
（1）请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．
（2）若有一艘船的宽度为，高度为，则这艘船能否从该桥下通过？
8．（2025九上·海曙期末）用 12米长的铝合金型材制成如图1所示的矩形窗框（铝合金型材宽度不计）
（1）窗框的宽为多少米时，窗户的透光面积最大 最大透光面积是多少
（2）若制成如图2所示的窗框（上部分为半圆，下部分为矩形），求该窗户的最大透光面积（π取 3）.
二、能力提升
9．（2024九下·抚顺开学考）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（　　）
A．18m2 B．m2 C．m2 D．m2
10．（2019·菏泽）如图，正方形 的边长为 ，动点 ， 同时从点 出发，在正方形的边上，分别按 ， 的方向，都以 的速度运动，到达点 运动终止，连接 ，设运动时间为 ， 的面积为 ，则下列图象中能大致表示 与 的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2024九上·温州期中）某弹性小球从地面以初速度（米/秒）竖直向上抛出，其高度（米）与时间（秒）的关系为．当初速度为时，达到最大高度后落回地面用时（如图1）；落地后再次以初速度竖直向上弹起至最大高度，再落回地面用时（如图2）．已知，则的值为（　　）
A．5：2 B． C．3：2 D．
12．如图，壮壮同学投掷实心球，出手(点 P 处)的高度OP 是 m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m ，高度是 4 m.若实心球落地点为M，则OM=　 　m.
13．（2025·江油模拟）如图，某农场拟建造由甲．乙两个矩形组成的羊圈，饲养室的一面靠长的墙AB，其余的部分用栅栏围成甲、乙两部分．已知提前准备的建筑材料可以建造长的栅栏，则该羊圈最大面积可以建造　 　
14．（2025九下·宁波月考）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面，安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距0点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距0点3m.那么喷头高　 　m时，水柱落点距离O点2m.
15．（2025八下·慈溪期末）甲同学家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙MN，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场ABCD，已知木栏总长为50米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设AB长为x米。
（1）如图1，当AD≤MN时，
①AD= 米（用含x的代数式表示）。
②若围成的养鸡场面积为138平方米，求AB的长。
（2）如图2，当AD>MN时，求养鸡场可达到的最大面积。
16．（2025·红花岗模拟）如图①有一座拱桥，已知桥洞的拱形呈抛物线型．如图②，当水面宽为时，桥洞顶部离水面高为．如图③所示建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知该拱桥限高米，要使船只通过此拱桥，求可通行船只的最大宽度；
（3）现有两艘宽都为米，高出水面米的船只，同时到达该拱桥，因降暴雨，水位上升米．请问两船能否在桥下顺利交汇？（不考虑两船间的空隙）．
三、综合拓展
17．（2024·湖南模拟）如图，四边形为菱形，为上一点，的垂直平分线交于点F，若，记的面积最大值为S，周长最小值为l，则（　　）
A． B． C． D．
18．（2020九上·硚口月考）如图 和 都是边长为2的等边三角形，它们的边 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
19．（2024九上·宽城期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点.矩形的边在线段上，点C、D在抛物线上，则矩形周长的最大值为　 　.
20．（2025·深圳模拟） 综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观．
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？
（1）【分析问题】
①二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线　 　；
②如图2，已知二次函数经过点，且与图象均经过和，则的取值范围是　 　；
（2）解决问题】
以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围．
21．（2024·桂林一模）综合与实践
【材料阅读】我们知道，，展开移项得，当时，取到等号；我们可以利用它解决形如“（，为常数且）的最小值”问题.
例如：求式子的最小值.
解：，当时，即时，式子有最小值，最小值为4.
【学以致用】在一次踏青活动中，某数学兴趣小组围绕着一个有一面靠墙（墙的长度为）的矩形篱笆花园（如图1所示）的面积和篱笆总长与的长度之间的关系进行了研究分析.
（1）当该矩形花园的面积为，篱笆总长为时，求的值；
（2）当篱笆总长为时，
①写出关于的函数关系式，并写出的取值范围；
②当取何值时，有最大值？最大值是多少？
（3）当面积为时，关于的函数解析式为，数学兴趣小组的小李同学利用数学软件作出了其函数图象如图2所示，点为图象的最低点，观察图象并结合[材料阅读]，当自变量的取值范围为多少时，随的增大而减小？（直接写出的取值范围）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：令，得，
∴，（舍去），
∴点A的坐标为（9，0），
∴OA=9，
故答案为：D．
【分析】令，求出的值，从而可得出点的坐标，进而可求出OA的长度.
2．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：设抛物线的解析式为y=a+c；
由图可知，图像经过点（0，2）和（2，0），将其代入函数，
可得，解得c=2，a=-；
∴解析式为y=-+2
当水面宽6m时，横坐标为3，将其带入函数，
可得y=-×9+2=-2.5；
∴此时水面下降2.5m
故答案为：C.
【分析】根据待定系数法解二次函数，可以求出抛物线的解析式；
根据二次函数的性质，已知横坐标，将其带入函数，即可求出纵坐标的值.
3．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设BC=xm，则AB=（16﹣x）m，矩形ABCD面积为ym2，
根据题意得：y=（16﹣x）x=﹣x2+16x=﹣（x﹣8）2+64，
当x=8m时，ymax=64m2，
则所围成矩形ABCD的最大面积是64m2．
故选C．
【分析】设BC=xm，表示出AB，矩形面积为ym2，表示出y与x的关系式，利用二次函数性质求出面积最大值即可．
4．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：令y=0，则，
解得x1=10，x2=-4，
故OA=10m.
故答案为：10.
【分析】令y=0，求出A点的横坐标，即可得OA的长.
5．【答案】9
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：由题意得AB=12米，∴B点的横坐标为6，
把x=6代入 ，
得，
即水面离桥顶的高度h是9米.
故答案为：9.
【分析】根据题意B点的横坐标为6，代入计算求解即可.
6．【答案】6m2
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设窗户竖着的边长长为米，横着的边长为米，
当时，取得最大值，为6
故答案为：6m2
【分析】先求出，再计算求解即可。
7．【答案】（1）解：按如图方式建立直角坐标系（答案不唯一），
设抛物线解析式为：，
把代入，得，
解得：，
．
（2）解：能通过，理由如下：
当时，，
能通过．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）以抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，然后用待定系数法（利用顶点式）求出抛物线解析式即可；
（2）把代入（1）所求抛物线解析式，算出对应的函数值，然后作出判断即可．
（1）解：按如图方式建立直角坐标系（答案不唯一），
设抛物线解析式为：，
把代入，得，
解得：，
．
（2）解：当时，，
能通过．
8．【答案】（1）设矩形窗框的宽AD为x米，窗户的透光面积为S平方米，如图所示：
则 (米) ，
根据题意得：
∴当 时， S最大， 最大值为6，∴窗框的宽为2米时，窗户的透光面积最大，最大透光面积是6平方米；
（2）解：设矩形窗框的宽AD为x米，窗户的透光面积为S平方米，如上图所示：
则半圆周长为 (米)，
米，
∴当 时，S最大，最大值为
答：该窗户的最大透光面积为 平方米.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)设窗框的宽为. 则长为 (米)，表示出面积利用二次函数最值求法得出即可；
(2)设矩形窗框的宽AD为x米，窗户的透光面积为S平方米，则半圆周长为 (米)，
米，根据窗户的透光面积=半圆的面积+矩形的面积列出函数解析式，根据函数的性质求最值.
9．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
∴，
∵四边形是直角梯形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴梯形的面积为：，
∴当时，梯形ABCD的最大面积为m2；
故答案为：C．
【分析】过点作于，先证明四边形是矩形，根据矩形的性质设，则，同时求出，由含30°的直角三角形的性质得，解直角三角形得，，然后利用梯形面积公式得梯形面积S关于x的函数关系式，最后利用二次函数最值知识进行求解即可.
10．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】①当 时，
∵正方形的边长为 ，
∴ ；
②当 时，
，
所以， 与 之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合，
故答案为：A．
【分析】由题意分析，当P运动到D，此时Q运动到B时△APQ的面积最大，此过程中△APQ为等腰直角三角形，面积y为关于x的二次函数；
当P从D运动到C的过程中△APQ为等腰三角形，面积用割补法求得，即，可得到y关于x的二次函数，通过这两个函数即可得到相应的函数图象。
11．【答案】D
【知识点】最简二次根式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由题意得，，
∵，
∴，
故选：D．
【分析】根据二次函数的顶点坐标公式求得和，然后根据求比值即可．
12．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：如图，以点O为坐标原点，射线OM方向为心轴正半轴，射线OP方向为则轴正半轴建立平面直角坐标系，
∵抛物线的顶点坐标为(5，4)，
∴设抛物线解析式为y=a(x-5)2+4，
已知出手点P处的高度OP是4，即当x=0时，，把点代入y=a(x-5)2+4，
可得：，
∴抛物线解析式为，
∵实心球落地点为M，此时实心球高度为0，即y=0，令y=0，则-(x-5)2+4=0，
解得：，
∵距离不为负，
∴OM的长度为m，
故答案为：.
【分析】首先根据抛物线顶点坐标设出顶点式解析式，然后将已知点代入解析式求出参数，最后令函数值为0求出落地点的横坐标，即OM的长度.
13．【答案】48
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设宽为x米，则长为米，
则，
解得：
由题意得：，
∵，
∴当时，取得最大值，
即该羊圈最大面积可以建造，
故答案为：48．
【分析】设宽为x米，则长为米，先求出的取值范围，再根据面积公式建立函数关系式，结合二次函数性质即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设抛物线解析式为，
当喷头高2.5m时，，化简得，
当喷头高4m时，，化简得，
得，
把代入，得，
抛物线解析式为，
把代入解析式，可得，
抛物线解析式为，
当时，，
喷头高m， 水柱落点距离O点2m.
故答案为：.
【分析】设抛物线解析式为，根据题意可得喷头上下移动时抛物线图象的形状和对称轴不变，利用二次函数的性质求得a、b的值，进而得到抛物线解析式为，再代入求得水柱落点距离O点2m时的函数解析式，进而计算出喷头的高度.
15．【答案】（1）解：①（52-2x）
②∵，
∴解得，。
∵，
∴ AB的长为23米。
（2）解： ，
养鸡场 ABCD 的面积 。
，
。
当时，养鸡场面积可以达到最大值平方米。
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）①AD=50+2-2x=52-2x
【分析】（1）①AD＝木栏长＋门长 2×AB；
②养鸡场的面积＝AB AD，把相关数值代入求得合适的x的解即可；
（2），设养鸡场的面积为y，进而根据二次函数的性质可得y的最大值．
16．【答案】（1）解：根据题意，得：，，，
设抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，得：，
解得：或，
∴（米），
∴可通行船只的最大宽度为米；
（3）解：当时，，
∵，
∴两船不能在桥下顺利交汇．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出，再解方程求出x的值，最后计算求解即可；
（3）根据题意先求出，再计算求解即可.
（1）解：根据题意，得：，，，
设抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）当时，得：，
解得：或，
∴（米），
∴可通行船只的最大宽度为米；
（3）当时，，
∵，
∴两船不能在桥下顺利交汇．
17．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，过点作，交延长线于点，连接，
∵四边形为菱形，，，
，
∴在中，，
设，则，
，
∵的垂直平分线交于点，
，
，
，
设，则，
，
在中，，即，
解得，
，，
则的面积为，
由二次函数的性质可知，当时，的面积最大，最大值为，
的周长为，
由二次函数的性质可知，当时，的周长最小，最小值为，
故答案为：A．
【分析过点C作CM⊥AD于点M，过点E作EN⊥AD，交DA延长线于点N，连接CF，设AF=x，用含x的代数式表示FM和EF的长，设AN=y，用含y的代数式表示AE和EN的长，分别利用含x的式子将的面积和周长表示出来，利用二次函数的性质求解即可．
18．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：C点移动到F点，重叠部分三角形的边长为x，由于是等边三角形，则高为 ，面积为y=x· · = ，
B点移动到F点，重叠部分三角形的边长为(4－x)，高为 ，面积为
y=(4－x)· · = ，
两个三角形重合时面积正好为 .
由二次函数图象的性质可判断答案为A，
故答案为：A.
【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x，根据特殊角三角函数可得高为 ，由此得出面积y是x的二次函数，直到重合面积固定，再往右移动重叠部分的边长变为(4－x)，同时可得
19．【答案】13
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设点D的横坐标为m，则点D的纵坐标为，
∴AD=，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴点C的横坐标为3-（m-3）=6-m，
∴CD=2m-6，
∴矩形ABCD的周长=，
∴当m=5时，矩形周长有最大值为13，
故答案为：13.
【分析】设点D的横坐标为m，则点D的纵坐标为，先求出矩形ABCD的周长为，再利用二次函数的最大值求解即可.
20．【答案】（1）；
（2）解：如图所示，将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间．
由题意得，，，
∴，；
设新拱门抛物线解析式为
∴抛物线顶点坐标为
∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半，
∴，
解得，（不符题意，舍去），
∴新拱门抛物线解析式为
将代入得，，解得
∴，
∵原拱门拱顶距地面为4米，
∴
将代入得，，解得，
∴
将代入得，，解得
∴
∴
综上所述，的取值范围是或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：（1）①由中点坐标公式得：x＝（2＋5）＝，
故答案为：x＝；
②由题意得：y1＝a1（x 2）（x 5）＝a1（x2 7x＋10），
则10a＝6，则a1＝，
由题意知，y2的开口比y1的小，
则a2＞，
故答案为：a2＞．
【分析】（1）①利用轴对称公式列出算式求解即可；
②根据题意列出方程10a＝6，求出a的值，再结合y2的开口比y1的小，求出a2＞即可；
（2）设新拱门抛物线解析式为，求出抛物线顶点坐标为，再将点B、D的坐标分别代入解析式求出h的值，从而可得h的取值范围.
21．【答案】（1）解：依题可知，即：，
解得，，
当时，，不符合题意，舍去，
.
（2）解：①S=a（20-2a），
∵，
解得：4≤a＜10，
故S=a（20-2a）=-2a2+20a（4≤a＜10）；
② S=-2a2+20a=-2（a-5）2+50 ，
∵-2＜0，4≤a＜10，
∴当a=5时，S有最大值，最大值为50.
（3）解：根据题意可得： ，
即，
当时，有最小值为16，
解得：a=4或a=-4（舍去），
∴点P的坐标为（4，16），
又∵a＞0且，
解得：，
综上，当时，l随a的增大而减小.
【知识点】解一元一次不等式；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意可得BC=20-2a，列一元二次方程，解方程即可；
（2）①根据面积公式列出函数解析式，根据实际意义列出不等式组，求出a的取值范围；
②根据二次函数的性质最值分析即可；
（3）根据题意求得a=4，得出点P的坐标，结合实际意义求出a的取值范围，即可求解.
1 / 11.4 《二次函数的应用》（1）—浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2024九上·柯城期中）某同学在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离，则该同学此次掷球的成绩(即的长度)是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：令，得，
∴，（舍去），
∴点A的坐标为（9，0），
∴OA=9，
故答案为：D．
【分析】令，求出的值，从而可得出点的坐标，进而可求出OA的长度.
2．（2023九上·路桥月考）如图是抛物线形拱桥的示意图，已知水面宽4m，顶点离水面2m．当水面宽6m时，水面下降（　　）
A．1m B．1.5m C．2.5m D．4.5m
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：设抛物线的解析式为y=a+c；
由图可知，图像经过点（0，2）和（2，0），将其代入函数，
可得，解得c=2，a=-；
∴解析式为y=-+2
当水面宽6m时，横坐标为3，将其带入函数，
可得y=-×9+2=-2.5；
∴此时水面下降2.5m
故答案为：C.
【分析】根据待定系数法解二次函数，可以求出抛物线的解析式；
根据二次函数的性质，已知横坐标，将其带入函数，即可求出纵坐标的值.
3．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（　　）
A．60m2 B．63m2 C．64m2 D．66m2
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设BC=xm，则AB=（16﹣x）m，矩形ABCD面积为ym2，
根据题意得：y=（16﹣x）x=﹣x2+16x=﹣（x﹣8）2+64，
当x=8m时，ymax=64m2，
则所围成矩形ABCD的最大面积是64m2．
故选C．
【分析】设BC=xm，表示出AB，矩形面积为ym2，表示出y与x的关系式，利用二次函数性质求出面积最大值即可．
4．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度(单位：)与水平距离(单位：)之间的关系是，则铅球推出的距离　 　m．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：令y=0，则，
解得x1=10，x2=-4，
故OA=10m.
故答案为：10.
【分析】令y=0，求出A点的横坐标，即可得OA的长.
5．（2023九上·义乌月考）如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是y＝﹣x2，当水位线在AB位置时，水面宽为12米，这时水面离桥顶的高度h是　 　米．
【答案】9
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：由题意得AB=12米，∴B点的横坐标为6，
把x=6代入 ，
得，
即水面离桥顶的高度h是9米.
故答案为：9.
【分析】根据题意B点的横坐标为6，代入计算求解即可.
6．（2021九上·普宁期末）用长12m的铝合金条制成矩形窗框（如图所示），那么这个窗户的最大透光面积是　 　（中间横框所占的面积忽略不计）
【答案】6m2
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设窗户竖着的边长长为米，横着的边长为米，
当时，取得最大值，为6
故答案为：6m2
【分析】先求出，再计算求解即可。
7．（2025九上·嘉兴期末）如图为一座拱桥的示意图，桥洞的拱形是抛物线，已知水面宽，桥洞顶部离水面．
（1）请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．
（2）若有一艘船的宽度为，高度为，则这艘船能否从该桥下通过？
【答案】（1）解：按如图方式建立直角坐标系（答案不唯一），
设抛物线解析式为：，
把代入，得，
解得：，
．
（2）解：能通过，理由如下：
当时，，
能通过．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）以抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，然后用待定系数法（利用顶点式）求出抛物线解析式即可；
（2）把代入（1）所求抛物线解析式，算出对应的函数值，然后作出判断即可．
（1）解：按如图方式建立直角坐标系（答案不唯一），
设抛物线解析式为：，
把代入，得，
解得：，
．
（2）解：当时，，
能通过．
8．（2025九上·海曙期末）用 12米长的铝合金型材制成如图1所示的矩形窗框（铝合金型材宽度不计）
（1）窗框的宽为多少米时，窗户的透光面积最大 最大透光面积是多少
（2）若制成如图2所示的窗框（上部分为半圆，下部分为矩形），求该窗户的最大透光面积（π取 3）.
【答案】（1）设矩形窗框的宽AD为x米，窗户的透光面积为S平方米，如图所示：
则 (米) ，
根据题意得：
∴当 时， S最大， 最大值为6，∴窗框的宽为2米时，窗户的透光面积最大，最大透光面积是6平方米；
（2）解：设矩形窗框的宽AD为x米，窗户的透光面积为S平方米，如上图所示：
则半圆周长为 (米)，
米，
∴当 时，S最大，最大值为
答：该窗户的最大透光面积为 平方米.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)设窗框的宽为. 则长为 (米)，表示出面积利用二次函数最值求法得出即可；
(2)设矩形窗框的宽AD为x米，窗户的透光面积为S平方米，则半圆周长为 (米)，
米，根据窗户的透光面积=半圆的面积+矩形的面积列出函数解析式，根据函数的性质求最值.
二、能力提升
9．（2024九下·抚顺开学考）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（　　）
A．18m2 B．m2 C．m2 D．m2
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
∴，
∵四边形是直角梯形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴梯形的面积为：，
∴当时，梯形ABCD的最大面积为m2；
故答案为：C．
【分析】过点作于，先证明四边形是矩形，根据矩形的性质设，则，同时求出，由含30°的直角三角形的性质得，解直角三角形得，，然后利用梯形面积公式得梯形面积S关于x的函数关系式，最后利用二次函数最值知识进行求解即可.
10．（2019·菏泽）如图，正方形 的边长为 ，动点 ， 同时从点 出发，在正方形的边上，分别按 ， 的方向，都以 的速度运动，到达点 运动终止，连接 ，设运动时间为 ， 的面积为 ，则下列图象中能大致表示 与 的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】①当 时，
∵正方形的边长为 ，
∴ ；
②当 时，
，
所以， 与 之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合，
故答案为：A．
【分析】由题意分析，当P运动到D，此时Q运动到B时△APQ的面积最大，此过程中△APQ为等腰直角三角形，面积y为关于x的二次函数；
当P从D运动到C的过程中△APQ为等腰三角形，面积用割补法求得，即，可得到y关于x的二次函数，通过这两个函数即可得到相应的函数图象。
11．（2024九上·温州期中）某弹性小球从地面以初速度（米/秒）竖直向上抛出，其高度（米）与时间（秒）的关系为．当初速度为时，达到最大高度后落回地面用时（如图1）；落地后再次以初速度竖直向上弹起至最大高度，再落回地面用时（如图2）．已知，则的值为（　　）
A．5：2 B． C．3：2 D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由题意得，，
∵，
∴，
故选：D．
【分析】根据二次函数的顶点坐标公式求得和，然后根据求比值即可．
12．如图，壮壮同学投掷实心球，出手(点 P 处)的高度OP 是 m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m ，高度是 4 m.若实心球落地点为M，则OM=　 　m.
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：如图，以点O为坐标原点，射线OM方向为心轴正半轴，射线OP方向为则轴正半轴建立平面直角坐标系，
∵抛物线的顶点坐标为(5，4)，
∴设抛物线解析式为y=a(x-5)2+4，
已知出手点P处的高度OP是4，即当x=0时，，把点代入y=a(x-5)2+4，
可得：，
∴抛物线解析式为，
∵实心球落地点为M，此时实心球高度为0，即y=0，令y=0，则-(x-5)2+4=0，
解得：，
∵距离不为负，
∴OM的长度为m，
故答案为：.
【分析】首先根据抛物线顶点坐标设出顶点式解析式，然后将已知点代入解析式求出参数，最后令函数值为0求出落地点的横坐标，即OM的长度.
13．（2025·江油模拟）如图，某农场拟建造由甲．乙两个矩形组成的羊圈，饲养室的一面靠长的墙AB，其余的部分用栅栏围成甲、乙两部分．已知提前准备的建筑材料可以建造长的栅栏，则该羊圈最大面积可以建造　 　
【答案】48
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设宽为x米，则长为米，
则，
解得：
由题意得：，
∵，
∴当时，取得最大值，
即该羊圈最大面积可以建造，
故答案为：48．
【分析】设宽为x米，则长为米，先求出的取值范围，再根据面积公式建立函数关系式，结合二次函数性质即可求出答案.
14．（2025九下·宁波月考）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面，安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距0点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距0点3m.那么喷头高　 　m时，水柱落点距离O点2m.
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设抛物线解析式为，
当喷头高2.5m时，，化简得，
当喷头高4m时，，化简得，
得，
把代入，得，
抛物线解析式为，
把代入解析式，可得，
抛物线解析式为，
当时，，
喷头高m， 水柱落点距离O点2m.
故答案为：.
【分析】设抛物线解析式为，根据题意可得喷头上下移动时抛物线图象的形状和对称轴不变，利用二次函数的性质求得a、b的值，进而得到抛物线解析式为，再代入求得水柱落点距离O点2m时的函数解析式，进而计算出喷头的高度.
15．（2025八下·慈溪期末）甲同学家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙MN，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场ABCD，已知木栏总长为50米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设AB长为x米。
（1）如图1，当AD≤MN时，
①AD= 米（用含x的代数式表示）。
②若围成的养鸡场面积为138平方米，求AB的长。
（2）如图2，当AD>MN时，求养鸡场可达到的最大面积。
【答案】（1）解：①（52-2x）
②∵，
∴解得，。
∵，
∴ AB的长为23米。
（2）解： ，
养鸡场 ABCD 的面积 。
，
。
当时，养鸡场面积可以达到最大值平方米。
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）①AD=50+2-2x=52-2x
【分析】（1）①AD＝木栏长＋门长 2×AB；
②养鸡场的面积＝AB AD，把相关数值代入求得合适的x的解即可；
（2），设养鸡场的面积为y，进而根据二次函数的性质可得y的最大值．
16．（2025·红花岗模拟）如图①有一座拱桥，已知桥洞的拱形呈抛物线型．如图②，当水面宽为时，桥洞顶部离水面高为．如图③所示建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知该拱桥限高米，要使船只通过此拱桥，求可通行船只的最大宽度；
（3）现有两艘宽都为米，高出水面米的船只，同时到达该拱桥，因降暴雨，水位上升米．请问两船能否在桥下顺利交汇？（不考虑两船间的空隙）．
【答案】（1）解：根据题意，得：，，，
设抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，得：，
解得：或，
∴（米），
∴可通行船只的最大宽度为米；
（3）解：当时，，
∵，
∴两船不能在桥下顺利交汇．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出，再解方程求出x的值，最后计算求解即可；
（3）根据题意先求出，再计算求解即可.
（1）解：根据题意，得：，，，
设抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）当时，得：，
解得：或，
∴（米），
∴可通行船只的最大宽度为米；
（3）当时，，
∵，
∴两船不能在桥下顺利交汇．
三、综合拓展
17．（2024·湖南模拟）如图，四边形为菱形，为上一点，的垂直平分线交于点F，若，记的面积最大值为S，周长最小值为l，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，过点作，交延长线于点，连接，
∵四边形为菱形，，，
，
∴在中，，
设，则，
，
∵的垂直平分线交于点，
，
，
，
设，则，
，
在中，，即，
解得，
，，
则的面积为，
由二次函数的性质可知，当时，的面积最大，最大值为，
的周长为，
由二次函数的性质可知，当时，的周长最小，最小值为，
故答案为：A．
【分析过点C作CM⊥AD于点M，过点E作EN⊥AD，交DA延长线于点N，连接CF，设AF=x，用含x的代数式表示FM和EF的长，设AN=y，用含y的代数式表示AE和EN的长，分别利用含x的式子将的面积和周长表示出来，利用二次函数的性质求解即可．
18．（2020九上·硚口月考）如图 和 都是边长为2的等边三角形，它们的边 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：C点移动到F点，重叠部分三角形的边长为x，由于是等边三角形，则高为 ，面积为y=x· · = ，
B点移动到F点，重叠部分三角形的边长为(4－x)，高为 ，面积为
y=(4－x)· · = ，
两个三角形重合时面积正好为 .
由二次函数图象的性质可判断答案为A，
故答案为：A.
【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x，根据特殊角三角函数可得高为 ，由此得出面积y是x的二次函数，直到重合面积固定，再往右移动重叠部分的边长变为(4－x)，同时可得
19．（2024九上·宽城期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点.矩形的边在线段上，点C、D在抛物线上，则矩形周长的最大值为　 　.
【答案】13
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设点D的横坐标为m，则点D的纵坐标为，
∴AD=，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴点C的横坐标为3-（m-3）=6-m，
∴CD=2m-6，
∴矩形ABCD的周长=，
∴当m=5时，矩形周长有最大值为13，
故答案为：13.
【分析】设点D的横坐标为m，则点D的纵坐标为，先求出矩形ABCD的周长为，再利用二次函数的最大值求解即可.
20．（2025·深圳模拟） 综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观．
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？
（1）【分析问题】
①二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线　 　；
②如图2，已知二次函数经过点，且与图象均经过和，则的取值范围是　 　；
（2）解决问题】
以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围．
【答案】（1）；
（2）解：如图所示，将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间．
由题意得，，，
∴，；
设新拱门抛物线解析式为
∴抛物线顶点坐标为
∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半，
∴，
解得，（不符题意，舍去），
∴新拱门抛物线解析式为
将代入得，，解得
∴，
∵原拱门拱顶距地面为4米，
∴
将代入得，，解得，
∴
将代入得，，解得
∴
∴
综上所述，的取值范围是或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：（1）①由中点坐标公式得：x＝（2＋5）＝，
故答案为：x＝；
②由题意得：y1＝a1（x 2）（x 5）＝a1（x2 7x＋10），
则10a＝6，则a1＝，
由题意知，y2的开口比y1的小，
则a2＞，
故答案为：a2＞．
【分析】（1）①利用轴对称公式列出算式求解即可；
②根据题意列出方程10a＝6，求出a的值，再结合y2的开口比y1的小，求出a2＞即可；
（2）设新拱门抛物线解析式为，求出抛物线顶点坐标为，再将点B、D的坐标分别代入解析式求出h的值，从而可得h的取值范围.
21．（2024·桂林一模）综合与实践
【材料阅读】我们知道，，展开移项得，当时，取到等号；我们可以利用它解决形如“（，为常数且）的最小值”问题.
例如：求式子的最小值.
解：，当时，即时，式子有最小值，最小值为4.
【学以致用】在一次踏青活动中，某数学兴趣小组围绕着一个有一面靠墙（墙的长度为）的矩形篱笆花园（如图1所示）的面积和篱笆总长与的长度之间的关系进行了研究分析.
（1）当该矩形花园的面积为，篱笆总长为时，求的值；
（2）当篱笆总长为时，
①写出关于的函数关系式，并写出的取值范围；
②当取何值时，有最大值？最大值是多少？
（3）当面积为时，关于的函数解析式为，数学兴趣小组的小李同学利用数学软件作出了其函数图象如图2所示，点为图象的最低点，观察图象并结合[材料阅读]，当自变量的取值范围为多少时，随的增大而减小？（直接写出的取值范围）
【答案】（1）解：依题可知，即：，
解得，，
当时，，不符合题意，舍去，
.
（2）解：①S=a（20-2a），
∵，
解得：4≤a＜10，
故S=a（20-2a）=-2a2+20a（4≤a＜10）；
② S=-2a2+20a=-2（a-5）2+50 ，
∵-2＜0，4≤a＜10，
∴当a=5时，S有最大值，最大值为50.
（3）解：根据题意可得： ，
即，
当时，有最小值为16，
解得：a=4或a=-4（舍去），
∴点P的坐标为（4，16），
又∵a＞0且，
解得：，
综上，当时，l随a的增大而减小.
【知识点】解一元一次不等式；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意可得BC=20-2a，列一元二次方程，解方程即可；
（2）①根据面积公式列出函数解析式，根据实际意义列出不等式组，求出a的取值范围；
②根据二次函数的性质最值分析即可；
（3）根据题意求得a=4，得出点P的坐标，结合实际意义求出a的取值范围，即可求解.
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