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1.4 《二次函数的应用》（2）—浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2024九上·耒阳期末）一件商品的原价是240元，经过两次降价后的价格为y元，若设两次的平均降价率为x，则y与x的函数关系式是（　　）
A． B．
C． D．
2．某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件，则每星期售出商品的利润y(元)与每件涨价x(元)之间的函数表达式是(　　)
A．y=(200-5x)(40-20+x) B．y=(200+5x)(40-20-x)
C．y=200(40-20-x) D．y=200-5x
3．（2024·余姚期中）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　）
A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x）
C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x）
4．某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元.经市场调查表明，当每瓶售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，日均销售量(瓶)与每瓶销售价(元)之间满足函数表达式.当售价定为每瓶　 　元时，所得日均毛利润最大(每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价).
5．（2023九上·浑源月考）某校为改善校园环境，加大对绿化的投入，2021年对绿化投入资金10万元，2023年对绿化投入资金万元．现假定每年投入绿化资金的增长率相同，则该校投入绿化资金的年平均增长率为　 　．
6．（2021九上·绥滨期末）某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克，则月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式为　 　
7． “杂交水稻之父”—袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标.
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现.
8．（2023九上·路桥月考）椒江某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价5元，那么平均可多售出10件．
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售 　 　件，每件盈利 　 　元；(用x的代数式表示)
（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．
（3）设专卖店每天销售这款童装可获利润W元，当x为多少时W最大，最大值是多少？
二、能力提升
9．（2024九上·温州开学考）某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是（　　）
A．180 B．220 C．190 D．200
10．（2024七上·瑞安期中）某校兴趣小组的同学在做一项科学实验时，让小车静止从光滑的斜面滑下，测得小车的滑动距离（单位：cm）与滑动时间（单位：s）如下表，若记1.4秒与1.6秒所对应的滑动距离分别为cm与cm，则的值为（　　）
A．2.4 B．2.7 C．8.4 D．10.8
11．（2025八下·镇海区期末）某网店某种商品成本为50元/件，售价为60元/件时，每天可销售100件；售价单价高于60元时，每涨价1元，日销售量就减少2件．据此，当销售单价为　 　元时，网店该商品每天盈利最多．
12．某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大的销售额是（　　）
A．2500元 B．2000元 C．1800元 D．2200元
13．某公司新产品上市30天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是　 　元．
14．（2025八下·开福期末） 某地2023年种植黄桃100亩，由于效益不错，每年都在扩大种植面积，到2025年种植了121亩．
（1）假定每年种植面积的年增长率相同，求种植黄桃亩数的年平均增长率；
（2）一水果店以每件20元的价格购进该种黄桃销售，市场调查发现，黄桃每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
销售单价x（元） 22 24 27
销售量y（件） 200 180 150
①求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
②若要使每天的销售利润最大，销售单价应定为多少元，每天能获得的最大销售利润是多少元？
15．（2025八下·兰溪期末）某超市以20元/箱的价格采购一款畅销食品加工后出售，销售价格不低于30元/箱，不高于40元/箱.销售时发现，销售价格每增加1元，每天销售量减少2箱：当销售价格每箱30元时，每天销售量为40箱，若每天的销售量为y（箱），销售价格为x（元/箱），
（1）求y与x之间的关系式；
（2）是否存在x，使得这天的销售利润达到600元？若存在请求出x的值，若不存在，请说明理由.
（3）当销售价格定为多少时，该批发部销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】
16．（2025·余姚模拟）综合与实践：
背景：当前排球渐渐走入初中生的学习和生活中，排球运动不仅能提升身体素质，还
能促进心理健康，对青少年的身心发展有着诸多益处。
排球的购买与售卖
素材1：为了能让学生日常锻炼“排球垫球”体育运动，某中学打算购进一批排球，计划购买甲品牌的排球35个，乙品牌的排球50个，共花费3550元，已知购买一个甲品牌的排球比购买一个乙品牌的排球少花20元.
素材2：某商店售卖丙品牌排球，进价为每个20元，当前售价为每个36元，每周可售出50个，经市场调查发现，售价每降低3元，每周可多售出15个.
任务1：求购买一个甲品牌、一个乙品牌的排球各需多少元？
任务2：求当一个丙品牌的排球售价为多少元时有最大利润？最大利润是多少？
三、综合拓展
17．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.3二次函数的应用 同步练习）某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图．这种工艺品的销售量为　 　件（用含x的代数式表示）．
18．（2024·吉木萨尔模拟）某农户在天内采用线部分农产品在抖音平台带货销售，已知抖音平台带货销售日销售量（件）与时间（天）关系如图所示．另一部分农产品在线下店铺销售，农产品的日销售量（件）与时间（之间满足函数关系，其中部分对应值如表所示．
销售时间x（天）
日销售量（件） 100
（1）写出与的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）试确定线下店铺日销售量与的函数关系式并求出线下店铺日销售量的最大值；
（3）已知该农户线下销售该农产品每件利润为元，在抖音平台销售该农产品每件利润为元，设该农户销售农产品的日销售总利润为，写出与时间的函数关系式，并判断第几天日销售总利润最大，并求出此时最大值．
19．（2024九上·长兴期中）请根据以下素材，完成探究任务，
制定加工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正三种样式. ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件. ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风服装相等，
背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件： ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元
信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下 服装种类加工人数（人）每人每天加工量（件）平均每件获利（元）风y224雅x1 　正 　148
探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求关于x的函数表达式.
任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：第一次降价后价格为240(1+x)元，第二次降价后价格为240(1+x)(1+x)=240(1+x)2元，所以 则y与x的函数关系式是y= 240(1+x)2，
故答案为：C.
【分析】 由原价是240元可知， 第一次降价后价格为240(1+x)元，第二次降价后价格为240(1+x)(1+x)=240(1+x)2元，因此可得函数关系式.
2．【答案】A
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：由题意得y=(200-5x)(40-20+x)
故答案为：A
【分析】根据“某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件”结合利润=每件利润×件数即可求解。
3．【答案】C
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
故答案为：C.
【分析】根据售价减去进价乘以销售量表示出实际的利润.
4．【答案】13
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设日均毛利润为w元，
根据题意得：w=(x-9)y=(x-9)(1360-80x)=-80x2+2080x-12240=-80(x-13)2+1280，
∵-80<0，10 ≤x≤14，
∴当x =13时，w有最大值，最大值为1280，
∴当销售价格定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大.
故答案为：13.
【分析】设日均毛利润为w元，根据每日的毛利润=每瓶的毛利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值.
5．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该校投入绿化资金的年平均增长率为x，
由题意可得：14.4，
解得：x=0.2或x=-2.2（舍去），
∴该校投入绿化资金的年平均增长率为20%，
故答案为：20%.
【分析】根据题意找出等量关系求出14.4，再解方程求解即可。
6．【答案】y=-10x +1400x-40000
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：由题意可得，
y＝（x 40）[500 10（x 50）]＝ 10x2＋1400x 40000，
即月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式是y＝ 10x2＋1400x 40000．
故答案为：y＝ 10x2＋1400x 40000．
【分析】根据“总利润=每件的利润×数量”直接列出函数解析式y＝ 10x2＋1400x 40000即可。
7．【答案】（1）解：设亩产量的平均增长率为x，
依题意得：700（1+x）2＝1008，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：亩产量的平均增长率为20%．
（2）解：1008×（1+20%）＝1209.6（公斤）．
∵1209.6＞1200，
∴他们的目标能实现．
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）知道第一阶段的产量和第三阶段的产量（假设第二阶段产量与第一阶段增长相同），复利增长公式为：最终量=初始量×(1+增长率) 时间期数就可以通过设立等式来求解平均增长率 x：第三阶段产量=第一阶段产量×(1+x) 2，然后解这个方程来找到 x。
（2） 根据第一问的结论，稻谷产量每阶段增长20%。根据复利增长公式计算出第四阶段产量即可判断。
8．【答案】（1）（20＋2x）；（40－x）
（2）根据题意，得：（20＋2x）（40－x）＝1200，
解得：x1＝20，x2＝10，
∵要扩大销售量，∴x＝20，
答：每件童装降价20元，平均每天盈利1200元；
（3）W＝（20＋2x）（40－x）＝－2x2＋60x＋800＝ 2(x 15)2＋1250，（0≤x≤40）
∴当x＝15，W最大，最大值为1250元.
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）∵每件童装降价5元，那么平均可多售出10件
∴每件童装降价1元，平均可多售出10÷5=2（件）
∴每件童装降价x元时，每天可销售 （20+2x）件；
∵降价x元，
∴每件盈利为120-x-80=40-x（元）
故答案为：（20＋2x）；（40－x）.
【分析】（1）根据销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，可以求出降价后的销售量；
据利润=降价后的价格-进价，进而可以求出每件的利润.
（2）根据总利润=每件衣服的利润×销售数量，可列关于x的一元二次方程，因式分解求函数的解即可.
（3）将二次函数化为顶点式，即可求出最值.
9．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）的函数关系为y=kx+b，
由图象可知，图象经过点（20，30）及（30，0），
∴，
解得：，
∴y=﹣2x+60；
设销售利润为p，根据题意得，p=（x﹣10）y
=（x﹣10）（﹣2x+60）
=﹣2x2+80x﹣600
=-2（x-20）2+200，
∵a=﹣2＜0，
∴当x=20时，p最大值=200．
即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元.
故答案为：D．
【分析】利用待定系数法求每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）的函数关系，然后根据每天利润=每千克的利润×销售量列出表达式，进而运用函数性质解答即可．
10．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：
由所给表格可知，
时间为0秒时，小车的滑动距离为：0cm，时间为0.2秒时，小车的滑动距离为：
时间为0.4秒时，小车的滑动距离为：
……，
时间为1秒时，小车的滑动距离为：
时间为1.2秒时，小车的滑动距离为：
时间为1.4秒时，小车的滑动距离为：
时间为1.6秒时，小车的滑动距离为：
所以
所以
故选： A.
【分析】根据所给表格，发现时间每增加0.2秒，从0秒开始小车的滑动距离依次增加…，据此可解决问题.
11．【答案】80
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设销售单价为x元（x＞60），每天盈利为y元，
可得：y=(x - 50)(220 - 2x)=-2x2+320x-11000，因为-2＜0，所以此抛物线函数的开口向下，
根据顶点公式可得，
代入函数得：y=-2×802+320×80-11000=1800，
所以当x = 80时，y有最大值1800 ，即销售单价为80元时，网店该商品每天盈利最多.
【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，利用二次函数建模，结合二次函数顶点式求最值，解决实际盈利的最大值问题.
12．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设当每件商品降价x元时，销售额为y元，
y=(35-x)(50+2x)=-2(x-10)2+1800，
∵ 0≤x＜35，
∴ 当x=10时，y取最大值1800，
即当每件商品降价10元时，可使每天的销售额最大为1800元.
故答案为：C.
【分析】设当每件商品降价x元时，销售额为y元，根据题意列出二次函数，再求函数的最值即可.
13．【答案】1800
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；二次函数的实际应用-销售问题；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：设日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y=kt，
把（30，60）代入得30k=60，
解得k=2，
∴日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y=2t，
当0把（20，30）代入得20a=30，
解得a=1.5，
∴当0当20设日销售利润为m元，
当0故当t=20时，m取得最大值，此时m=1200，
当20故当t=30时，m取得最大值，此时m=1800，
综上所述，最大日销售利润为1800元.
故答案为：1800.
【分析】首先根据图1，利用待定系数法求出日销售量y与销售天数t之间的函数关系式；然后根据图2，分当014．【答案】（1）解：设种植黄桃亩数的年平均增长率为a，
解得： (不合题意，舍去)。
答：种植黄桃亩数的年平均增长率为10%；
（2）解：①设
解得：
②设每天的销售利润为w元，
∴要使每天的销售利润最大，销售单价应定为31元，每天能获得的最大销售利润是1210元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)2023年的种植面积(1+年平均增值率) 年的种植面积，把相关数值代入求得合适的解即可；
(2)①设出一次函数解析式，把表格中的两组数据代入即可求得k和b的值；
②设每天的销售利润为w元，w=每天的销售量×每斤黄桃的利润，整理成顶点式，即可求得销售单价应定为多少元，每天能获得的最大销售利润，以及最大销售利润是多少元.
15．【答案】（1）解：由题意，销售价格每增加1元，每天销售量减少2箱；当销售价格每箱30元时，每天销售量为40箱，且销售价格为x元/箱，
∴每天的销售量为 即
（2）解：由题意，假设存在x，使得这天的销售利润达到600元，
∴利润
∴方程无解.
∴销售利润不可能达到600元.
（3）解：由题意，利润=
∴当 (元/箱)时，销售利润最大值为450元.
答：当销售价格定为35元/箱时，该批发部销售这款食品每天获得的销售利润最大，最大销售利润是450元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)依据题意，由销售价格每增加1元，每天销售量减少2箱；当销售价格每箱30元时，每天销售量为40箱，且销售价格为x元/箱，则每天的销售量为 即 进而可以判断得解；
(2)依据题意，假设存在x，使得这天的销售利润达到600元，则利润： ， 可得 又 进而可以判断得解
(3)依据题意，由利润 又 进而结合二次函数的性质即可判断得解.
16．【答案】解：任务1：解：设购买一个甲品牌排球需x元，则购买一个乙品牌排球需(x+20)元.
根据题意，可列方程：35x+50(x+20)=3550
解得：x=30
所以购买一个乙品脾的排球需x+20=30+20=50（元）
答：购买一个甲品牌的排球需30元，购买一个乙品牌的排球需50元.
任务2：解：设当一个丙品牌的排球降价y元时，其利润为w元.
根据题意、得：w=(36-20-y)(50+y)
=(16-y)50+5y)
=-5y2+30y+800
=-5(y-3)2 +845
所以当y=3，即售价为36-3=33元时利润w有最大值，最大值为845.
答：当一个丙品牌的排球售价为33元时有最大利润，最大利润是845元。
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：由题意设甲排球为x元，则乙排球为x+20元，列出方程，求解方程即可得两者的价格；
任务2：设丙降价y元，可得利润与y的关系，配方可知当y=3时，利润取最大值，代入即可得最大利润.
17．【答案】（60+x）
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：由函数的图象可知点（30，2700）和点（60，0）满足解析式w=mx2+n，
∴ ，
解得： ，
∴w=﹣x2+3600，
设销售量为a，则a（60﹣x）=w，
即a（60﹣x）=﹣x2+3600，
解得：a=60+x ，
故答案为：60+x．
【分析】由函数的图象可知点（30，2700）和点（60，0）满足解析式w=mx2+n，可求出w与x的关系式，设销售量为a，则每件工艺品的利润 为（60﹣x）元，根据总利润=每件工艺品的利润×销售量，列式整理即可求出。
18．【答案】（1）解：当，设，将点代入得，
，
解得：，
当时，设，将点代入得，
解得：
∴，
综上所述，；
（2）解：由表格得，y2为x的二次函数，且经过点（0，0），设，
将代入，
得：，
解得：，
∴，
∵，，
∴当时，的最大值为；
（3）解：设该农户销售农产品的日销售总利润为，
当时，，
，
对称轴为，当时，随的增大而增大，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为：（元），
当时，，
，
，
∴当时，取得最大值，最大值为，
∴
综上所述，第天，日销售总利润最大，最大值为元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先用待定系数法分别求出两段中的一次函数解析式，最后综述即可；
（2）根据表格点设出二次函数的解析式，再利用待定系数法求出解析式，再变形为顶点式，即可求得最值；
（3）根据总利润=每件的利润×日销量，分别求出0＜x≤10和x≥10时w关于x的关系式，再根据二次函数的性质求出各自x的取值范围内的最大值，最后比较两个最大值，即可求得.
19．【答案】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，
∴加工“正”服装的有（70﹣x﹣y）人，
∵“正”服装总件数和“风”服装相等，
∴（70﹣x﹣y）×1＝2y，
整理得：，或；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x[100﹣2（x﹣10）]，
∴w＝2y×24+（70﹣x﹣y）×48+x[100﹣2（x﹣10）]，
整理得：w＝（﹣16x+1120）+（﹣32x+2240）+（﹣2x2+120x），
∴w＝﹣2x2+72x+3360（x≥10），
任务3：由任务2得，
当时，获得最大利润，
开口向下，
取或，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
.
综上可得：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．
答：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，于是加工“正”服装的有（70-x-y）人，然后根据“正”服装总件数和“风”服装相等可得关于x、y的方程，整理即可求解；
任务2：根据该工厂每天的总利润=“雅”服装的利润+“风”服装的利润+“正”服装的利润即可求解；
任务3：将任务2的解析式化为顶点式并结合二次函数的性质即可求解.
1 / 11.4 《二次函数的应用》（2）—浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2024九上·耒阳期末）一件商品的原价是240元，经过两次降价后的价格为y元，若设两次的平均降价率为x，则y与x的函数关系式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：第一次降价后价格为240(1+x)元，第二次降价后价格为240(1+x)(1+x)=240(1+x)2元，所以 则y与x的函数关系式是y= 240(1+x)2，
故答案为：C.
【分析】 由原价是240元可知， 第一次降价后价格为240(1+x)元，第二次降价后价格为240(1+x)(1+x)=240(1+x)2元，因此可得函数关系式.
2．某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件，则每星期售出商品的利润y(元)与每件涨价x(元)之间的函数表达式是(　　)
A．y=(200-5x)(40-20+x) B．y=(200+5x)(40-20-x)
C．y=200(40-20-x) D．y=200-5x
【答案】A
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：由题意得y=(200-5x)(40-20+x)
故答案为：A
【分析】根据“某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件”结合利润=每件利润×件数即可求解。
3．（2024·余姚期中）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　）
A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x）
C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x）
【答案】C
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
故答案为：C.
【分析】根据售价减去进价乘以销售量表示出实际的利润.
4．某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元.经市场调查表明，当每瓶售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，日均销售量(瓶)与每瓶销售价(元)之间满足函数表达式.当售价定为每瓶　 　元时，所得日均毛利润最大(每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价).
【答案】13
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设日均毛利润为w元，
根据题意得：w=(x-9)y=(x-9)(1360-80x)=-80x2+2080x-12240=-80(x-13)2+1280，
∵-80<0，10 ≤x≤14，
∴当x =13时，w有最大值，最大值为1280，
∴当销售价格定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大.
故答案为：13.
【分析】设日均毛利润为w元，根据每日的毛利润=每瓶的毛利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值.
5．（2023九上·浑源月考）某校为改善校园环境，加大对绿化的投入，2021年对绿化投入资金10万元，2023年对绿化投入资金万元．现假定每年投入绿化资金的增长率相同，则该校投入绿化资金的年平均增长率为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该校投入绿化资金的年平均增长率为x，
由题意可得：14.4，
解得：x=0.2或x=-2.2（舍去），
∴该校投入绿化资金的年平均增长率为20%，
故答案为：20%.
【分析】根据题意找出等量关系求出14.4，再解方程求解即可。
6．（2021九上·绥滨期末）某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克，则月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式为　 　
【答案】y=-10x +1400x-40000
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：由题意可得，
y＝（x 40）[500 10（x 50）]＝ 10x2＋1400x 40000，
即月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式是y＝ 10x2＋1400x 40000．
故答案为：y＝ 10x2＋1400x 40000．
【分析】根据“总利润=每件的利润×数量”直接列出函数解析式y＝ 10x2＋1400x 40000即可。
7． “杂交水稻之父”—袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标.
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现.
【答案】（1）解：设亩产量的平均增长率为x，
依题意得：700（1+x）2＝1008，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：亩产量的平均增长率为20%．
（2）解：1008×（1+20%）＝1209.6（公斤）．
∵1209.6＞1200，
∴他们的目标能实现．
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）知道第一阶段的产量和第三阶段的产量（假设第二阶段产量与第一阶段增长相同），复利增长公式为：最终量=初始量×(1+增长率) 时间期数就可以通过设立等式来求解平均增长率 x：第三阶段产量=第一阶段产量×(1+x) 2，然后解这个方程来找到 x。
（2） 根据第一问的结论，稻谷产量每阶段增长20%。根据复利增长公式计算出第四阶段产量即可判断。
8．（2023九上·路桥月考）椒江某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价5元，那么平均可多售出10件．
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售 　 　件，每件盈利 　 　元；(用x的代数式表示)
（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．
（3）设专卖店每天销售这款童装可获利润W元，当x为多少时W最大，最大值是多少？
【答案】（1）（20＋2x）；（40－x）
（2）根据题意，得：（20＋2x）（40－x）＝1200，
解得：x1＝20，x2＝10，
∵要扩大销售量，∴x＝20，
答：每件童装降价20元，平均每天盈利1200元；
（3）W＝（20＋2x）（40－x）＝－2x2＋60x＋800＝ 2(x 15)2＋1250，（0≤x≤40）
∴当x＝15，W最大，最大值为1250元.
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）∵每件童装降价5元，那么平均可多售出10件
∴每件童装降价1元，平均可多售出10÷5=2（件）
∴每件童装降价x元时，每天可销售 （20+2x）件；
∵降价x元，
∴每件盈利为120-x-80=40-x（元）
故答案为：（20＋2x）；（40－x）.
【分析】（1）根据销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，可以求出降价后的销售量；
据利润=降价后的价格-进价，进而可以求出每件的利润.
（2）根据总利润=每件衣服的利润×销售数量，可列关于x的一元二次方程，因式分解求函数的解即可.
（3）将二次函数化为顶点式，即可求出最值.
二、能力提升
9．（2024九上·温州开学考）某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是（　　）
A．180 B．220 C．190 D．200
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）的函数关系为y=kx+b，
由图象可知，图象经过点（20，30）及（30，0），
∴，
解得：，
∴y=﹣2x+60；
设销售利润为p，根据题意得，p=（x﹣10）y
=（x﹣10）（﹣2x+60）
=﹣2x2+80x﹣600
=-2（x-20）2+200，
∵a=﹣2＜0，
∴当x=20时，p最大值=200．
即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元.
故答案为：D．
【分析】利用待定系数法求每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）的函数关系，然后根据每天利润=每千克的利润×销售量列出表达式，进而运用函数性质解答即可．
10．（2024七上·瑞安期中）某校兴趣小组的同学在做一项科学实验时，让小车静止从光滑的斜面滑下，测得小车的滑动距离（单位：cm）与滑动时间（单位：s）如下表，若记1.4秒与1.6秒所对应的滑动距离分别为cm与cm，则的值为（　　）
A．2.4 B．2.7 C．8.4 D．10.8
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：
由所给表格可知，
时间为0秒时，小车的滑动距离为：0cm，时间为0.2秒时，小车的滑动距离为：
时间为0.4秒时，小车的滑动距离为：
……，
时间为1秒时，小车的滑动距离为：
时间为1.2秒时，小车的滑动距离为：
时间为1.4秒时，小车的滑动距离为：
时间为1.6秒时，小车的滑动距离为：
所以
所以
故选： A.
【分析】根据所给表格，发现时间每增加0.2秒，从0秒开始小车的滑动距离依次增加…，据此可解决问题.
11．（2025八下·镇海区期末）某网店某种商品成本为50元/件，售价为60元/件时，每天可销售100件；售价单价高于60元时，每涨价1元，日销售量就减少2件．据此，当销售单价为　 　元时，网店该商品每天盈利最多．
【答案】80
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设销售单价为x元（x＞60），每天盈利为y元，
可得：y=(x - 50)(220 - 2x)=-2x2+320x-11000，因为-2＜0，所以此抛物线函数的开口向下，
根据顶点公式可得，
代入函数得：y=-2×802+320×80-11000=1800，
所以当x = 80时，y有最大值1800 ，即销售单价为80元时，网店该商品每天盈利最多.
【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，利用二次函数建模，结合二次函数顶点式求最值，解决实际盈利的最大值问题.
12．某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大的销售额是（　　）
A．2500元 B．2000元 C．1800元 D．2200元
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设当每件商品降价x元时，销售额为y元，
y=(35-x)(50+2x)=-2(x-10)2+1800，
∵ 0≤x＜35，
∴ 当x=10时，y取最大值1800，
即当每件商品降价10元时，可使每天的销售额最大为1800元.
故答案为：C.
【分析】设当每件商品降价x元时，销售额为y元，根据题意列出二次函数，再求函数的最值即可.
13．某公司新产品上市30天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是　 　元．
【答案】1800
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；二次函数的实际应用-销售问题；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：设日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y=kt，
把（30，60）代入得30k=60，
解得k=2，
∴日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y=2t，
当0把（20，30）代入得20a=30，
解得a=1.5，
∴当0当20设日销售利润为m元，
当0故当t=20时，m取得最大值，此时m=1200，
当20故当t=30时，m取得最大值，此时m=1800，
综上所述，最大日销售利润为1800元.
故答案为：1800.
【分析】首先根据图1，利用待定系数法求出日销售量y与销售天数t之间的函数关系式；然后根据图2，分当014．（2025八下·开福期末） 某地2023年种植黄桃100亩，由于效益不错，每年都在扩大种植面积，到2025年种植了121亩．
（1）假定每年种植面积的年增长率相同，求种植黄桃亩数的年平均增长率；
（2）一水果店以每件20元的价格购进该种黄桃销售，市场调查发现，黄桃每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
销售单价x（元） 22 24 27
销售量y（件） 200 180 150
①求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
②若要使每天的销售利润最大，销售单价应定为多少元，每天能获得的最大销售利润是多少元？
【答案】（1）解：设种植黄桃亩数的年平均增长率为a，
解得： (不合题意，舍去)。
答：种植黄桃亩数的年平均增长率为10%；
（2）解：①设
解得：
②设每天的销售利润为w元，
∴要使每天的销售利润最大，销售单价应定为31元，每天能获得的最大销售利润是1210元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)2023年的种植面积(1+年平均增值率) 年的种植面积，把相关数值代入求得合适的解即可；
(2)①设出一次函数解析式，把表格中的两组数据代入即可求得k和b的值；
②设每天的销售利润为w元，w=每天的销售量×每斤黄桃的利润，整理成顶点式，即可求得销售单价应定为多少元，每天能获得的最大销售利润，以及最大销售利润是多少元.
15．（2025八下·兰溪期末）某超市以20元/箱的价格采购一款畅销食品加工后出售，销售价格不低于30元/箱，不高于40元/箱.销售时发现，销售价格每增加1元，每天销售量减少2箱：当销售价格每箱30元时，每天销售量为40箱，若每天的销售量为y（箱），销售价格为x（元/箱），
（1）求y与x之间的关系式；
（2）是否存在x，使得这天的销售利润达到600元？若存在请求出x的值，若不存在，请说明理由.
（3）当销售价格定为多少时，该批发部销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】
【答案】（1）解：由题意，销售价格每增加1元，每天销售量减少2箱；当销售价格每箱30元时，每天销售量为40箱，且销售价格为x元/箱，
∴每天的销售量为 即
（2）解：由题意，假设存在x，使得这天的销售利润达到600元，
∴利润
∴方程无解.
∴销售利润不可能达到600元.
（3）解：由题意，利润=
∴当 (元/箱)时，销售利润最大值为450元.
答：当销售价格定为35元/箱时，该批发部销售这款食品每天获得的销售利润最大，最大销售利润是450元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)依据题意，由销售价格每增加1元，每天销售量减少2箱；当销售价格每箱30元时，每天销售量为40箱，且销售价格为x元/箱，则每天的销售量为 即 进而可以判断得解；
(2)依据题意，假设存在x，使得这天的销售利润达到600元，则利润： ， 可得 又 进而可以判断得解
(3)依据题意，由利润 又 进而结合二次函数的性质即可判断得解.
16．（2025·余姚模拟）综合与实践：
背景：当前排球渐渐走入初中生的学习和生活中，排球运动不仅能提升身体素质，还
能促进心理健康，对青少年的身心发展有着诸多益处。
排球的购买与售卖
素材1：为了能让学生日常锻炼“排球垫球”体育运动，某中学打算购进一批排球，计划购买甲品牌的排球35个，乙品牌的排球50个，共花费3550元，已知购买一个甲品牌的排球比购买一个乙品牌的排球少花20元.
素材2：某商店售卖丙品牌排球，进价为每个20元，当前售价为每个36元，每周可售出50个，经市场调查发现，售价每降低3元，每周可多售出15个.
任务1：求购买一个甲品牌、一个乙品牌的排球各需多少元？
任务2：求当一个丙品牌的排球售价为多少元时有最大利润？最大利润是多少？
【答案】解：任务1：解：设购买一个甲品牌排球需x元，则购买一个乙品牌排球需(x+20)元.
根据题意，可列方程：35x+50(x+20)=3550
解得：x=30
所以购买一个乙品脾的排球需x+20=30+20=50（元）
答：购买一个甲品牌的排球需30元，购买一个乙品牌的排球需50元.
任务2：解：设当一个丙品牌的排球降价y元时，其利润为w元.
根据题意、得：w=(36-20-y)(50+y)
=(16-y)50+5y)
=-5y2+30y+800
=-5(y-3)2 +845
所以当y=3，即售价为36-3=33元时利润w有最大值，最大值为845.
答：当一个丙品牌的排球售价为33元时有最大利润，最大利润是845元。
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：由题意设甲排球为x元，则乙排球为x+20元，列出方程，求解方程即可得两者的价格；
任务2：设丙降价y元，可得利润与y的关系，配方可知当y=3时，利润取最大值，代入即可得最大利润.
三、综合拓展
17．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.3二次函数的应用 同步练习）某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图．这种工艺品的销售量为　 　件（用含x的代数式表示）．
【答案】（60+x）
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：由函数的图象可知点（30，2700）和点（60，0）满足解析式w=mx2+n，
∴ ，
解得： ，
∴w=﹣x2+3600，
设销售量为a，则a（60﹣x）=w，
即a（60﹣x）=﹣x2+3600，
解得：a=60+x ，
故答案为：60+x．
【分析】由函数的图象可知点（30，2700）和点（60，0）满足解析式w=mx2+n，可求出w与x的关系式，设销售量为a，则每件工艺品的利润 为（60﹣x）元，根据总利润=每件工艺品的利润×销售量，列式整理即可求出。
18．（2024·吉木萨尔模拟）某农户在天内采用线部分农产品在抖音平台带货销售，已知抖音平台带货销售日销售量（件）与时间（天）关系如图所示．另一部分农产品在线下店铺销售，农产品的日销售量（件）与时间（之间满足函数关系，其中部分对应值如表所示．
销售时间x（天）
日销售量（件） 100
（1）写出与的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）试确定线下店铺日销售量与的函数关系式并求出线下店铺日销售量的最大值；
（3）已知该农户线下销售该农产品每件利润为元，在抖音平台销售该农产品每件利润为元，设该农户销售农产品的日销售总利润为，写出与时间的函数关系式，并判断第几天日销售总利润最大，并求出此时最大值．
【答案】（1）解：当，设，将点代入得，
，
解得：，
当时，设，将点代入得，
解得：
∴，
综上所述，；
（2）解：由表格得，y2为x的二次函数，且经过点（0，0），设，
将代入，
得：，
解得：，
∴，
∵，，
∴当时，的最大值为；
（3）解：设该农户销售农产品的日销售总利润为，
当时，，
，
对称轴为，当时，随的增大而增大，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为：（元），
当时，，
，
，
∴当时，取得最大值，最大值为，
∴
综上所述，第天，日销售总利润最大，最大值为元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先用待定系数法分别求出两段中的一次函数解析式，最后综述即可；
（2）根据表格点设出二次函数的解析式，再利用待定系数法求出解析式，再变形为顶点式，即可求得最值；
（3）根据总利润=每件的利润×日销量，分别求出0＜x≤10和x≥10时w关于x的关系式，再根据二次函数的性质求出各自x的取值范围内的最大值，最后比较两个最大值，即可求得.
19．（2024九上·长兴期中）请根据以下素材，完成探究任务，
制定加工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正三种样式. ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件. ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风服装相等，
背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件： ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元
信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下 服装种类加工人数（人）每人每天加工量（件）平均每件获利（元）风y224雅x1 　正 　148
探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求关于x的函数表达式.
任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案
【答案】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，
∴加工“正”服装的有（70﹣x﹣y）人，
∵“正”服装总件数和“风”服装相等，
∴（70﹣x﹣y）×1＝2y，
整理得：，或；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x[100﹣2（x﹣10）]，
∴w＝2y×24+（70﹣x﹣y）×48+x[100﹣2（x﹣10）]，
整理得：w＝（﹣16x+1120）+（﹣32x+2240）+（﹣2x2+120x），
∴w＝﹣2x2+72x+3360（x≥10），
任务3：由任务2得，
当时，获得最大利润，
开口向下，
取或，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
.
综上可得：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．
答：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，于是加工“正”服装的有（70-x-y）人，然后根据“正”服装总件数和“风”服装相等可得关于x、y的方程，整理即可求解；
任务2：根据该工厂每天的总利润=“雅”服装的利润+“风”服装的利润+“正”服装的利润即可求解；
任务3：将任务2的解析式化为顶点式并结合二次函数的性质即可求解.
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