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1.4 《二次函数的应用》（3）—浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2023九上·明溪期中）根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程x2﹣4x+2=0的解的取值范围是（　　）
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x2﹣4x+2 2 0.25 ﹣1 ﹣1.75 ﹣2 ﹣1.75 ﹣1 0.25 2
A．0＜x＜0.5，或3.5＜x＜4 B．0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5
C．0.5＜x＜1，或2＜x＜2.5 D．0＜x＜0.5，或3＜x＜3.5
2．（2024·哈尔滨模拟）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（　　）
A．抛物线的对称轴为直线
B．抛物线的顶点坐标为
C．，两点之间的距离为
D．当时，的值随值的增大而增大
3．（2023九上·东海月考）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为　 　．
4．（2023九上·长沙月考）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为　 　．
5．（2024九上·温州月考）已知二次函数自变量 x与函数y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 　
y … 5 0 0 　
关于x的一元二次方程的解是．
6．（2024九上·广州期中）抛物线如图所示，则关于的方程的解是　 　．
7．（2024九上·余姚月考）已知，二次函数（都是常数，且）的部分对应值为：
x … －1 0 1 2 …
y … 0 n …
（1）求n的值和二次函数的解析式．
（2）若点在该函数图象上，求m的值．
8．（2022九上·新余月考）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，经过（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为　 　；
（3）方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，m的取值范围为　 　．
二、能力提升
9．根据下表中的二次函数 的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x轴(　　).
x … -1 0 1 2 ··
y … -1 -7/4 -2 -7/4 　
A．只有一个交点
B．有两个交点，且它们分别在 y轴两侧
C．有两个交点，且它们均在 y轴同侧
D．无交点
10．（2025·广安） 如图，二次函数 (a，b，c 为常数，) .的图象交 x 轴于 A，B 两点，点 A 的坐标是 (-1，0)，点 B 的坐标是 (n，0)，有下列结论：①；②；③ 关于 x 的方程的解是，；④.其中正确的有（　　）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
11．（2025·天河模拟）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（　　）
①；②；③抛物线的顶点坐标为；
④若，则．
A．①② B．②③④ C．①④ D．①③
12．（2025·凉州模拟）二次函数的图象如图所示，若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最小值为　 　．
13．（2025九下·湛江月考）如图，抛物线与直线交于点，，点为线段的中点，点的横坐标为，则的值为　 　．
14．（2025·齐齐哈尔）如图，二次函数的图像与x轴交于两点，，且.下列结论：
①；②；③；④若m和n是关于x的一元二次方程）的两根，且，则，；⑤关于x的不等式）的解集为.其中正确结论的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
15．（2025·温州三模）已知二次函数y=-x2+bx+c的图象的对称轴是直线x=1，并经过点(3，0).
（1）求二次函数表达式；
（2）将函数图象向上平移m（m>0）个单位长度，图象与x轴相交于点A，B(点A在点B的左侧)，当BO=2AO时，求m的值；
（3）若n>0，当n≤x≤n+1时，二次函数的最大值是2n，求n的值.
16．（2024九下·常德月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：和直线l：，点均在直线l上
（1）求出直线l的函数解析式；
（2）当，的自变量x满足时，函数y的最小值为，求m的值；
（3）若抛物线C与线段有两个不同的交点，求a的取值范围
三、综合拓展
17．（2025·兰州）综合与实践在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题．
【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决．
【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：
生长素浓度x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2
发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12
【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系描出相应的点．
说明：①当生长素浓度x＝0时，种子的发芽率为自然发芽率；
②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；
③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验．
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：
（1）观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式；
（2）请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围．
18．（2024·成都模拟）抛物线：与轴交于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是抛物线上的一个动点，设点的横坐标是，过点作直线轴，垂足为点，交直线于点，当，，三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长；
（3）如图2，将抛物线水平向左平移，使抛物线恰好经过原点，得到抛物线，直线：交抛物线于、，若，求原点到距离的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：根据下列表格中的对应值，得x=0.5时，x2-4x+2=0.25，x=1.5时，x2-4x+2=-1；x=3时，x2-4x+2=-1，x=3.5时，x2-4x+2=0.25，判断一元二次方程x2-4x+2=0的解的取值范围是0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5，
故选B．
【分析】观察表格中的数据，确定出方程解的范围即可．
2．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用
3．【答案】，
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
4．【答案】
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为A（-3，9），B（1，1），令，
∴的解为，
∴关于x的方程的解为，
故答案为：．
【分析】令，根据二次函数与一次函数的交点坐标即可求出x的值，从而将化为，即可求解.
5．【答案】
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
6．【答案】，
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
7．【答案】（1），
（2）3或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用
8．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）x＜﹣1或x＞3；（3）m≥﹣4．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
9．【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：根据表中的二次函数 的自变量x与函数y的对应值，可以发现当 时，y的值都等于
又根据二次函数的图象对称性可得：直线 是二次函数 的对称轴，此时y有最小值
因此判断该二次函数的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴异侧.
故答案为：B.
【分析】利用二次函数 的自变量x与函数y的对应值.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴的交点在x轴的上方，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵当x=-2时y＜0，
∴4a-2b+c＜0即4a+c＜2b，故②错误；
∵抛物线与x轴的两个交点坐标为A（-1，0），B（n，0）
∴ 关于 x 的方程的解是，，故③正确；
∴抛物线的对称轴为直线，故④正确；
∴正确结论有3个.
故答案为：C .
【分析】抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴的交点在x轴的上方，可得到a、b、c的取值范围，可对①作出判断；当x=-2时y＜0，可对②作出判断；利用抛物线与x轴的两个交点坐标，可对③④作出判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
11．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由题意，有两实根，
，
∴两个方程相减得，，
∴，故①正确，
，
令，
∴抛物线的对称轴是直线．
∴抛物线的顶点为．
又，
∴，即．
∴．
∴．
∴顶点坐标为，故③正确．
∵，
∴．
又，
，
∴，故②错误．
∵，
，
∴对于函数，当时的函数值小于当时的函数值．
∵，抛物线的对称轴是直线，
又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，
，
，
∴，故④错误．
综上，正确的有①③共2个．
故答案为：D．
【分析】由有两实根，，可得到关于a、b、c的方程组，采用消元法可求出2a+b的值，可对①作出判断；利用二次函数的对称性可得到抛物线的对称轴，由此可得到抛物线的顶点为c)，再结合，可对③作出判断；依据题意可得，又，进而可得abc的值，可确定出a的符号，可对②作出判断；由，故，即对于函数，当时的函数值小于当时的函数值，再结合，抛物线的对称轴是直线，从而根据二次函数的性质即可判断④；综上所述可得到正确结论的序号.
12．【答案】2
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：有两个不相等的实数根，
有两个不相等的实数根，
令，（表示与轴平行的直线），
与有两个交点，
，
，
是整数，
整数的最小值为2
故答案为：2．
【分析】对一元二次方程 进行变形：，然后分别令和，再根据有两个不相等的实数根，可得与有两个交点，根据图形，可知，当时，与有两个交点，据此即可求解
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
14．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；数形结合
【解析】【解答】解：①、∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴x=->0
∴b<0，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，故①正确，
②、∵二次函数y= ax2 + bx + c(a≠0)的图象过(-1，0)，
∴a-b+c=0，
∴二次函数y=ax2 + bx +c(a≠0 )的图象与x轴交于两点(-1，0)，(x1，0)，且2∴对称轴
∴a<-b<2a，
∴a-b+c>a+a+c=2a+c，2a+b>0
∴2a+c<0，故②正确；
③、∵b=a+c
∴4a-b+2c=4a- b+2(b-a)= 2a+b>0，
∴4a-b+2c>0，故③错误；
④、如图，
关于x的一元二次方程a(x+ 1)(x-x1)+c=0(a≠0)的两个根，即兩数y=ax2 +bx+c(a≠0)与y=-c交点的横坐标.
∵m<-1<2∴ 若m和n是关于x的一元二次方程）的两根，且，则，； 故④正确；
⑤、∵二次函数的图像与x轴交于两点，
∴y=ax2 +bx+c=a(x+1)(x-x1)=ax2+a(1-x1)x-ax1，
∴b=a(1-x1)， c=-ax1，
∴b-a=-ax1，
∴ax2+bx+c>可化为ax2+(b-a)x>0，
即ax2- ax1x>0，
∵a>0，
∴x2-x1x>0，
解得： x<0或x>x1，
∴ 于x的不等式）的解集为，故⑤错误
故正确的有①②④，共3个，
故答案为：B.
【分析】根据抛物线开口，对称轴，以及与y轴的交点，确定a，b，c的符号，即可判断①，根据二次函数y= ax2 + bx + c(a≠0)的图象过(-1，0)，得出a- b+c=0，进而判断对称轴，得出a< -b<2a，进而判断②和③，根据函数图象判断④.将一般式写成交点式得出b=a(1-x1)，c=-ax1， 化简不等式为x2 -x1x>0求得解集，逐一判断即可解答.
15．【答案】（1）解：由题意可得，
（2）解：由题意可得，
设 ，，∴
∴把 代入 ，得 ∴
（3）解：①当 时，当 时，，（舍）
②当 时，当 时，，，，
综上所述，
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】
（1）根据二次函数的对称轴公式，以及点坐标，求出二次函数表达式；
（2）根据二次函数图象向上平移m，以及A，B坐标的特点， BO=2AO ，求出A点坐标的值，代入额次函数求解；
（3）根据二次函数解析式有最大值，根据x的取值范围当，当时，代入二次函数，求出n的值.
16．【答案】（1）解：把点，代入中，
得：，解得，
直线的解析式为：；
（2）解：根据题意可得：，
，
抛物线开口向上，对称轴为，
自变量满足时，函数的最小值为，
当时，有，
或，
在对称轴左侧，随的增大而减小，
时，有最小值，
；
在对称轴右侧，随的增大而增大，
时，有最小值；
综上所述：或；
（3）解：直线的解析式为：，
抛物线与直线联立：，
，
，
，
抛物线与y轴交点为，对称轴为；
时，抛物线对称轴为，
当时，，当时，，则，即，
，
时，抛物线对称轴为，
当时，，即，
，
的取值范围为：或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法把点，代入中，计算即可求出直线的解析式，解答即可 ；
（2）分两种情况：时，抛物线对称轴为，时，抛物线对称轴为，分别求解即可解答；
（3）当结合已知得到、当时解得，结合，分别求解即可解答．
17．【答案】（1）解：观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次函数，
设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
将（0，35），（1，56），（2，63）代入得，
，
解得，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣7x2+28x+35；
（2）解：当x＝0时，y＝35，
∴种子自然发芽率为35%，
∴当y＝35时，﹣7x2+28x+35＝35，
解得x1＝0，x2＝4，
当y＝0时，﹣7x2+28x+35＝0，
解得x1＝﹣1（舍去），x2＝5，
∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4＜x≤5．
【知识点】点的坐标；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用；解一元二次方程的其他方法
【解析】【分析】(1)观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次函数，利用待定系数法设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，将（0，35），（1，56），（2，63）代入计算即可解答；
(2)先根据临界值得到x=4，x=5，即可写出抑制种子发芽时的生长素浓度范围，解答即可.
18．【答案】（1）
（2）或
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数-线段周长问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
1 / 11.4 《二次函数的应用》（3）—浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2023九上·明溪期中）根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程x2﹣4x+2=0的解的取值范围是（　　）
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x2﹣4x+2 2 0.25 ﹣1 ﹣1.75 ﹣2 ﹣1.75 ﹣1 0.25 2
A．0＜x＜0.5，或3.5＜x＜4 B．0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5
C．0.5＜x＜1，或2＜x＜2.5 D．0＜x＜0.5，或3＜x＜3.5
【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：根据下列表格中的对应值，得x=0.5时，x2-4x+2=0.25，x=1.5时，x2-4x+2=-1；x=3时，x2-4x+2=-1，x=3.5时，x2-4x+2=0.25，判断一元二次方程x2-4x+2=0的解的取值范围是0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5，
故选B．
【分析】观察表格中的数据，确定出方程解的范围即可．
2．（2024·哈尔滨模拟）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（　　）
A．抛物线的对称轴为直线
B．抛物线的顶点坐标为
C．，两点之间的距离为
D．当时，的值随值的增大而增大
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用
3．（2023九上·东海月考）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为　 　．
【答案】，
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
4．（2023九上·长沙月考）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为A（-3，9），B（1，1），令，
∴的解为，
∴关于x的方程的解为，
故答案为：．
【分析】令，根据二次函数与一次函数的交点坐标即可求出x的值，从而将化为，即可求解.
5．（2024九上·温州月考）已知二次函数自变量 x与函数y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 　
y … 5 0 0 　
关于x的一元二次方程的解是．
【答案】
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
6．（2024九上·广州期中）抛物线如图所示，则关于的方程的解是　 　．
【答案】，
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
7．（2024九上·余姚月考）已知，二次函数（都是常数，且）的部分对应值为：
x … －1 0 1 2 …
y … 0 n …
（1）求n的值和二次函数的解析式．
（2）若点在该函数图象上，求m的值．
【答案】（1），
（2）3或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用
8．（2022九上·新余月考）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，经过（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为　 　；
（3）方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，m的取值范围为　 　．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）x＜﹣1或x＞3；（3）m≥﹣4．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
二、能力提升
9．根据下表中的二次函数 的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x轴(　　).
x … -1 0 1 2 ··
y … -1 -7/4 -2 -7/4 　
A．只有一个交点
B．有两个交点，且它们分别在 y轴两侧
C．有两个交点，且它们均在 y轴同侧
D．无交点
【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：根据表中的二次函数 的自变量x与函数y的对应值，可以发现当 时，y的值都等于
又根据二次函数的图象对称性可得：直线 是二次函数 的对称轴，此时y有最小值
因此判断该二次函数的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴异侧.
故答案为：B.
【分析】利用二次函数 的自变量x与函数y的对应值.
10．（2025·广安） 如图，二次函数 (a，b，c 为常数，) .的图象交 x 轴于 A，B 两点，点 A 的坐标是 (-1，0)，点 B 的坐标是 (n，0)，有下列结论：①；②；③ 关于 x 的方程的解是，；④.其中正确的有（　　）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴的交点在x轴的上方，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵当x=-2时y＜0，
∴4a-2b+c＜0即4a+c＜2b，故②错误；
∵抛物线与x轴的两个交点坐标为A（-1，0），B（n，0）
∴ 关于 x 的方程的解是，，故③正确；
∴抛物线的对称轴为直线，故④正确；
∴正确结论有3个.
故答案为：C .
【分析】抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴的交点在x轴的上方，可得到a、b、c的取值范围，可对①作出判断；当x=-2时y＜0，可对②作出判断；利用抛物线与x轴的两个交点坐标，可对③④作出判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
11．（2025·天河模拟）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（　　）
①；②；③抛物线的顶点坐标为；
④若，则．
A．①② B．②③④ C．①④ D．①③
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由题意，有两实根，
，
∴两个方程相减得，，
∴，故①正确，
，
令，
∴抛物线的对称轴是直线．
∴抛物线的顶点为．
又，
∴，即．
∴．
∴．
∴顶点坐标为，故③正确．
∵，
∴．
又，
，
∴，故②错误．
∵，
，
∴对于函数，当时的函数值小于当时的函数值．
∵，抛物线的对称轴是直线，
又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，
，
，
∴，故④错误．
综上，正确的有①③共2个．
故答案为：D．
【分析】由有两实根，，可得到关于a、b、c的方程组，采用消元法可求出2a+b的值，可对①作出判断；利用二次函数的对称性可得到抛物线的对称轴，由此可得到抛物线的顶点为c)，再结合，可对③作出判断；依据题意可得，又，进而可得abc的值，可确定出a的符号，可对②作出判断；由，故，即对于函数，当时的函数值小于当时的函数值，再结合，抛物线的对称轴是直线，从而根据二次函数的性质即可判断④；综上所述可得到正确结论的序号.
12．（2025·凉州模拟）二次函数的图象如图所示，若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最小值为　 　．
【答案】2
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：有两个不相等的实数根，
有两个不相等的实数根，
令，（表示与轴平行的直线），
与有两个交点，
，
，
是整数，
整数的最小值为2
故答案为：2．
【分析】对一元二次方程 进行变形：，然后分别令和，再根据有两个不相等的实数根，可得与有两个交点，根据图形，可知，当时，与有两个交点，据此即可求解
13．（2025九下·湛江月考）如图，抛物线与直线交于点，，点为线段的中点，点的横坐标为，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
14．（2025·齐齐哈尔）如图，二次函数的图像与x轴交于两点，，且.下列结论：
①；②；③；④若m和n是关于x的一元二次方程）的两根，且，则，；⑤关于x的不等式）的解集为.其中正确结论的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；数形结合
【解析】【解答】解：①、∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴x=->0
∴b<0，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，故①正确，
②、∵二次函数y= ax2 + bx + c(a≠0)的图象过(-1，0)，
∴a-b+c=0，
∴二次函数y=ax2 + bx +c(a≠0 )的图象与x轴交于两点(-1，0)，(x1，0)，且2∴对称轴
∴a<-b<2a，
∴a-b+c>a+a+c=2a+c，2a+b>0
∴2a+c<0，故②正确；
③、∵b=a+c
∴4a-b+2c=4a- b+2(b-a)= 2a+b>0，
∴4a-b+2c>0，故③错误；
④、如图，
关于x的一元二次方程a(x+ 1)(x-x1)+c=0(a≠0)的两个根，即兩数y=ax2 +bx+c(a≠0)与y=-c交点的横坐标.
∵m<-1<2∴ 若m和n是关于x的一元二次方程）的两根，且，则，； 故④正确；
⑤、∵二次函数的图像与x轴交于两点，
∴y=ax2 +bx+c=a(x+1)(x-x1)=ax2+a(1-x1)x-ax1，
∴b=a(1-x1)， c=-ax1，
∴b-a=-ax1，
∴ax2+bx+c>可化为ax2+(b-a)x>0，
即ax2- ax1x>0，
∵a>0，
∴x2-x1x>0，
解得： x<0或x>x1，
∴ 于x的不等式）的解集为，故⑤错误
故正确的有①②④，共3个，
故答案为：B.
【分析】根据抛物线开口，对称轴，以及与y轴的交点，确定a，b，c的符号，即可判断①，根据二次函数y= ax2 + bx + c(a≠0)的图象过(-1，0)，得出a- b+c=0，进而判断对称轴，得出a< -b<2a，进而判断②和③，根据函数图象判断④.将一般式写成交点式得出b=a(1-x1)，c=-ax1， 化简不等式为x2 -x1x>0求得解集，逐一判断即可解答.
15．（2025·温州三模）已知二次函数y=-x2+bx+c的图象的对称轴是直线x=1，并经过点(3，0).
（1）求二次函数表达式；
（2）将函数图象向上平移m（m>0）个单位长度，图象与x轴相交于点A，B(点A在点B的左侧)，当BO=2AO时，求m的值；
（3）若n>0，当n≤x≤n+1时，二次函数的最大值是2n，求n的值.
【答案】（1）解：由题意可得，
（2）解：由题意可得，
设 ，，∴
∴把 代入 ，得 ∴
（3）解：①当 时，当 时，，（舍）
②当 时，当 时，，，，
综上所述，
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】
（1）根据二次函数的对称轴公式，以及点坐标，求出二次函数表达式；
（2）根据二次函数图象向上平移m，以及A，B坐标的特点， BO=2AO ，求出A点坐标的值，代入额次函数求解；
（3）根据二次函数解析式有最大值，根据x的取值范围当，当时，代入二次函数，求出n的值.
16．（2024九下·常德月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：和直线l：，点均在直线l上
（1）求出直线l的函数解析式；
（2）当，的自变量x满足时，函数y的最小值为，求m的值；
（3）若抛物线C与线段有两个不同的交点，求a的取值范围
【答案】（1）解：把点，代入中，
得：，解得，
直线的解析式为：；
（2）解：根据题意可得：，
，
抛物线开口向上，对称轴为，
自变量满足时，函数的最小值为，
当时，有，
或，
在对称轴左侧，随的增大而减小，
时，有最小值，
；
在对称轴右侧，随的增大而增大，
时，有最小值；
综上所述：或；
（3）解：直线的解析式为：，
抛物线与直线联立：，
，
，
，
抛物线与y轴交点为，对称轴为；
时，抛物线对称轴为，
当时，，当时，，则，即，
，
时，抛物线对称轴为，
当时，，即，
，
的取值范围为：或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法把点，代入中，计算即可求出直线的解析式，解答即可 ；
（2）分两种情况：时，抛物线对称轴为，时，抛物线对称轴为，分别求解即可解答；
（3）当结合已知得到、当时解得，结合，分别求解即可解答．
三、综合拓展
17．（2025·兰州）综合与实践在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题．
【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决．
【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：
生长素浓度x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2
发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12
【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系描出相应的点．
说明：①当生长素浓度x＝0时，种子的发芽率为自然发芽率；
②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；
③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验．
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：
（1）观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式；
（2）请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围．
【答案】（1）解：观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次函数，
设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
将（0，35），（1，56），（2，63）代入得，
，
解得，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣7x2+28x+35；
（2）解：当x＝0时，y＝35，
∴种子自然发芽率为35%，
∴当y＝35时，﹣7x2+28x+35＝35，
解得x1＝0，x2＝4，
当y＝0时，﹣7x2+28x+35＝0，
解得x1＝﹣1（舍去），x2＝5，
∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4＜x≤5．
【知识点】点的坐标；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用；解一元二次方程的其他方法
【解析】【分析】(1)观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次函数，利用待定系数法设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，将（0，35），（1，56），（2，63）代入计算即可解答；
(2)先根据临界值得到x=4，x=5，即可写出抑制种子发芽时的生长素浓度范围，解答即可.
18．（2024·成都模拟）抛物线：与轴交于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是抛物线上的一个动点，设点的横坐标是，过点作直线轴，垂足为点，交直线于点，当，，三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长；
（3）如图2，将抛物线水平向左平移，使抛物线恰好经过原点，得到抛物线，直线：交抛物线于、，若，求原点到距离的最大值．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数-线段周长问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
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