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浙教版数学九年级上册单元检测卷第1章 《二次函数》B卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025·白银）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（　　）
A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m
2．（2025·威海）已知点（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1
3．（2025·安徽） 已知二次函数 的图象如图所示，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2022·新疆）已知抛物线，下列结论错误的是（　　）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大
5．（2024·福建）已知二次函数的图象经过两点，则下列判断正确的是（　　）
A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有
C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有
6．（2022·宁波）点A (m-1，y1)，B(m，y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的图象上。若y1A．m>2 B．m> C．m<1 D． 7．（2025·陕西） 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　）
A．图象的开口向下
B．当时，的值随值的增大而增大
C．函数的最小值小于
D．当时，
8．（2025·山东）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度厘米天和光照强度勒克斯之间存在一定关系．在低光照强度范围内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　）
A．当时，随的增大而减小
B．当时，有最大值
C．当时，
D．当时，
9．（2025·遂宁）如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，
且，当时，则的取值范围为．
其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（2021·齐齐哈尔）如图，二次函数 图象的一部分与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为 ，结合图象给出下列结论：
① ；
② ；
③关于x的一元二次方程 的两根分别为-3和1；
④若点 ， ， 均在二次函数图象上，则 ；
⑤ （m为任意实数）．
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025·上海市）抛物线向下平移两个单位所得的抛物线解析式为　 　.
12．（2014·淮安）将二次函数y=2x2﹣1的图象沿y轴向上平移2个单位，所得图象对应的函数表达式为　 　．
13．（2023·郴州）抛物线与轴只有一个交点，则　 　．
14．（2022·黔东南）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是　 　.
15．（2023·武汉）抛物线（是常数，）经过三点，且．下列四个结论：
①；
②；
③当时，若点在该抛物线上，则；
④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．
其中正确的是　 　（填写序号）．
16．（2024·上海）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为　 　．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025·黑龙江）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为．
（1）求b与c的值。
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由。
18．已知抛物线 与x轴只有一个公共点.
（1）若抛物线过点 P(0，1)，求a+b的最小值.
（2）已知点 P1(-2，1)，P2(2，-1)，P3(2，1)中恰有两点在抛物线上.
①求抛物线的解析式.
②设直线l：y= kx+1与抛物线交于M，N两点，点A 在直线y=--1上，且∠MAN=90°，过点 A 且与x 轴垂直的直线分别交抛物线和l 于点 B，C.求证：△MAB 与△MBC 的面积相等.
19．（2025·黔东南模拟）小星路过某广场时看到一处喷泉景观，喷出的水柱呈抛物线形状（如图1）．如图2是他对此展开研究的示意图，喷出的水柱是抛物线的一部分，测得喷头距离地面的高度米．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）若小星身高1.6米，他站在水柱下方而没有被淋湿，设小星与喷头的水平距离为米，求的取值范围．
（3）为了让喷泉景观更加壮观，需要让喷泉水柱的落地点与喷头的水平距离OB不小于6米，但不能超过8米．若仅改变喷头的高度，设喷头的高度为，试确定的取值范围．
20．（2025·北京市）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 经过点 O和点A(3，3a).
（1）求c的值，并用含a的式子表示b；
（2） 过点 P(t，0)作x轴的垂线，交抛物线于点 M，交直线y= ax于点N.
①若a=1，t =4，求MN的长；
②已知在点P从点O运动到点B(2a，0)的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围.
21．（2025·南宁模拟）如图，抛物线（b为常数）．
（1）求证：抛物线L一定与x轴有两个交点，并且这两个交点分居在原点的两侧；
（2）当抛物线L经过点时，
①求抛物线L的顶点坐标，并直接写出抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标；
②若时，函数的最大值与最小值的差总为，求n的取值范围．
22．（2025·龙岗模拟）数学兴趣小组在学习二次函数后，发现二次函数中字母系数与其图象有直接联系，他们借助学习函数的经验，对二次函数为常数）进行研究．
【特例分析】
（1）数学兴趣小组分别取三个特殊值进行特例研究．
①确定表达式：
当时，，当时，，当时，____________；
②画函数图象：
平面直角坐标系中已画出和的图象，请你在同一坐标系中画出的图象；
【性质探究】
（2）数学兴趣小组通过观察图象得到猜想：不论为何值，二次函数图象经过点．请问这个猜想是否正确？请说明理由．
【性质应用】
（3）已知点，若二次函数图象与线段有且只有一个交点，求的取值范围．
23．（2025·河源模拟）如图所示，已知二次函数图象与直线相交于点，直线交轴于，点为抛物线上一点，将点绕着原点逆时针旋转得到对应点，连接．
（1）求抛物线和直线的函数解析式．
（2）当点坐标为时，求证：点，，三点在同一直线上．
（3）当有一顶点在直线上时，
①求长；
②在①的条件下，当点在第四象限时，在上取点，在上取点，使，连接，，求的最小值．
24．（2025·吉林）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx﹣1经过点（2，﹣1）．点P在此抛物线上．其横坐标为m；连接PO并延长至点Q，使OQ＝2PO．当点P不在坐标轴上时，过点P作x轴的垂线，过点Q作y轴的垂线，这两条垂线交于点M．
（1）求此抛物线对应的函数解析式．
（2）△PQM被y轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变，如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由．
（3）当△PQM的边MQ经过此抛物线的最低点时，求点Q的坐标．
（4）当此抛物线在△PQM内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，
∴当时，水流喷出的最大高度是2.75m，
故答案为：B.
【分析】将函数解析式化为顶点式，然后由二次函数最值知识进行求解.
2．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线
∴抛物线开口向下，对称轴为直线
∵三点为(
∴与对称轴的距离分别为|
故答案为：C.
【分析】先根据抛物线解析式确定二次函数的抛物线的开口方向和对称轴，然后再根据点与对称轴越近、对应的函数值越小解答即可.
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：A、∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴的右侧，与y轴交点在x轴的下方，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0，故A不符合题意；
B、对称轴在0和1之间，
∴，
∴2a+b＞0，故B不符合题意；
C、∵抛物线交x轴的一个点的坐标为（2，0），
∴4a+2b+c=0即4a+4b=2b-c，
∵，
∴a+b＜0即4a+4b＜0，
∴2b-c＜0，故C符合题意；
D、当x=-1时y＞0，
∴a-b+c＞0，故D不符合题意；
故答案为：C .
【分析】观察图象可知抛物线的开口向上，对称轴在y轴的右侧，与y轴交点在x轴的下方，可得到a、b、c的取值范围，可对A作出判断；利用抛物线的对称轴可知，可对B作出判断；再根据抛物线交x轴的一个点的坐标为（2，0），可得到4a+4b=2b-c，利用，可得到4a+4b的取值范围，据此可对C作出判断；当x=-1时y＞0，可对D作出判断.
4．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意；
由解析式得，对称轴为直线，因此B选项正确，不符合题意；
由解析式得，当时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意；
因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线解析式可得a=1>0，据此判断A；根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，1），据此判断B、C；根据开口方向以及对称轴可判断D.
5．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数解析式为y=x2-2ax+a（a≠0），
∴二次函数开口向上，对称轴为，顶点坐标为（a，a-a2），与y轴的交点为（0，a），当a＞0时，，则a-a2＜y1＜a，
当a＜0时，，则a-a2＜y1＜a，A和B选项说法错误；
由二次函数对称性可知点（0，a）和点（2a，a）关于对称轴对称，且在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
当a＞0时，0＜a＜2a＜3a，则y2＞a＞0；
当a＜0时，3a＜2a＜a＜0，则y2＞a，不一定大于0，C选项说法正确，D选项说法错误.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的解析式可得二次函数开口向上，对称轴为x=a，顶点坐标为（a，a-a2），与y轴的交点为（0，a），结合二次函数的性质逐项分析即可求解.
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵点A (m-1，y1)，B(m，y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的图象上 ，
∴y1=(m-1-1)2+n ， y2=(m-1)2+n ，
∵y1∴(m-1-1)2+n<(m-1)2+n ，
整理得：-2m+3<0，
∴m>，
故答案为：B.
【分析】把A、B点坐标代入函数式，根据y17．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧
∴方程的两根异号
∴
解得：0∴二次项系数a<0，开口向上，A错误
∵对称轴为直线
∴当x>1时，y随x的增大而增大，B错误
当x=1时，y=-3
∴最小值为-3，C错误
当x=2时，y=4a-4a+a-3=a-3
∵0∴此时y<0，D正确
故答案为：D
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：观察图象知，直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则抛物线对称轴为，由于抛物线开口向下，则当时，随的增大而减小；当，有最大值；当时，；由于，则直线与抛物线有两个交点，即或与；
故答案为：B.
【分析】A、观察图象知，抛物线与直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，即抛物线上两点 与关于对称轴对称，则对称轴为直线，由于抛物线开口向下，则在对称右侧，即当时随的增大而减小；B、由于抛物线开口向下，则当时，有最大值 ；C、观察图象知，当时，对应在自变量的取值范围为；D、由于在对称轴左侧，即时，随的增大而增大，因为，所以直线与抛物线也有两个交点，即的值应该有两个，且到对称轴的距离相等.
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则a<0，对称轴为直线x=1，则
∴b=-2a>0，
又∵抛物线与y轴交点坐标是(0，m)， 即c=m，
∵20，
∴abc<0， 故①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标是(4，0)，对称轴为直线x=1，
∴另一个交点坐标为(-2，0)，
∴当x=﹣3时， y=9a﹣3b+c<0，故②错误；
∵(-2，0)， (4，0)在抛物线 的图象上，
∴4a-2b+c=0，
又∵b=-2a，
∴4a+4a+c=0，
∴8a+c=0即c=-8a，
∵2∴2<-8a<3，
即
当 时，y取得最大值，最大值为
故③正确；
即
，
对称轴为直线 当 时，
Δ的值随a的增大而增大，
又∵
∴当 时，
∴当 时， 恒成立，即
有两个不相等实根，故④正确；
若点在抛物线 上， 且
即
解得： 且
故⑤错误；
故正确的有①③④，共3个.
故答案为：B.
【分析】根据函数图象结合二次函数的性质，先判断a，b，c的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为 则当 时，即可判断②；根据 ， ，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得a的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④；根据 结合函数图象分析，即可得出 进而判断⑤， 即可求解.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵二次函数 图象的一部分与x轴的一个交点坐标为 ，
∴当x=1时， ，
故结论①符合题意；
根据函数图象可知，
当 ，即 ，
对称轴为 ，即 ，
根据抛物线开口向上，得 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
故结论②符合题意；
根据抛物线与x轴的一个交点为 ，
对称轴为 可知：抛物线与x轴的另一个交点为(-3，0)，
∴关于x的一元二次方程 的两根分别为-3和1，
故结论③符合题意；
根据函数图象可知： ，
故结论④不符合题意；
当 时， ，
∴当 时， ，
即 ，
故结论⑤不符合题意，
综上：①②③符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数 图象的一部分与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为 ，再结合函数图象对每个结论一一判断求解即可。
11．【答案】y=3x2-2
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵抛物线y=3x2向下平移两个单位，
∴y=3x2-2，
故答案为：y=3x2-2.
【分析】根据二次函数的平移法则进行平移即可.
12．【答案】y=2x2+1
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵二次函数y=2x2﹣1的图象沿y轴向上平移2个单位，
∴所得图象对应的函数表达式为：y=2x2﹣1+2=2x2+1．
故答案为：y=2x2+1．
【分析】利用二次函数与几何变换规律“上加下减”，进而求出图象对应的函数表达式．
13．【答案】9
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线与轴只有一个交点，
∴，
∴c=9，
故答案为：9
【分析】根据二次函数与x轴的交点问题结合题意即可求解。
14．【答案】（1，-3）
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的顶点为（-1，-2），
将抛物线先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2），
旋转后的抛物线为，
再向下平移5个单位，即.
∴新抛物线的顶点（1，-3）
故答案是：（1，-3）.
【分析】将二次函数函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标，利用旋转的性质，可得到旋转后的抛物线的解析式；再利用二次函数图象平移规律：上加下减，可得到平移后的抛物线的解析式.
15．【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵图象经过点（1，1），c＜0，
∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
若抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点都在（1，0）的左侧，
∵（n，0），n≥3，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（3，0）的右侧，
∴抛物线的开口一定向下，
∴a＜0，
∴a+b+c=1，
∴b=1-a-c，
∴b＞0，故①错误；
∵a＜0，b＞0，c＜0，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为（m，0），（n，0），
∴mn＞0，
∵n≥3，
∴m＞0，
∴，
∴抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，抛物线的顶点在点（1，1）的右侧，
∴，
∴4ac-b2＜4a，故②正确；
∵抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，抛物线的顶点在点（1，1）的右侧，
当n=3时，
∴点（1，1）到对称轴的距离大于点（2，t）到对称轴的距离，
∴t＞1，故③正确；
∵ 关于的一元二次方程有两个相等的实数根 ，
∴（b-1）2-4ac=0
∵a+b+c=1，
∴1-b=a+c，
∴（a+c）2-4ac=0，
∴a=c，
∵点（m，0）和点（n，0）在抛物线上，
∴
∵n≥3，
∴，
∴m的取值范围为，故④正确；
∴正确结论的序号为②③④
故答案为：②③④
【分析】利用图象经过点（1，1），c＜0，可知抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，若抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点都在（1，0）的左侧，利用n的取值范围，可得到抛物线与x轴的另一个交点在（3，0）的右侧，则抛物线的开口一定向下，可得到a的取值范围，将点（1，1）代入，可得到b的取值范围，可对①作出判断；利用a，b，c的取值范围，利用一元二次方程根与系数，可得到mn的取值范围，结合n的取值范围，可得到抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，抛物线的顶点在点（1，1）的右侧，由此可推出，可对②作出判断；利用n的值及抛物线的对称轴的位置，可得到点（1，1）到对称轴的距离大于点（2，t）到对称轴的距离，可得到t的取值范围，可对③作出判断；利用一元二次方程根的判别式，可证得a=c，由一元二次方程根与系数，可得到nm=1，利用n的取值范围，可得到m的取值范围，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
16．【答案】4
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵
∴ m=，k=
根据题意，设点P（x， ）
∴
解得：x=或x=（不合题意，舍去）
∴ 开口大小==4
故答案为：4
【分析】本题考查二次函数顶点坐标，解一元二次方程及新定义，熟悉求二次函数的顶点坐标方法，解一元二次方程的方法等知识，是解题关键。根据配方法或者顶点公式求出顶点坐标，即m，k的值，再根据满足的条件，解出方程的根，可得点P的横坐标，根据开口大小公式求解即可。
17．【答案】（1）解：由已知得：
整理，得：
∴b=-6， c=5；
（2）点P的横坐标为：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】(2)存在，理由如下：如图，过点B作x轴的垂线，并在垂线上在x轴的上方取BD=4，连接AD，
对于抛物线y=x2 - 6x+5，当y=0，x2-6x+5=0，解得：x1=1，x2=5，当x = 0，y=5，
0B=0C=5，AB=5-1=4，∵∠COB=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
过点B作x轴的垂线，在x轴上方的垂线上截取 BD=BA=4.
连接AD与BC交于点E，则D(5，4)
∴∠DBC=90°-∠OBC=45°=∠OCB，
∴BC⊥AD，ED =EA，
过点D作BC平行线与抛物线交点即为点P，
设直线BC：y=mx+n，
根据B、C的坐标可求得直线BC：y=-x+5，
如图，抛物线y=x2 - 6x+5，
∵BC∥PD，
设直线PD：y=-x+q，
代入D(5，4)得： -5+q=4，解得：q=9，
∴直线PD：y=-x+9，
与抛物线解析式联立得：
整理得：x2-5x-4=0，
解得：
∴ 点P的横坐标为：
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标， 利用二次函数的顶点式可得出解析式的顶点式，然后再把它转化成一般式，即可得出b与c的值 ；
（2）先求出△ABC的面积，再根据△PBC与△ABC面积相等这一条件，求出点P的坐标。
18．【答案】（1）解：把P(0，1)代入解析式得：
又∵抛物线与x轴只有一个公共点，
即
当 时， 有最小值为
（2）解：①∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴抛物线上的顶点在x轴上，
∴抛物线上的点为
又 关于y轴对称，
∴顶点为原点(0，0)，
设解析式为
代入点. 得：
②证明：联立直线l和抛物线得：
即：
设.
由韦达定理得：
设线段MN的中点为T，设A的坐标为
则T的坐标为
，
由题意得：
是直角三角形，且MN是斜边，
即：
，
解得
∴B是AC的中点，
又· 与 的高都是点M到直线AC的距离，
与 的高相等，
与 的面积相等
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)将点P的坐标代入解析式中，得出a和b的关系式， 即可求出 的最小值；(2)①由题意得出抛物线与x轴只有一个交点，所以抛物线上的点在同一侧，即两点只能为 即可求出抛物线的解析式；
(3)根据题意先设出点A的横坐标，然后用含k的式子表示出A的横坐标，再证明 即可得出 与 的面积相等.
19．【答案】（1）解：喷头距离地面1米．
．
把代入，
得
解得．
抛物线的表达式为：．
（2）解：在中，令，得．
∴
解得：，．
∵他站在水柱下方而没有被淋湿，
．
（3）解：在中，令，得，
∴，
解得：，．
．
喷头沿轴向上平移．
设喷头沿轴向上平移米，
则抛物线水柱的表达式为：
当，时，
得，
∴，
∴
．
当，时，得，
则，
∴
．
，
即．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】
（1）先由OA=1可得，再利用待定系数法求出即可．
（2）由小星的身高可先计算，解得，，再结合身高为1.6米的小星没有被淋湿可得．
（3）由于地面在x轴上，即，可解得：，．因为，可设喷头沿轴向上平移米，则抛物线水柱的表达式为：，然后把，和，代入进行计算，得的值，则，即可作答．
（1）解：喷头距离地面1米．
．
把代入，
得
解得．
抛物线的表达式为：．
（2）解：在中，
令，得．
∴
解得：，．
∵他站在水柱下方而没有被淋湿，
．
（3）解：在中，令，
得，
∴，
解得：，．
．
喷头沿轴向上平移．
设喷头沿轴向上平移米，
则抛物线水柱的表达式为：
当，时，
得，
∴，
∴
．
当，时，得，
则，
∴
．
，
即．
20．【答案】（1）解：将点O(0，0)代入， 抛物线 可得c=0，
∴该抛物线解析式为
将点A(3，3a)代入， 抛物线.
可得3a=9a+3b， 解得b=-2a；
（2）解：①若a=1，则该抛物线及直线解析分别为
当t=4时， 可有点P(4，0)，
如下图，
∵PM⊥x轴，
将x=4代入 可得 即M(4，8)，
将x=4代入y=x， 可得y=4， 即N(4，4)，
∴MN=8-4=4；
②当点P从点O运动到点B(2a，0)的过程中，
∵PM⊥x轴， P(t，0)，
将x=t代入. 可得 即
将x=t代入y= ax， 可得y= at， 即N(t， at)，
令MN=0， 即 解得t=0或t=3，
若a＞0， 可有2a＞0， 即点B在y轴右侧， 如下图，
当0＜t≤3时， 可有 其图像开口向下，对称轴为 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则 解得
当t＞3时， 可有. 其图像开口向上，对称轴为 不符合题意；若a＜0， 可有2a＜0， 即点B在y轴左侧， 如下图，
当t＜0时， 可有. 其图像开口向上，对称轴为 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大，则 解得
∴a＜0.
综上所述，a的取值范围为 且a≠0.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将原点代入抛物线解析式可得c=0，即该抛物线解析式为 再将点A坐标代入解析式，化简即可求出答案.
（2）①若a=1，则该抛物线及直线解析分别为 当t=4时， 可有点P(4，0)，根据垂直于x轴的直线上的点的坐标特征可得，再分别代入抛物线与直线解析式可得M，N点坐标，再根据两点间距离即可求出答案.
②当点P从点O运动到点B(2a，0)的过程中，根据垂直于x轴的直线上的点的坐标特征可得，再分别代入抛物线与直线解析式可得N(t， at)，根据两点间距离可得，令MN=0， 解方程可得t=0或t=3，分情况讨论：若a＞0， 可有2a＞0， 即点B在y轴右侧，当0＜t≤3时， 可有 其图像开口向下，对称轴为 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则 解得 当t＞3时， 可有. 其图像开口向上，对称轴为 不符合题意；若a＜0， 可有2a＜0， 即点B在y轴左侧，当t＜0时， 可有. 其图像开口向上，对称轴为 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大，则 解得 即可求出答案.
21．【答案】（1）证明：在中，令，
，
该一元二次方程有两个不相等的实数根，即抛物线L一定与x轴有两个交点.
设的根分别为，
，
该一元二次方程有两个异号的实数根，即抛物线L与x轴的两个交点分居在原点的两侧；
（2）解：①抛物线L经过点，
∴抛物线L的对称轴为直线：，
即
，
∴L的函数表达式为
∵．
∴抛物线L的顶点坐标为，
令，
解得：（负数舍去），
∴抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标．
②与y轴交于点，
则点D关于直线的对称点为，
抛物线L的开口向上，
∴当时，抛物线L上的最高点的纵坐标总是，最低点总是，
此时两个点的竖直距离总为：，
当时，函数的最大值与最小值的差总为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得交点的个数，再通过根与系数的关系，即可得交点的位置；
（2）①利用点两点关于对称轴对称，可得顶点坐标，且可求得b的值，再令，解方程即可求得抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标；
②利用二次函数的性质，进行解答即可．
（1）证明：在中，令，
，
该一元二次方程有两个不相等的实数根，
即抛物线L一定与x轴有两个交点
设的根分别为，
，
该一元二次方程有两个异号的实数根，
∴抛物线L与x轴的两个交点分居在原点的两侧；
（2）解：①抛物线L经过点，
∴抛物线L的对称轴为直线，
，
的函数表达式为．
当时，．
∴抛物线L的顶点坐标为，
当时，，
解得（负数舍去），
抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标．
②与y轴交于点，
则点D关于直线的对称点为，
抛物线L的开口向上，
∴当时，抛物线L上的最高点的纵坐标总是，
最低点总是，两个点的竖直距离总为，
当时，函数的最大值与最小值的差总为．
22．【答案】（1）①，
②如图所示
（2），
当时，，
此时，
不论为何值，二次函数图象经过点．
（3）①当时，；当时，；
即，
解得：；
②当时，；当时，；
即，
解得：；
③由得，
则，
，
当，解得：；
当时，方程的解，即交点的横坐标不在范围内，即舍去．
综上，或或．
【知识点】描点法画函数图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：（1）①当时，；
故答案为：；
【分析】（1）①将代入解析式即可求出答案.
②根据描点法作图即可求出答案.
（2）根据点代入关系式即可求出答案.
（3）①根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
②由得，联立二次函数解析式，根据判别式，解方程可得，再根据自变量取值范围判断即可求出答案.
23．【答案】（1）解：把代入中，
得，
解得．
抛物线的函数解析式为．
把代入中，得，
解得．
直线的函数解析式为．
（2）证明：对于直线，令，得，．
过作轴于，过作轴于，
∴，
∴，
∵，
∴，而，
∴，，
∴，
设直线的解析式为．
代入，，得，
解得，
直线的解析式为．
当时，，
点在直线上．
，，三点在同一直线上．
（3）解：①联立，解得或，
直线和抛物线的交点为，．
（ⅰ）当点在直线上时，
当时，，此时，都在直线上，舍去，
如图，当时，
同理可得：，
∴，，
∴，
此时，
（ⅱ）如图，当点在直线上时，设，同理可得：．
由题意，得，
解得：或（舍去）
，，
∴，
综上所述，的长为或．
②当点在第四象限时，如图，，，，．
由题意，得，，．
在外部，作，且，
连接，
得，
∵，
，
，
，
当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，
此时．
的最小值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；两点之间线段最短；三角形全等及其性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）把代入与，计算即可解答；
（2）令，得得到，过作轴于，过作轴于，利用AAS证明，可得，，从而得到，设直线的解析式为．代入，可求得，解答即可；
（3）①联立求解直线和抛物线的交点为，．（ⅰ）当点在直线上时，当时，，此时，都在直线上，舍去；当时，可得，进一步利用勾股定理求解即可；（ⅱ）如图，当点在直线上时，设，同理可得：，，，进一步利用勾股定理求解即可；
②当点在第四象限时，如图，，，，．在外部，作，且，连接，证明，可得，当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，解答即可．
（1）解：把代入中，
得，
解得．
抛物线的函数解析式为．
把代入中，得，
解得．
直线的函数解析式为．
（2）证明：对于直线，令，得，
．
过作轴于，过作轴于，
∴，
∴，
∵，
∴，而，
∴，，
∴，
设直线的解析式为．
代入，，得，
解得，
直线的解析式为．
当时，，
点在直线上．
，，三点在同一直线上．
（3）解：①联立，
解得或，
直线和抛物线的交点为，．
（ⅰ）当点在直线上时，
当时，，此时，都在直线上，舍去，
如图，当时，
同理可得：，
∴，，
∴，
此时，
（ⅱ）如图，当点在直线上时，设，同理可得：．
由题意，得，
解得：或（舍去）
，，
∴，
综上所述，的长为或．
②当点在第四象限时，如图，，，，．
由题意，得，，．
在外部，作，且，
连接，
得，
∵，
，
，
，
当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，
此时．
的最小值为．
24．【答案】（1）解：将（2，﹣1）代入y＝x2+bx﹣得，﹣1＝4+2b﹣1，
解得b＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1；
（2）解：如图所示，面积比保持不变为，理由如下：
根据题意可得，∠M＝∠ODQ＝90°，∠Q＝∠Q，
∴△QOD∽△QPM，
∴，
∴，
则；
（3）解：如图所示，QM经过最低点，即经过顶点，
该抛物线的顶点横坐标为，
纵坐标为，
该抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），
∵∠PNO＝∠ODQ＝90°，∠NPO＝∠DOQ，
∴△PON∽△OQD，且相似比为，
根据顶点纵坐标可得，OD＝2，
则，即，
解得，
①当时，
即为如图所示，
此时，
点Q在第四象限，
故；
②如图所示，
当时，此时点P在第一象限，点Q在第三象限，此时，
故；
综上，或；
（4）解：①当PQ经过顶点T时，过点T作TE⊥x轴，交x轴于点E，
由∠PNO＝∠TEO＝90°，∠PON＝∠TOE得，△PON∽△TOE，
∴，即，解得m＝1（舍去），或m＝﹣1，
∴当点P向左运动时，满足题意，
∴m≤﹣1；
②如图所示，当点Q在抛物线上时，过点Q作QE⊥x，交x轴于点E，
同理，△PON∽△QOE，相似比仍为 此时，Q[﹣2m，﹣2（m2﹣2m﹣1）]，代入抛物线解析式得，﹣2（m2﹣2m﹣1）＝（﹣2m）2+4m﹣1，
解得（舍去），或，
此时，当P点向下一直移动，直至到x轴时，都符合题意，当x2﹣2x﹣1＝0时，
解得，x2＝1+，
∴当x 1﹣时，符合题意；
③如图所示，当点Q在抛物线上时，点Q在第二象限，点P在第四象限，
思路同②，此时Q[﹣2m，﹣2（m2﹣2m﹣1）]，代入抛物线解析式得，﹣2（m2﹣2m﹣1）＝（﹣2m）2+4m﹣1，
解得m＝﹣m＝，
此时，当P点向右一直移动，直至到x轴时，都符合题意，
∴当≤m≤1+时，符合题意；
综上所述，当m≤﹣1或﹣≤m≤1﹣或≤m≤1+时，符合题意．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)根据题意，利用相似三角形的性质求出面积之比即可；
(3)QM经过最低点，即经过顶点，画出示意图，先求出顶点坐标，再利用相似三角形的判定和性质求出m的值，最后分两种情况求出点Q的坐标即可；
(4)根据题意，分三种情况进行分析，画出图形找出临界点，利用相似三角形的性质列出一元二次方程，然后进行求解即可.
1 / 1浙教版数学九年级上册单元检测卷第1章 《二次函数》B卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025·白银）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（　　）
A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，
∴当时，水流喷出的最大高度是2.75m，
故答案为：B.
【分析】将函数解析式化为顶点式，然后由二次函数最值知识进行求解.
2．（2025·威海）已知点（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线
∴抛物线开口向下，对称轴为直线
∵三点为(
∴与对称轴的距离分别为|
故答案为：C.
【分析】先根据抛物线解析式确定二次函数的抛物线的开口方向和对称轴，然后再根据点与对称轴越近、对应的函数值越小解答即可.
3．（2025·安徽） 已知二次函数 的图象如图所示，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：A、∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴的右侧，与y轴交点在x轴的下方，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0，故A不符合题意；
B、对称轴在0和1之间，
∴，
∴2a+b＞0，故B不符合题意；
C、∵抛物线交x轴的一个点的坐标为（2，0），
∴4a+2b+c=0即4a+4b=2b-c，
∵，
∴a+b＜0即4a+4b＜0，
∴2b-c＜0，故C符合题意；
D、当x=-1时y＞0，
∴a-b+c＞0，故D不符合题意；
故答案为：C .
【分析】观察图象可知抛物线的开口向上，对称轴在y轴的右侧，与y轴交点在x轴的下方，可得到a、b、c的取值范围，可对A作出判断；利用抛物线的对称轴可知，可对B作出判断；再根据抛物线交x轴的一个点的坐标为（2，0），可得到4a+4b=2b-c，利用，可得到4a+4b的取值范围，据此可对C作出判断；当x=-1时y＞0，可对D作出判断.
4．（2022·新疆）已知抛物线，下列结论错误的是（　　）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意；
由解析式得，对称轴为直线，因此B选项正确，不符合题意；
由解析式得，当时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意；
因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线解析式可得a=1>0，据此判断A；根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，1），据此判断B、C；根据开口方向以及对称轴可判断D.
5．（2024·福建）已知二次函数的图象经过两点，则下列判断正确的是（　　）
A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有
C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数解析式为y=x2-2ax+a（a≠0），
∴二次函数开口向上，对称轴为，顶点坐标为（a，a-a2），与y轴的交点为（0，a），当a＞0时，，则a-a2＜y1＜a，
当a＜0时，，则a-a2＜y1＜a，A和B选项说法错误；
由二次函数对称性可知点（0，a）和点（2a，a）关于对称轴对称，且在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
当a＞0时，0＜a＜2a＜3a，则y2＞a＞0；
当a＜0时，3a＜2a＜a＜0，则y2＞a，不一定大于0，C选项说法正确，D选项说法错误.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的解析式可得二次函数开口向上，对称轴为x=a，顶点坐标为（a，a-a2），与y轴的交点为（0，a），结合二次函数的性质逐项分析即可求解.
6．（2022·宁波）点A (m-1，y1)，B(m，y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的图象上。若y1A．m>2 B．m> C．m<1 D． 【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵点A (m-1，y1)，B(m，y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的图象上 ，
∴y1=(m-1-1)2+n ， y2=(m-1)2+n ，
∵y1∴(m-1-1)2+n<(m-1)2+n ，
整理得：-2m+3<0，
∴m>，
故答案为：B.
【分析】把A、B点坐标代入函数式，根据y17．（2025·陕西） 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　）
A．图象的开口向下
B．当时，的值随值的增大而增大
C．函数的最小值小于
D．当时，
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧
∴方程的两根异号
∴
解得：0∴二次项系数a<0，开口向上，A错误
∵对称轴为直线
∴当x>1时，y随x的增大而增大，B错误
当x=1时，y=-3
∴最小值为-3，C错误
当x=2时，y=4a-4a+a-3=a-3
∵0∴此时y<0，D正确
故答案为：D
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
8．（2025·山东）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度厘米天和光照强度勒克斯之间存在一定关系．在低光照强度范围内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　）
A．当时，随的增大而减小
B．当时，有最大值
C．当时，
D．当时，
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：观察图象知，直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则抛物线对称轴为，由于抛物线开口向下，则当时，随的增大而减小；当，有最大值；当时，；由于，则直线与抛物线有两个交点，即或与；
故答案为：B.
【分析】A、观察图象知，抛物线与直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，即抛物线上两点 与关于对称轴对称，则对称轴为直线，由于抛物线开口向下，则在对称右侧，即当时随的增大而减小；B、由于抛物线开口向下，则当时，有最大值 ；C、观察图象知，当时，对应在自变量的取值范围为；D、由于在对称轴左侧，即时，随的增大而增大，因为，所以直线与抛物线也有两个交点，即的值应该有两个，且到对称轴的距离相等.
9．（2025·遂宁）如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，
且，当时，则的取值范围为．
其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则a<0，对称轴为直线x=1，则
∴b=-2a>0，
又∵抛物线与y轴交点坐标是(0，m)， 即c=m，
∵20，
∴abc<0， 故①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标是(4，0)，对称轴为直线x=1，
∴另一个交点坐标为(-2，0)，
∴当x=﹣3时， y=9a﹣3b+c<0，故②错误；
∵(-2，0)， (4，0)在抛物线 的图象上，
∴4a-2b+c=0，
又∵b=-2a，
∴4a+4a+c=0，
∴8a+c=0即c=-8a，
∵2∴2<-8a<3，
即
当 时，y取得最大值，最大值为
故③正确；
即
，
对称轴为直线 当 时，
Δ的值随a的增大而增大，
又∵
∴当 时，
∴当 时， 恒成立，即
有两个不相等实根，故④正确；
若点在抛物线 上， 且
即
解得： 且
故⑤错误；
故正确的有①③④，共3个.
故答案为：B.
【分析】根据函数图象结合二次函数的性质，先判断a，b，c的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为 则当 时，即可判断②；根据 ， ，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得a的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④；根据 结合函数图象分析，即可得出 进而判断⑤， 即可求解.
10．（2021·齐齐哈尔）如图，二次函数 图象的一部分与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为 ，结合图象给出下列结论：
① ；
② ；
③关于x的一元二次方程 的两根分别为-3和1；
④若点 ， ， 均在二次函数图象上，则 ；
⑤ （m为任意实数）．
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵二次函数 图象的一部分与x轴的一个交点坐标为 ，
∴当x=1时， ，
故结论①符合题意；
根据函数图象可知，
当 ，即 ，
对称轴为 ，即 ，
根据抛物线开口向上，得 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
故结论②符合题意；
根据抛物线与x轴的一个交点为 ，
对称轴为 可知：抛物线与x轴的另一个交点为(-3，0)，
∴关于x的一元二次方程 的两根分别为-3和1，
故结论③符合题意；
根据函数图象可知： ，
故结论④不符合题意；
当 时， ，
∴当 时， ，
即 ，
故结论⑤不符合题意，
综上：①②③符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数 图象的一部分与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为 ，再结合函数图象对每个结论一一判断求解即可。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025·上海市）抛物线向下平移两个单位所得的抛物线解析式为　 　.
【答案】y=3x2-2
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵抛物线y=3x2向下平移两个单位，
∴y=3x2-2，
故答案为：y=3x2-2.
【分析】根据二次函数的平移法则进行平移即可.
12．（2014·淮安）将二次函数y=2x2﹣1的图象沿y轴向上平移2个单位，所得图象对应的函数表达式为　 　．
【答案】y=2x2+1
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵二次函数y=2x2﹣1的图象沿y轴向上平移2个单位，
∴所得图象对应的函数表达式为：y=2x2﹣1+2=2x2+1．
故答案为：y=2x2+1．
【分析】利用二次函数与几何变换规律“上加下减”，进而求出图象对应的函数表达式．
13．（2023·郴州）抛物线与轴只有一个交点，则　 　．
【答案】9
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线与轴只有一个交点，
∴，
∴c=9，
故答案为：9
【分析】根据二次函数与x轴的交点问题结合题意即可求解。
14．（2022·黔东南）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是　 　.
【答案】（1，-3）
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的顶点为（-1，-2），
将抛物线先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2），
旋转后的抛物线为，
再向下平移5个单位，即.
∴新抛物线的顶点（1，-3）
故答案是：（1，-3）.
【分析】将二次函数函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标，利用旋转的性质，可得到旋转后的抛物线的解析式；再利用二次函数图象平移规律：上加下减，可得到平移后的抛物线的解析式.
15．（2023·武汉）抛物线（是常数，）经过三点，且．下列四个结论：
①；
②；
③当时，若点在该抛物线上，则；
④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．
其中正确的是　 　（填写序号）．
【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵图象经过点（1，1），c＜0，
∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
若抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点都在（1，0）的左侧，
∵（n，0），n≥3，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（3，0）的右侧，
∴抛物线的开口一定向下，
∴a＜0，
∴a+b+c=1，
∴b=1-a-c，
∴b＞0，故①错误；
∵a＜0，b＞0，c＜0，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为（m，0），（n，0），
∴mn＞0，
∵n≥3，
∴m＞0，
∴，
∴抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，抛物线的顶点在点（1，1）的右侧，
∴，
∴4ac-b2＜4a，故②正确；
∵抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，抛物线的顶点在点（1，1）的右侧，
当n=3时，
∴点（1，1）到对称轴的距离大于点（2，t）到对称轴的距离，
∴t＞1，故③正确；
∵ 关于的一元二次方程有两个相等的实数根 ，
∴（b-1）2-4ac=0
∵a+b+c=1，
∴1-b=a+c，
∴（a+c）2-4ac=0，
∴a=c，
∵点（m，0）和点（n，0）在抛物线上，
∴
∵n≥3，
∴，
∴m的取值范围为，故④正确；
∴正确结论的序号为②③④
故答案为：②③④
【分析】利用图象经过点（1，1），c＜0，可知抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，若抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点都在（1，0）的左侧，利用n的取值范围，可得到抛物线与x轴的另一个交点在（3，0）的右侧，则抛物线的开口一定向下，可得到a的取值范围，将点（1，1）代入，可得到b的取值范围，可对①作出判断；利用a，b，c的取值范围，利用一元二次方程根与系数，可得到mn的取值范围，结合n的取值范围，可得到抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，抛物线的顶点在点（1，1）的右侧，由此可推出，可对②作出判断；利用n的值及抛物线的对称轴的位置，可得到点（1，1）到对称轴的距离大于点（2，t）到对称轴的距离，可得到t的取值范围，可对③作出判断；利用一元二次方程根的判别式，可证得a=c，由一元二次方程根与系数，可得到nm=1，利用n的取值范围，可得到m的取值范围，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
16．（2024·上海）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为　 　．
【答案】4
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵
∴ m=，k=
根据题意，设点P（x， ）
∴
解得：x=或x=（不合题意，舍去）
∴ 开口大小==4
故答案为：4
【分析】本题考查二次函数顶点坐标，解一元二次方程及新定义，熟悉求二次函数的顶点坐标方法，解一元二次方程的方法等知识，是解题关键。根据配方法或者顶点公式求出顶点坐标，即m，k的值，再根据满足的条件，解出方程的根，可得点P的横坐标，根据开口大小公式求解即可。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025·黑龙江）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为．
（1）求b与c的值。
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）解：由已知得：
整理，得：
∴b=-6， c=5；
（2）点P的横坐标为：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】(2)存在，理由如下：如图，过点B作x轴的垂线，并在垂线上在x轴的上方取BD=4，连接AD，
对于抛物线y=x2 - 6x+5，当y=0，x2-6x+5=0，解得：x1=1，x2=5，当x = 0，y=5，
0B=0C=5，AB=5-1=4，∵∠COB=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
过点B作x轴的垂线，在x轴上方的垂线上截取 BD=BA=4.
连接AD与BC交于点E，则D(5，4)
∴∠DBC=90°-∠OBC=45°=∠OCB，
∴BC⊥AD，ED =EA，
过点D作BC平行线与抛物线交点即为点P，
设直线BC：y=mx+n，
根据B、C的坐标可求得直线BC：y=-x+5，
如图，抛物线y=x2 - 6x+5，
∵BC∥PD，
设直线PD：y=-x+q，
代入D(5，4)得： -5+q=4，解得：q=9，
∴直线PD：y=-x+9，
与抛物线解析式联立得：
整理得：x2-5x-4=0，
解得：
∴ 点P的横坐标为：
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标， 利用二次函数的顶点式可得出解析式的顶点式，然后再把它转化成一般式，即可得出b与c的值 ；
（2）先求出△ABC的面积，再根据△PBC与△ABC面积相等这一条件，求出点P的坐标。
18．已知抛物线 与x轴只有一个公共点.
（1）若抛物线过点 P(0，1)，求a+b的最小值.
（2）已知点 P1(-2，1)，P2(2，-1)，P3(2，1)中恰有两点在抛物线上.
①求抛物线的解析式.
②设直线l：y= kx+1与抛物线交于M，N两点，点A 在直线y=--1上，且∠MAN=90°，过点 A 且与x 轴垂直的直线分别交抛物线和l 于点 B，C.求证：△MAB 与△MBC 的面积相等.
【答案】（1）解：把P(0，1)代入解析式得：
又∵抛物线与x轴只有一个公共点，
即
当 时， 有最小值为
（2）解：①∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴抛物线上的顶点在x轴上，
∴抛物线上的点为
又 关于y轴对称，
∴顶点为原点(0，0)，
设解析式为
代入点. 得：
②证明：联立直线l和抛物线得：
即：
设.
由韦达定理得：
设线段MN的中点为T，设A的坐标为
则T的坐标为
，
由题意得：
是直角三角形，且MN是斜边，
即：
，
解得
∴B是AC的中点，
又· 与 的高都是点M到直线AC的距离，
与 的高相等，
与 的面积相等
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)将点P的坐标代入解析式中，得出a和b的关系式， 即可求出 的最小值；(2)①由题意得出抛物线与x轴只有一个交点，所以抛物线上的点在同一侧，即两点只能为 即可求出抛物线的解析式；
(3)根据题意先设出点A的横坐标，然后用含k的式子表示出A的横坐标，再证明 即可得出 与 的面积相等.
19．（2025·黔东南模拟）小星路过某广场时看到一处喷泉景观，喷出的水柱呈抛物线形状（如图1）．如图2是他对此展开研究的示意图，喷出的水柱是抛物线的一部分，测得喷头距离地面的高度米．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）若小星身高1.6米，他站在水柱下方而没有被淋湿，设小星与喷头的水平距离为米，求的取值范围．
（3）为了让喷泉景观更加壮观，需要让喷泉水柱的落地点与喷头的水平距离OB不小于6米，但不能超过8米．若仅改变喷头的高度，设喷头的高度为，试确定的取值范围．
【答案】（1）解：喷头距离地面1米．
．
把代入，
得
解得．
抛物线的表达式为：．
（2）解：在中，令，得．
∴
解得：，．
∵他站在水柱下方而没有被淋湿，
．
（3）解：在中，令，得，
∴，
解得：，．
．
喷头沿轴向上平移．
设喷头沿轴向上平移米，
则抛物线水柱的表达式为：
当，时，
得，
∴，
∴
．
当，时，得，
则，
∴
．
，
即．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】
（1）先由OA=1可得，再利用待定系数法求出即可．
（2）由小星的身高可先计算，解得，，再结合身高为1.6米的小星没有被淋湿可得．
（3）由于地面在x轴上，即，可解得：，．因为，可设喷头沿轴向上平移米，则抛物线水柱的表达式为：，然后把，和，代入进行计算，得的值，则，即可作答．
（1）解：喷头距离地面1米．
．
把代入，
得
解得．
抛物线的表达式为：．
（2）解：在中，
令，得．
∴
解得：，．
∵他站在水柱下方而没有被淋湿，
．
（3）解：在中，令，
得，
∴，
解得：，．
．
喷头沿轴向上平移．
设喷头沿轴向上平移米，
则抛物线水柱的表达式为：
当，时，
得，
∴，
∴
．
当，时，得，
则，
∴
．
，
即．
20．（2025·北京市）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 经过点 O和点A(3，3a).
（1）求c的值，并用含a的式子表示b；
（2） 过点 P(t，0)作x轴的垂线，交抛物线于点 M，交直线y= ax于点N.
①若a=1，t =4，求MN的长；
②已知在点P从点O运动到点B(2a，0)的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围.
【答案】（1）解：将点O(0，0)代入， 抛物线 可得c=0，
∴该抛物线解析式为
将点A(3，3a)代入， 抛物线.
可得3a=9a+3b， 解得b=-2a；
（2）解：①若a=1，则该抛物线及直线解析分别为
当t=4时， 可有点P(4，0)，
如下图，
∵PM⊥x轴，
将x=4代入 可得 即M(4，8)，
将x=4代入y=x， 可得y=4， 即N(4，4)，
∴MN=8-4=4；
②当点P从点O运动到点B(2a，0)的过程中，
∵PM⊥x轴， P(t，0)，
将x=t代入. 可得 即
将x=t代入y= ax， 可得y= at， 即N(t， at)，
令MN=0， 即 解得t=0或t=3，
若a＞0， 可有2a＞0， 即点B在y轴右侧， 如下图，
当0＜t≤3时， 可有 其图像开口向下，对称轴为 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则 解得
当t＞3时， 可有. 其图像开口向上，对称轴为 不符合题意；若a＜0， 可有2a＜0， 即点B在y轴左侧， 如下图，
当t＜0时， 可有. 其图像开口向上，对称轴为 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大，则 解得
∴a＜0.
综上所述，a的取值范围为 且a≠0.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将原点代入抛物线解析式可得c=0，即该抛物线解析式为 再将点A坐标代入解析式，化简即可求出答案.
（2）①若a=1，则该抛物线及直线解析分别为 当t=4时， 可有点P(4，0)，根据垂直于x轴的直线上的点的坐标特征可得，再分别代入抛物线与直线解析式可得M，N点坐标，再根据两点间距离即可求出答案.
②当点P从点O运动到点B(2a，0)的过程中，根据垂直于x轴的直线上的点的坐标特征可得，再分别代入抛物线与直线解析式可得N(t， at)，根据两点间距离可得，令MN=0， 解方程可得t=0或t=3，分情况讨论：若a＞0， 可有2a＞0， 即点B在y轴右侧，当0＜t≤3时， 可有 其图像开口向下，对称轴为 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则 解得 当t＞3时， 可有. 其图像开口向上，对称轴为 不符合题意；若a＜0， 可有2a＜0， 即点B在y轴左侧，当t＜0时， 可有. 其图像开口向上，对称轴为 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大，则 解得 即可求出答案.
21．（2025·南宁模拟）如图，抛物线（b为常数）．
（1）求证：抛物线L一定与x轴有两个交点，并且这两个交点分居在原点的两侧；
（2）当抛物线L经过点时，
①求抛物线L的顶点坐标，并直接写出抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标；
②若时，函数的最大值与最小值的差总为，求n的取值范围．
【答案】（1）证明：在中，令，
，
该一元二次方程有两个不相等的实数根，即抛物线L一定与x轴有两个交点.
设的根分别为，
，
该一元二次方程有两个异号的实数根，即抛物线L与x轴的两个交点分居在原点的两侧；
（2）解：①抛物线L经过点，
∴抛物线L的对称轴为直线：，
即
，
∴L的函数表达式为
∵．
∴抛物线L的顶点坐标为，
令，
解得：（负数舍去），
∴抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标．
②与y轴交于点，
则点D关于直线的对称点为，
抛物线L的开口向上，
∴当时，抛物线L上的最高点的纵坐标总是，最低点总是，
此时两个点的竖直距离总为：，
当时，函数的最大值与最小值的差总为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得交点的个数，再通过根与系数的关系，即可得交点的位置；
（2）①利用点两点关于对称轴对称，可得顶点坐标，且可求得b的值，再令，解方程即可求得抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标；
②利用二次函数的性质，进行解答即可．
（1）证明：在中，令，
，
该一元二次方程有两个不相等的实数根，
即抛物线L一定与x轴有两个交点
设的根分别为，
，
该一元二次方程有两个异号的实数根，
∴抛物线L与x轴的两个交点分居在原点的两侧；
（2）解：①抛物线L经过点，
∴抛物线L的对称轴为直线，
，
的函数表达式为．
当时，．
∴抛物线L的顶点坐标为，
当时，，
解得（负数舍去），
抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标．
②与y轴交于点，
则点D关于直线的对称点为，
抛物线L的开口向上，
∴当时，抛物线L上的最高点的纵坐标总是，
最低点总是，两个点的竖直距离总为，
当时，函数的最大值与最小值的差总为．
22．（2025·龙岗模拟）数学兴趣小组在学习二次函数后，发现二次函数中字母系数与其图象有直接联系，他们借助学习函数的经验，对二次函数为常数）进行研究．
【特例分析】
（1）数学兴趣小组分别取三个特殊值进行特例研究．
①确定表达式：
当时，，当时，，当时，____________；
②画函数图象：
平面直角坐标系中已画出和的图象，请你在同一坐标系中画出的图象；
【性质探究】
（2）数学兴趣小组通过观察图象得到猜想：不论为何值，二次函数图象经过点．请问这个猜想是否正确？请说明理由．
【性质应用】
（3）已知点，若二次函数图象与线段有且只有一个交点，求的取值范围．
【答案】（1）①，
②如图所示
（2），
当时，，
此时，
不论为何值，二次函数图象经过点．
（3）①当时，；当时，；
即，
解得：；
②当时，；当时，；
即，
解得：；
③由得，
则，
，
当，解得：；
当时，方程的解，即交点的横坐标不在范围内，即舍去．
综上，或或．
【知识点】描点法画函数图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：（1）①当时，；
故答案为：；
【分析】（1）①将代入解析式即可求出答案.
②根据描点法作图即可求出答案.
（2）根据点代入关系式即可求出答案.
（3）①根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
②由得，联立二次函数解析式，根据判别式，解方程可得，再根据自变量取值范围判断即可求出答案.
23．（2025·河源模拟）如图所示，已知二次函数图象与直线相交于点，直线交轴于，点为抛物线上一点，将点绕着原点逆时针旋转得到对应点，连接．
（1）求抛物线和直线的函数解析式．
（2）当点坐标为时，求证：点，，三点在同一直线上．
（3）当有一顶点在直线上时，
①求长；
②在①的条件下，当点在第四象限时，在上取点，在上取点，使，连接，，求的最小值．
【答案】（1）解：把代入中，
得，
解得．
抛物线的函数解析式为．
把代入中，得，
解得．
直线的函数解析式为．
（2）证明：对于直线，令，得，．
过作轴于，过作轴于，
∴，
∴，
∵，
∴，而，
∴，，
∴，
设直线的解析式为．
代入，，得，
解得，
直线的解析式为．
当时，，
点在直线上．
，，三点在同一直线上．
（3）解：①联立，解得或，
直线和抛物线的交点为，．
（ⅰ）当点在直线上时，
当时，，此时，都在直线上，舍去，
如图，当时，
同理可得：，
∴，，
∴，
此时，
（ⅱ）如图，当点在直线上时，设，同理可得：．
由题意，得，
解得：或（舍去）
，，
∴，
综上所述，的长为或．
②当点在第四象限时，如图，，，，．
由题意，得，，．
在外部，作，且，
连接，
得，
∵，
，
，
，
当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，
此时．
的最小值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；两点之间线段最短；三角形全等及其性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）把代入与，计算即可解答；
（2）令，得得到，过作轴于，过作轴于，利用AAS证明，可得，，从而得到，设直线的解析式为．代入，可求得，解答即可；
（3）①联立求解直线和抛物线的交点为，．（ⅰ）当点在直线上时，当时，，此时，都在直线上，舍去；当时，可得，进一步利用勾股定理求解即可；（ⅱ）如图，当点在直线上时，设，同理可得：，，，进一步利用勾股定理求解即可；
②当点在第四象限时，如图，，，，．在外部，作，且，连接，证明，可得，当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，解答即可．
（1）解：把代入中，
得，
解得．
抛物线的函数解析式为．
把代入中，得，
解得．
直线的函数解析式为．
（2）证明：对于直线，令，得，
．
过作轴于，过作轴于，
∴，
∴，
∵，
∴，而，
∴，，
∴，
设直线的解析式为．
代入，，得，
解得，
直线的解析式为．
当时，，
点在直线上．
，，三点在同一直线上．
（3）解：①联立，
解得或，
直线和抛物线的交点为，．
（ⅰ）当点在直线上时，
当时，，此时，都在直线上，舍去，
如图，当时，
同理可得：，
∴，，
∴，
此时，
（ⅱ）如图，当点在直线上时，设，同理可得：．
由题意，得，
解得：或（舍去）
，，
∴，
综上所述，的长为或．
②当点在第四象限时，如图，，，，．
由题意，得，，．
在外部，作，且，
连接，
得，
∵，
，
，
，
当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，
此时．
的最小值为．
24．（2025·吉林）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx﹣1经过点（2，﹣1）．点P在此抛物线上．其横坐标为m；连接PO并延长至点Q，使OQ＝2PO．当点P不在坐标轴上时，过点P作x轴的垂线，过点Q作y轴的垂线，这两条垂线交于点M．
（1）求此抛物线对应的函数解析式．
（2）△PQM被y轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变，如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由．
（3）当△PQM的边MQ经过此抛物线的最低点时，求点Q的坐标．
（4）当此抛物线在△PQM内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）解：将（2，﹣1）代入y＝x2+bx﹣得，﹣1＝4+2b﹣1，
解得b＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1；
（2）解：如图所示，面积比保持不变为，理由如下：
根据题意可得，∠M＝∠ODQ＝90°，∠Q＝∠Q，
∴△QOD∽△QPM，
∴，
∴，
则；
（3）解：如图所示，QM经过最低点，即经过顶点，
该抛物线的顶点横坐标为，
纵坐标为，
该抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），
∵∠PNO＝∠ODQ＝90°，∠NPO＝∠DOQ，
∴△PON∽△OQD，且相似比为，
根据顶点纵坐标可得，OD＝2，
则，即，
解得，
①当时，
即为如图所示，
此时，
点Q在第四象限，
故；
②如图所示，
当时，此时点P在第一象限，点Q在第三象限，此时，
故；
综上，或；
（4）解：①当PQ经过顶点T时，过点T作TE⊥x轴，交x轴于点E，
由∠PNO＝∠TEO＝90°，∠PON＝∠TOE得，△PON∽△TOE，
∴，即，解得m＝1（舍去），或m＝﹣1，
∴当点P向左运动时，满足题意，
∴m≤﹣1；
②如图所示，当点Q在抛物线上时，过点Q作QE⊥x，交x轴于点E，
同理，△PON∽△QOE，相似比仍为 此时，Q[﹣2m，﹣2（m2﹣2m﹣1）]，代入抛物线解析式得，﹣2（m2﹣2m﹣1）＝（﹣2m）2+4m﹣1，
解得（舍去），或，
此时，当P点向下一直移动，直至到x轴时，都符合题意，当x2﹣2x﹣1＝0时，
解得，x2＝1+，
∴当x 1﹣时，符合题意；
③如图所示，当点Q在抛物线上时，点Q在第二象限，点P在第四象限，
思路同②，此时Q[﹣2m，﹣2（m2﹣2m﹣1）]，代入抛物线解析式得，﹣2（m2﹣2m﹣1）＝（﹣2m）2+4m﹣1，
解得m＝﹣m＝，
此时，当P点向右一直移动，直至到x轴时，都符合题意，
∴当≤m≤1+时，符合题意；
综上所述，当m≤﹣1或﹣≤m≤1﹣或≤m≤1+时，符合题意．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)根据题意，利用相似三角形的性质求出面积之比即可；
(3)QM经过最低点，即经过顶点，画出示意图，先求出顶点坐标，再利用相似三角形的判定和性质求出m的值，最后分两种情况求出点Q的坐标即可；
(4)根据题意，分三种情况进行分析，画出图形找出临界点，利用相似三角形的性质列出一元二次方程，然后进行求解即可.
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