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2024-2025 学年黑龙江省牡丹江第三高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. ( ) = 1，则函数 ( )的导数为( )
A. B. C. 1 D. 0
2.对任意事件 ，其概率为 ，则 的可能范围是( )
A. [ 3, 2] B. [ 2, 1] C. [ 1,0] D. [0,1]
3.桌子上有一本数学书和一本英语书，从桌子上任取一本书，不同的取法数有( )种．
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
4 3.已知 ( | ) = 7， ( ) =
7
9，则 ( ) =( )
A. 3 4 1 277 B. 7 C. 3 D. 49
5.下列导数运算正确的是( )
A. (2 2 + 3)′ = 4 + 3 B. (sin 6 )′ = cos

6
C. ( )′ =
1+
2 D. ( 3 )′ = 3
6.若随机变量 的分布列如下表，则当 ( < ) = 0.8 时，实数 的取值范围是( )
2 1 0 1 2 3
0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
A. ≤ 2 B. 1 < < 2 C. 1 ≤ ≤ 2 D. 1 < ≤ 2
7.甲，乙，丙，丁四位师范生分配到 ， ， 三所学校实习，若每所学校至少分到一人，则不同的分配方案
的种数是( )
A. 48 B. 36 C. 24 D. 12
8.已知函数 ( ) = + ，若 ( ) + (1 + 2 ) > 0，则 的取值范围为( )
A. ( 1, + ∞) B. ( ∞, 1) C. ( 13 , + ∞) D. ( ∞,
1
3 )
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示是 = ( )的导数 = ′( )的图象，下列结论中正确的有( )
A. ( )的单调递增区间是( 1,2)，(4, + ∞)
B. = 1 是 ( )的极小值点
C. ( )在区间(2,4)上是减函数，在区间( 1,2)上是增函数
D. = 2 是 ( )的极小值点
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10.设离散型随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4
0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量 满足 = 3 + 1，则下列结果正确的有( )
A. = 0.1 B. ( ) = 2， ( ) = 1.4
C. ( ) = 2， ( ) = 1.8 D. ( ) = 7， ( ) = 16.2
11.已知 ( ) = (2 3) ( ∈ )展开式的二项式系数和为 512， ( ) = 0 + 1( 1) + 2( 1)2 + … +
( 1) .下列选项正确的是( )
A. 1 + 2 + … + = 1 B. 1 + 2 2 + 3 3 + … + = 18
C. 2 = 144 D. | 0| + | 1| + … + | | = 39
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1.若函数 ( ) = 2 ′( 1)
2 2 + 1，则 ′( 1) =______．
13.假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占 60%，乙厂产品占 40%，甲厂产品的合格率是 90%，乙厂产品
的合格率是 80%.在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为______．

14.已知 ( ) = 0.4， ( | ) = 0.3， ( | ) = 0.8，则 ( ) =______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
计算：
(1) 14 + 24 + 3 44 + 4；
(2)从 5 个不同元素中取出 3 个元素的组合数．
16.(本小题 15 分)
5 名男生，2 名女生，站成一排照相．
(1)共有多少种排法？
(2)两名女生不排在队伍两头的排法有多少种？
(3)两名女生不相邻的排法有多少种？
17.(本小题 15 分)
2
已知( ) 3 ( > 0)的展开式中，二次项系数最大的项只有第五项．
(1)求 的值；
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(2)求该展开式中的常数项．
(3)求其展开式中系数最大的项．
18.(本小题 17 分)
彭老师要从 10 篇课文中随机抽 3 篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中 2 篇才能及格.某同学只
能背诵其中的 7 篇，求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量 的分布列；
(2)他能及格的概率．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 3．
(1)当 = 1 时，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)若 ( )有极小值，且极小值小于 0，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1
13.0.86
14.0.2
15.(1)由题意有 14 + 2 3 44 + 4 + 4 = 4 + 4 × 3 + 4 × 3 × 2 + 4 × 3 × 2 × 1 = 64；
(2) 3 = 5! = 5×4×3×2×1由题意有 5 3!(5 3)! 3×2×1×2×1 = 10．
16.(1)根据题意，将 7 名学生全排列即可，则有 77 = 5040 种排法；
(2)根据题意，分 2 步进行分析：
中间 5 个位置先排 2 名女生，有 25种排法，
然后其余 5 个位置排剩下的 5 人，有 55种排法，
故共有 2 55 5 = 2400 种排法；
(3)根据题意，分 2 步进行分析：
先排 5 名男生，有 55种排法，
然后在 5 名男生排列的 6 个空中选 2 个空插入 2 名女生，有 26种排法，
故共有 5 25 6 = 3600 种排法．
17.解：(1)因为展开式中只有第五项的二项式系数最大，
所以，展开式共有 9 项，所以 + 1 = 9，
解得 = 8；
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1 4
(2)通项公式为 +1 = ( )8 8 ( 2
3) = ( 2) 8 8 3
， = 0，1，2，3，4，5，6，7，8，
当 8 43 = 0 时，则 = 6，
所以展开式的常数项为 6+1 = ( 2)6 68 = 1792；
(3)因为 = ( )8 ( 2
1 4
+1 8 3) = ( 2)
8 3 8 ， = 0，1，2，3，4，5，6，7，8，
所以 = 1，3，5，7 时，系数为负，
所以 = 0，2，4，6，8 时，系数是2 8，
可得系数分别为20 0 2 2 4 4 6 6 8 88 = 1，2 8 = 112，2 8 = 1344，2 8 = 1792，2 8 = 256，
所以当 = 6 时，系数最大，最大的项是 1792．
18.解：(1)设该同学抽到能背诵的课文篇数为 ， 的可能取值为 0，1，2，3，
3
则 的分布列为 ( = ) = 7 33 ， = 0，1，2，3，用表格表示为： 10
0 1 2 3
1 7 21 7
120 40 40 24
(2) ( ≥ 2) = ( = 2) + ( = 3) = 21 + 7 = 49及格的概率为 40 24 60．
19.解：(1) ∵函数 ( ) = 3，
∴当 = 1 时， ( ) = 1， ′( ) = 1，
∴ (1) = 2，∴切点坐标为(1, 2)，
切线的斜率为 = ′(1) = 1，
∴曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为：
( 2) = ( 1)( 1)，整理得： = ( 1) 1．
(2) ∵函数 ( ) = 3，∴ ′( ) = ，
当 ≤ 0 时， ′( ) > 0，函数 ( )在 上单调递增，此时函数 ( )无极值，
∴ > 0，
令 ′( ) = = 0，得 = ，
当 < 时， ′( ) < 0，当 > 时， ′( ) > 0，
∴函数 ( )的增区间为( , + ∞)，减区间为( ∞, )，
∴ ( )极小值 = ( ) =
3 < 0，
∴ 1 2 < 0，
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令 ( ) = 2 + 1， ′( ) = 2 1 < 0，
( )在(0, + ∞)上单调递减，
∵ (1) = 0，∴ ( ) < 0 等价于 > 1，
∴ 的取值范围是(1, + ∞)．
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