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第六章 圆周运动
向心加速度
2
3
1
重点
难点
通过生活中的实例，理解向心加速度的概念。
掌握向心加速度和线速度、角速度的关系，能够运用向心加速度公式求解有关问题。
会应用动力学方法分析匀速圆周运动问题。
匀速圆周运动
速度方向时刻改变
运动状态改变
一定受到外力
一定存在加速度
天宫二号空间实验室在轨飞行时，可认为它绕地球做匀速圆周运动。尽管
线速度大小不变，但方向却时刻变化，因此，它运动的加速度一定不为 0。
该如何确定它在轨飞行时加速度的方向和大小呢？
匀速圆周运动的加速度方向
一
如图甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，光滑水平桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。
甲
乙
(1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向；
答案　地球只受到太阳引力作用，方向指向圆心，加速度方向指向圆心。
小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圆心，故加速度的方向指向圆心。
G
FT
FN
F引
(2)地球和小球加速度的作用是什么？
答案　由于速度大小没有发生变化，故加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
(3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？
答案　由于地球和小球的加速度总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的。匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。
牛顿第二定律不仅适用于直线运动，对曲线运动同样适用。
1.定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向______，这个加速度叫作向心加速度。常用an表示。
2.方向：始终指向______。
3.作用：改变速度的______，不改变速度的______。
4.说明：匀速圆周运动加速度的______时刻
改变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是__________________。
v
an
v
an
v
an
O
圆心
圆心
方向
大小
方向
变加速曲线运动
向心加速度
5.变速圆周运动：变速圆周运动的加速度_______________；可分解为____________和____________分析。
向心加速度改变速度______，切向加速度改变速度______。
O
an
a合
v
at
O
an
a合
v
at
不指向圆心
向心加速度
切向加速度
方向
大小
(1)物体做匀速圆周运动时，其向心加速度是恒定的。(　　)
(2)物体做匀速圆周运动时，在相等时间内速度变化量是相同的。(　　)
(3)圆周运动的加速度一定指向圆心。(　　)
(4)向心加速度的方向始终与速度方向垂直。(　　)
×
×
×
√
匀速圆周运动的加速度大小
二
根据牛顿第二定律和向心力表达式，试推导向心加速度的表达式。
答案　已知向心力表达式Fn=m=mω2r
根据牛顿第二定律Fn=man
得an==ω2r。
牛顿第二定律不仅适用于直线运动，对曲线运动同样适用。
1.向心加速度公式
(1)an==_____。
(2)由于v=ωr，所以向心加速度也可以写成an=____。
(3)由于ω==2πf，所以向心加速度也可以写成an=__________ =_______。
ω2r
ωv
r
4π2f 2r
2.向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v为某位置的线速度，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心。
从公式an=看，向心加速度与圆周运动的半径成反比；从公式an=ω2r看，向心加速度与半径成正比。这两种说法是否矛盾？为什么？
答案　不矛盾，在线速度一定的情况下，向心加速度与半径成反比，在角速度一定的情况下，向心加速度与半径成正比。
根据题意，由题图可知，手机转动的半径约为0.65 m，由公式an=可得，手臂摆到竖直位置时手机的向心加速度大小约为an==0.65 m/s2，故选A。
1.(2023·嘉兴市高一期中)某同学在研究圆周运动时做摆臂动作，用手机内置的速度传感器测定手的速度。该同学先用刻度尺测量手臂伸直时的长度(刻度尺的零刻度线与肩平齐)，如图所示，然后他水平伸直手臂，手握手机，将手臂以肩为轴自然下摆。若当手臂摆到竖直位置时，手机显示的速度大小约为0.65 m/s，则此时手机的向心加速度大小约为
A.0.65 m/s2 B.1.3 m/s2 C.2 m/s2 D.6.5 m/s2
√
2.如图所示，甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，甲、乙两物体随地球自转的线速度大小分别为v1和v2，向心加速度大小分别为a1和a2，地球可视为均匀的球体，下列关系式正确的是
A.v1∶v2=1∶1
B.v1∶v2=1∶
C.a1∶a2=2∶1
D.a1∶a2=∶1
√
甲、乙轨道半径之比
==
甲、乙角速度相同
线速度之==
向心加速度之==
圆周运动的动力学问题分析
三
如图所示，在长为L的细绳下端拴一个质量为m的小球，细绳的上端固定，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。
(1)什么力提供了小球做匀速圆周运动的向心力？(忽略空气阻力)
(2)当细绳与竖直方向成θ角时，小球运动的向心加速度大小为多少？(重力加速度为g)
答案　根据牛顿第二定律：mgtan θ=man得an=gtan θ。
答案　小球受重力和细绳的拉力作用，重力和拉力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力(如图所示)。
mg
FT
3.长为L的细线，下端拴一质量为m的小球，上端固定，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，细线与竖直方向成θ角时，求：(重力加速度为g)
(1)细线上的拉力大小；
(2)小球运动的线速度的大小和角速度的大小。
mg
FT
答案　 (1) 　　　
(1)小球受重力及细线的拉力的作用，如图所示，
由平衡条件可知，竖直方向：
FTcos θ=mg，故拉力FT=。
(2)小球做匀速圆周运动的半径r=Lsin θ，向心力Fn=FTsin θ=mgtan θ，又Fn=m，故小球的线速度大小v=。
由Fn=mrω2 联立解得ω=。
思考：从上面角速度大小的结果中我们可以看出做圆锥摆运动的小球的角速度ω与什么因素有关？
答案　与圆心到细线上端的高度有关。
ω=
4.(2023·南京市高一期中)如图所示，质量未知的A、B两小球在内壁光滑的锥形容器内沿水平面做匀速圆周运动，锥形容器的中心轴线竖直，下列说法正确的是
A.A、B两球受到容器壁的弹力大小相等
B.A、B两球具有大小相同的向心加速度
C.A、B两球的角速度大小相等
D.A球的线速度比B球的线速度小
√
mg
FN
θ
θ
由受力分析可知FN=；根据牛顿第二定律，有=ma=m=mrω2，解得a=，ω=，v=；则B正确，A、C、D错误。
分析匀速圆周运动问题的基本步骤
1.明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。
2.确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。
3.找出向心力的来源，利用平行四边形定则或正交分解法，计算出沿半径方向的合力F合。
4.利用牛顿第二定律列方程F合=Fn=mω2r=m=mr。
5.解方程求出待求物理量。
拓展学习：用运动学方法分析匀速圆周运动向心加速度
1.向心加速度的方向
第一步，画出物体经过 A、B两点时的速度方向，如图甲所示。
第二步，平移vA至B点，如图乙所示。
第三步，作出物体由A点到B点的速度变化量Δv，如图丙所示。
第四步，假设由A到B的时间极短， A到B的距离将非常小，作出此时的Δv，如图丁所示。
从运动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。
2.向心加速度的大小
由图丁可知，当Δt足够小时，θ就足够小，θ角所对的弦和弧的长度就近似相等。
因此，θ=，由角速度定义知：θ=ωΔt，
可得： Δv=vωΔt
根据加速度定义式a=，由v=ωr得向心加速度大小的表达式为an=ω2r，an =。
向心加速度
定义
运动学方法分析向心加速度方向、大小
方向
作用
始终指向圆心，方向时刻在变
只改变速度方向，不改变速度大小
圆周运动动力学问题分析
an==ω2r=ωv= r
大小
向心加速度
明确研究对象，确定圆周平面、圆心、半径
分析受力，找出向心力的来源
列方程Fn=man求解
Keep Thinking!

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