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第七章 万有引力与宇宙航行
万有引力理论的成就
2
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掌握“称量地球的质量”和计算天体的质量的基本思路。
掌握计算天体密度的基本思路。
认识万有引力定律的科学成就，体会科学的迷人魅力。
重难点
重难点
通过各种各样的秤，我们能称量出生活中各种各样的物体的质量，那你能秤出地球的质量吗？
给我一个支点，我可以撬动地球。
——阿基米德
疑惑：地球质量约为6×1024kg，设杠杆支点距离地球1m，阿基米德在另一端能产生的作用力为600N，根据杠杆原理可知杠杆大约长1亿光年。阿基米德能做到吗？
天体质量的计算
一
1.卡文迪什在实验室测出了引力常量G的值，他称自己的实验是“称量地球的重量”。
(1)选哪个物体为研究对象？需要忽略的次要因素是什么？他“称量”的依据是什么？
选地球表面的物体为研究对象，若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力，G值的确定使万有引力定律具有了实际的计算意义。
(2)若已知地球表面重力加速度g，地球半径R，引力常量G，求地球的质量。
由mg=G得，M=。
2.如果知道地球绕太阳的公转周期T，地球与太阳中心间距r，引力常量G，能求出太阳的质量吗？如果能，请写出表达式。
能。
由=m地r
知m太=。
计算中心天体质量的两种方法
1.重力加速度法
已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g，以及引力常量G，
根据物体的重力近似等于中心天体对物体的万有引力，有 ，解
得中心天体质量为M= 。
mg=G
2.“卫星”环绕法
已知两天体间距离r，将天体围绕中心天体的运动近似看成匀速圆周运动，周期为T，引力常量为G，其所需的向心力都来自万有引力，由_______=mr，可得M= 。
注意：上面两种求中心天体质量的方法中，“R”与“r”意义不同，R为中心天体半径，r为轨道半径，两种方法中的M若为同一天体，r=R+h。当环绕法选择近地卫星时，r=R。
1.根据环绕卫星的周期、轨道半径及引力常量G，用“卫星”环绕法能测出“卫星”的质量吗？
不能。
只能测出被环绕的中心天体的质量，而不能测出“卫星”质量。
2.用行星环绕法估算太阳的质量，换用不同行星的相关数据进行估算，结果会相近吗？为什么？
结果会相近。
虽然不同行星与太阳间的距离r和绕太阳公转的周期T各不相同，
但根据开普勒第三定律，所有行星的均相同。
1.(2023·湖州市高一期中)如果你站在月球上，由静止释放质量为m的物体，物体在t秒内下落了h米，若已知月球的半径为R、引力常量为G，根据以上给出的物理量得出月球的质量为
A. B. C. D.
√
物体做自由落体运动有h=gt2，根据万有引力与重力的关系G=mg，解得月球的质量为M=，故选B。
已知星球表面的重力加速度g和星球半径R可以计算星球质量。未知星球表面的重力加速度通常这样给出：让小球做自由落体、平抛、竖直上抛等运动，从而计算出该星球表面的重力加速度。
2.(2023·扬州市高一期中)若火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动N圈，用时为t，已知火星的半径为R，引力常量为G，忽略火星的自转，求：
(1)探测器在轨道上运动的周期T；
(2)火星的质量M；
(3)火星表面的重力加速度g。
答案　 (1) 　(3) 　
(1)探测器在轨道上运动的周期T=
(2)根据万有引力提供向心力，有G=m ，得M==
(3)忽略火星的自转，火星表面质量为m'的物体所受万有引力等于重力，
有G=m'g ，得g==。
天体密度的计算
二
若天体的半径为R，则天体的密度ρ=
(1)将M=代入上式得ρ=。
(2)将M=代入上式得ρ=。
(3)当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ=。
如何计算天体密度？
3.假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力常量为G，忽略该天体自转。
(1)若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的密度是多少？
(2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度是多少？
答案　 (1) 　 (2) 　
(1)设卫星的质量为m，天体的质量为M。
卫星距天体表面的高度为h时，有G=m(R+h)，
可得M=
天体的体积为V=πR3
故该天体的密度为ρ===
(2)卫星贴近天体表面运动时有G=mR，可得M=，
故ρ===。
发现未知天体　预言哈雷彗星回归
三
在18世纪，人们发现了天王星后，发现根据万有引力定律计算出来的天王星的运动轨道与实际观测的结果总有一些偏差。天王星的轨道偏差是天文观测数据不准确？是万有引力定律的准确性有问题？还是天王星轨道外面还有一颗未发现的行星？
在天王星轨道外还有一颗未发现的新星——海王星。
1.英国的 和法国的 根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出 的轨道。
2.使用“计算、预测和观察”的方法，近100年来，人们发现了 、阋神星等几个较大的天体。
3.英国天文学家哈雷计算了哈雷彗星的周期约为 年，并成功预言了其回归的时间。
4. 的发现和 的“按时回归”确立了 定律的地位。
亚当斯
勒维耶
海王星
冥王星
76
海王星
哈雷彗星
万有引力
4.(多选)万有引力理论不仅能够解释已知的事实，更重要的是能够预言未知的现象。下列说法正确的是
A.卡文迪什被称为“可以称量地球质量的人”
B.哈雷依据万有引力定律预言了哈雷彗星的回归时间
C.牛顿用月球和太阳对海水的万有引力解释了潮汐现象
D.天王星被称为“笔尖上发现的行星”
√
√
√
卡文迪什用实验的方法测出引力常量G，从而可以算出地球的质量，因此卡文迪什被称为“可以称量地球质量的人”，A正确；英国天文学家哈雷依据万有引力定律计算彗星轨道，准确预言了哈雷彗星的回归时间，B正确；牛顿用月球和太阳对海水的万有引力解释了潮汐现象，C正确；“笔尖上发现的行星”是海王星，D错误。
万有引力
理论的成就
计算天体的质量
计算天体的密度
发现未知天体
预言哈雷彗星的回归
海王星、阋神星等
mg ＝ G， M ＝
M ＝ → ρ ＝
G ＝ ， M ＝
M ＝ → ρ ＝
r ＝ → ρ ＝
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