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3.2 函数的基本性质
3.2.1 函数的单调性与最值
第3章 函数的概念与性质
问题引入
给定一个函数的解析式或图象，你能不能从中看出这个函数的性质呢？
函数尽管千变万化，但函数值毕竟是实数，实数变化，无非是变大变小.要问函数的性质，首先在大小上做文章.大，大到什么程度，上面封顶不封顶？小，小到什么程度，下面保底不保底？
概括来说，对函数性质的研究，我们首先关心的是函数值的变化范围(封顶和保底)和变化趋势(走高和下滑).如图是某报2016年11月刊登的上海证券交易所综合股价指数(简称上证指数)一年多来的走势曲线图.
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从图可以看到，自2015年6月份以来，上证指数从最高点震荡后总体一路下跌，虽中途偶有攀升，但到2016年2月份震荡下跌，几乎到最低点.随后又回升至3000点，呈现平稳的态势.
从图上观察函数的性质，难免有一些疑问：只靠眼睛观察得到的认识是不是准确的呢？例如，从有界限的图怎能看出函数值是无界限的呢？
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从图可以看到，自2015年6月份以来，上证指数从最高点震荡后总体一路下跌，虽中途偶有攀升，但到2016年2月份震荡下跌，几乎到最低点.随后又回升至3000点，呈现平稳的态势.
从图上观察函数的性质，难免有一些疑问：只靠眼睛观察得到的认识是不是准确的呢？例如，从有界限的图怎能看出函数值是无界限的呢？描点连线画图的可靠性如何保证呢？
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例如，下图是计算机用描点连线的方法画出的同一个函数的两个图象.虚线是取10个点描出的，实线是取50个点描出的，两者明显不同.
可见，光靠描点作图看图来研究函数的性质还不够.从解析式出发研究函数性质，在数学推理的指导下画图，对函数的性质会了解得更全面、更准确，为此要用更严密的数学语言来描述函数的性质.
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例析





取值
作差定号
判断
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函数的单调性把自变量的变化方向和函数值的变化方向联系起来，描述了函数的变化过程和趋势，是函数的最重要的特征之一.
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用定义法判断函数单调性的一般步骤：
取值
作差(作商)定号
判断
例析






例析






例析




练习
题型一：判断（证明）函数的单调性



练习
方法技巧：
用定义法判断（证明）函数的单调性
1.取值；
2.作差(或作商)定号；
3.判断.
练习
答案：CD.
练习
题型二：图象法求函数的单调区间
解：函数图象如图所示：

练习
方法技巧：
图象法求函数单调区间的步骤：
（1）作图；
（2）结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间.
练习

解：函数图象如图所示：

练习
题型三：函数单调性的应用

练习
方法技巧：
函数单调性的应用：
二次函数与函数单调性结合的题目中，要关注二次函数对称轴及其开口方向.
含参问题中，要数形结合来分析参数的取值范围.
练习


练习


课堂小结&作业

小结：
1.函数单调性的定义；
2.函数单调性的判断（定义法、图象法）；
3.单调性的应用.

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