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3.1 函数
3.1.2 表示函数的方法
第3章 函数的概念与性质
复习引入
把一个函数的对应关系和定义域交代清楚的办法，就是表示函数的方法.在初中数学中，我们用数学表达式、函数表或函数图象来表示函数.这是表示函数的三种主要方法，分别叫作解析法、列表法和图象法.
数学研究的对象是抽象的.抽象的东西看不见摸不着，把它表示出来才便于研究.因此，数学讲究表示.
新知探索——解析法

这种把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作解析式(也叫作解析表达式或函数关系式)，解析法就是用解析式来表示函数的方法.
用解析式表示函数简捷明了，便于计算函数值和推导函数的性质，是最基本最常用的函数表示方法之一.
例析




例析

如果我们讨论的函数由一个解析式表示，并且不考虑它的实际意义，那么这个函数的定义域就是指使这个解析式有意义的自变量取值范围，也称为自然定义域.在实际问题中，函数的定义域还受到实际意义的制约，通常将自然定义域收缩到某个子集作为函数的定义域.
新知探索——列表法

其实，这就是最简单的函数列表表示法，这里，自变量是商品的件数，而相应的销售价格就是商品件数的函数.

新知探索——列表法


我们发现，在该实例中，如果我们要用解析法来表示函数关系就会显得比较复杂.
新知探索——列表法
不过，因为列表法有着简单明了的优点，对一些特定的自变量值，相应的函数值可以直接从表上查到，因此，人们也常将某些用解析式表示的函数编成表格，如平方表、平方根表以及将要学习的对数表、三角函数表等数学用表，都可以看作是用列表法表示函数.在历史上没有电子计算机的年代，函数表是科学研究和工程技术有关计算活动中不可缺少的工具.
新知探索——列表法
数学用表在生活中是很常见的.例如银行的储蓄利率表，保险公司的汽车折旧保费表，税务部门按不同收入的税率表，等等.
你能举出更多的例子吗？
新知探索——图象法
医院为了及时了解住院病人的病情，通常每隔一定时间要为病人测一次体温，护士在打好方格的纸上把每次测得的病人体温记成一串点，再把这些点用线段或曲线连接起来，这就形成了每个病人的体温曲线.医生则把这一曲线作为了解病情变化的重要参考.
自动测温仪则是根据上述原理，自动完成定时测温、描出曲线的工作.

新知探索——图象法

为了直观地了解函数的性质，常要作出函数的图象.作图通常有列表、描点、连线三个步骤：
列表——先找出一些有代表性的自变量值，并计算出与这些自变量相对应的函数值，用表格的形式表示出来；

连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来.
要作出更精确的图象，常常需要描出更多的点.
例析

解 选择方便计算的几个数值，列表如下：
根据表中数据在平面直角坐标系中描点、连线，得到下图.

例析
函数的三种表示方法，各有长处和不足，在对具体问题的研究中常常将不同的方法结合起来.
在数学课程中，我们主要讨论的是解析法和图象法，并且经常把两种方法结合起来进行讨论.有了函数的解析式，用计算机等电子设备作函数图象或列函数表很方便，所以获取函数的解析式和计算方法常常是研究函数的基础性工作.
解析法 ①两个变量间的关系简明、全面、精确 ；②能比较方便地通过自变量的任意一个值求出其对应的函数值.解析法是中学研究函数的主要表达方法.
图象法 ①能直观形象地表示出函数的变化趋势；②有利于研究函数的某些性质.
图象法是数形结合思想方法的基础.
列表法 ①不必通过运算就能得到与自变量值对应的函数值；②当自变量的取值较多时不便于操作.列表法在实际生产和生活中有广泛的应用.
练习
题型一：函数的表示方法



练习
方法技巧：
三种不同函数表示方法的优缺点：
解析法 ①两个变量间的关系简明、全面、精确 ；②能比较方便地通过自变量的任意一个值求出其对应的函数值.解析法是中学研究函数的主要表达方法.
图象法 ①能直观形象地表示出函数的变化趋势；②有利于研究函数的某些性质.
图象法是数形结合思想方法的基础.
列表法 ①不必通过运算就能得到与自变量值对应的函数值；②当自变量的取值较多时不便于操作.列表法在实际生产和生活中有广泛的应用.
练习


练习
题型二：求函数解析式


练习


练习

练习


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