资源简介

(共44张PPT)
湘教版 数学 必修第一 册
课 标 要 求
1.了解弧度制,体会引入弧度制的必要性.
2.能进行弧度与角度的互化,熟悉特殊角的弧度数.
3.掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式,会应用公式解决简单的问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点一　度量角的两种单位制
角度
制 定义 用“　　　”作为单位来度量角的单位制
1度的角 把周角分成360等份,每一份叫作1度的角
弧度
制 定义 以“　　　　”为单位来度量角的单位制
1弧度
的角 长度等于　　　　的弧所对的圆心角叫作1弧度的角,1弧度记作1　　　　
度
弧度
半径长
rad
过关自诊
在大小不同的圆中,长度为1的弧所对的圆心角相等吗
提示 不相等.因为弧长等于1,在大小不同的圆中,由于半径不同,圆心角也不同.
知识点二　弧度数的计算与互化
1.弧度数的计算
(1)正角的弧度数是一个　　　　.
(2)负角的弧度数是一个　　　　.
(3)零角的弧度数是　　　　.
(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l,那么,角α的弧度数的绝对值是|α|=　　　.
正数
负数
0
2.角度制与弧度制的换算
3.一些特殊角与弧度数的对应关系
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.(　　)
(2)160°化为弧度数是 π rad.(　　)
√
√
2.下列换算结果错误的是(　　)
C
知识点三　扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为r,弧长为l,α为其圆心角且α=x rad,则
扇形 x为弧度数
扇形的弧长 l=|x|r
扇形的面积
过关自诊
设扇形的弧长为18 cm,半径为12 cm,求这个扇形的面积.
重难探究·能力素养速提升
探究点一 弧度制的概念
【例1】 (多选题)下列说法中正确的是(　 　)
A.弧度角与实数之间建立了一一对应的关系
C.根据弧度的定义,180°一定等于π弧度
D.无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小有关
ABC
解析 无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小无关,而是与弧长和半径的比值有关,故D项错误.
规律方法　1.用角度制和弧度制度量零角,单位不同,但数量相同(都是0);用角度制和弧度制度量任一非零角,单位不同,数量也不同.
2.以弧度为单位表示角的大小时,“弧度”或“rad”通常省略不写,但以度为单位表示角的大小时,“度”或“°”不能省去.
3.以弧度为单位度量角时,常把弧度数写成nπ(n∈R)的形式.若无特别要求,不必把π写成小数,如45°= rad,不必写成45°≈0.785 rad.
变式训练1
下列说法正确的是(　　)
A.1弧度是长度等于半径的弧
B.1弧度是1°的圆心角所对的弧
C.1弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆心角
D.1弧度等于1°
C
解析 1弧度角的定义:长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角.由题意可知,只有C正确.
探究点二 角度与弧度的互化与应用
【例2】 (1)①将112°30'化为弧度为　　　　　.
-75°
规律方法　角度制与弧度制互化的关键与方法
(1)关键:抓住互化公式π rad=180°是关键;
(3)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.
变式训练2
(1)将-157°30'化成弧度为　　　　　.
-396°
探究点三 用弧度表示角或范围
【例3】 用弧度表示终边落在图中所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.
规律方法　用弧度制表示角应注意的问题:
(1)用弧度表示区域角,实质是角度表示区域角在弧度制下的应用,必要时,需进行角度与弧度的换算.注意单位要统一,角度数与弧度数不能混用.
(2)在表示角的集合时,可以先写出一周角范围(如-π~π,0~2π)内的角,再加上2kπ,k∈Z.
(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x|x=α+kπ,k∈Z};终边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为 ,在进行区间的合并时,一定要做到准确无误.
变式训练3
以弧度为单位,写出终边落在直线y=-x上的角的集合.
探究点四 弧长公式与扇形面积公式的应用
【例4】 (1)已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2,求该扇形的面积;
解 设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,由圆心角为2 rad,
依据弧长公式可得l=2r,从而扇形的周长为l+2r=4r=8,解得r=2,则l=4.
(2)已知扇形的周长为10 cm,面积等于4 cm2,求其圆心角的弧度数.
变式探究
本例(1)中,将条件“圆心角为2”去掉,求扇形面积的最大值.
规律方法　弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量:面积S,弧长l,圆心角α,半径r,已知其中的三个量一定能求得第四个量(通过方程求得),已知其中的两个量能求得剩余的两个量(通过方程组求得).
(2)在研究有关扇形的相关量的最值时,往往转化为二次函数的最值问题.
(3)注意扇形圆心角弧度数的取值范围是(0,2π),实际问题中注意根据这一范围进行取舍.
学以致用·随堂检测促达标
A 级 必备知识基础练
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1.已知扇形的半径是2,面积为8,则此扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A.4 B.2
C.8 D.1
A
解析 设扇形的圆心角的弧度数α=x,则由面积公式可知S= r2x=8,
结合r=2可知x=4.
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2.若α=-3,则角α的终边在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
C
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3.(多选题)[2024甘肃白银高一校考期末]下列结论正确的有(　　)
C.与-2 024°角终边相同的最小正角是136°
D.若角α为锐角,则角2α为钝角
BC
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4.已知角α=2 010°.
(1)将α改写成θ+2kπ(k∈Z,0≤θ<2π)的形式,并指出α是第几象限角;
(2)在区间[-5π,0)上找出与α终边相同的角;
(3)在区间[0,5π)上找出与α终边相同的角.
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B 级 关键能力提升练
C
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6.已知一个扇形的半径与弧长相等,且扇形的面积为2 cm2,则该扇形的周长为(　　)
A.6 cm B.3 cm
C.12 cm D.8 cm
A
解析 设扇形的半径为R cm,则弧长l=R cm,扇形的圆心角为1 rad.
又因为扇形的面积为2 cm2,所以 R2=2,解得R=2 cm,
故扇形的周长为6 cm.故选A.
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C
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8.(多选题)圆的一条弦的长等于半径,则这条弦所对的圆周角的弧度数为
(　　)
AD
解析 设该弦所对的圆周角为α,则其圆心角为2α或2π-2α,
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9.已知扇形的周长是12,面积是8,则扇形的中心角的弧度是　　　.
1或4
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C 级 学科素养创新练
10.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为:弧田面积= (弦×矢+矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为 ,半径等于4米的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(　　)
A.6平方米
B.9平方米
C.12平方米
D.15平方米
B
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