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5.2
任意角的三角函数
第五章
5.2.3 诱导公式
学习目标
1.利用单位圆的对称性及同角三角函数关系推导诱导公式.
2.掌握三角函数的诱导公式，理解“奇变偶不变，符号看象限”等的含义.
3.能运用诱导公式求值.化简简单的三角函数式及证明简单的三角恒等式.
核心素养：直观想象、数学抽象、数学运算.
新知学习
诱导公式一
角α与k·2π+α（k∈Z）的三角函数间的关系
由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一
sin（α+2kπ）＝sin α（k∈Z），
cos（α+2kπ）＝cos α（k∈Z），
tan（α+2kπ）＝tan α（k∈Z）.
【注意】（1）诱导公式一的实质是：终边相同的角，其同名三角函数的值相等. （2）利用公式一可以把任意角的三角函数值化为0~2π范围内终边相同的角的三角函数值（方法是先在0~2π的范围内，找出与所给角终边相同的角，再把它写成公式一的形式，进而求得结果）.
（3）由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律.这也说明了角与三角函数的对应关系是多（角）对一（值）的关系，即如果给定一个角，它的三角函数值只要存在就是唯一的；反过来，如果给定一个三角函数值，都有无数个角与之对应.
新知学习
诱导公式二
角α与-α的三角函数间的关系
如果角α的终边与角β的终边关于x轴对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系？
设角α，β的终边分别与单位圆交于点P，P′，则点P和点P′关于x轴对称（图）.
根据三角函数的定义，点P的坐标是（cos α，sin α），点P′的坐标是（cos β，sin β），
则有sin β＝-sin α，cos β＝cos α.
由同角三角函数关系得
特别地，角-α与角α的终边关于x轴对称，则有公式二　　
sin（-α）＝-sin α，cos（-α）＝cos α，tan（-α）＝-tan α.
点P′的坐标是（cos α，sin -α），则有β＝-α，则α，β的终边关于x轴对称
后边的诱导公式推导都要用到
新知学习
诱导公式三
角α与π+α的三角函数间的关系
若角α的终边与角β的终边关于原点O对称（图）.
同理可得，sin β＝-sin α，cos β＝-cos α，tan β＝tan α.
特别地，角π+α与角α的终边关于原点O对称，则有公式三
sin（π+α）＝-sin α，
cos（π+α）＝-cos α，
tan（π+α）＝tan α.
新知学习
诱导公式四
角α与π-α的三角函数间的关系
若角α的终边与角β的终边关于y轴对称（图）.
同理可得
sin β＝sin α，cos β＝-cos α，tan β＝-tan α.
特别地，角π-α与角α的终边关于y轴对称，则有公式四
sin（π-α）＝sin α，
cos（π-α）＝-cos α，
tan（π-α）＝-tan α.
总结
【问题1】公式二、公式三、公式四间的关系
【答】
【问题2】关于“函数名不变，符号看象限”的理解.
【答】①“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；
②“符号看象限”是指把原角看成锐角时新角在原函数下的符号，由
新角所在象限确定符号.如sin(α+π)，若把α看成锐角，则π+α在
第三象限，所以取负值，故sin(α+π)=-sinα
诱导公式一~四的应用
【例1】利用公式求下列三角函数的值.
【解】





方法归纳
【利用诱导公式一~四把任意角的三角函数转化成锐角的三角函数的步骤】
任意负角的
三角函数
用公式一
或公式二
任意正角的
三角函数
0~2π的角
的三角函数
用公式三
或公式四
锐角的
三角函数
用公式一
利用诱导公式化简的一般思路：
【例2】化简
【解】因为





所以原式=

诱导公式一~四的应用
填表：

















即时巩固
诱导公式五
公式五
诱导公式六
总结
诱导公式有什么用？
公式一、二、三、四、五、六都叫作三角函数的诱导公式.
诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系.换句话说，诱导公式实质是将终边对称的图形关系“翻译”成三角函数之间的代数关系.
诱导公式的横向对比







诱导公式的横向对比
【1】诱导公式都是α的三角函数与 的三角函数之间的转化，记忆口诀是：
奇变偶不变，符号看象限

【2】“奇变偶不变”：角α前面的是 ，如果 是 的奇数倍，那么得到的
三角函数名要发生变化，即正弦变余弦，余弦变正弦；如果 是 的偶数倍，
那么得到的三角函数名不变化

【3】“符号看象限”：将角α看成一个锐角(为了判断符号，实际α可以不是锐角)，
此时判断 所在的象限，并观察原三角函数对这个角运算得到的符号
是正还是负.
【4】这些规律对任何三角函数(只要存在，有意义)都成立



【例1】证明：
【证明】




即时巩固
【例2】已知 ，且 ，求 的值.
【分析】注意到(53°-α)+(37°+α)=90°，如果设β= 53°-α，γ= 37°+α，那
么β+γ=90°，所以可以利用诱导公式.


【解】设β= 53°-α，γ= 37°+α，则β+γ=90°，γ=90°-β.
所以sinγ=sin(90°-β)=cosβ
因为-270°＜α＜-90°，所以143°＜β＜323°
由 ，得143°＜β＜180°

所以

所以

即时巩固
随堂小测
1.已知tan α＝4，则tan(π－α)等于
A.π－4 B.4 C.－4 D.4－π
解析　tan(π－α)＝－tan α＝－4.
解析　sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)
3利用诱导公式化简：
sin(π－x)＝________，sin(π＋x)＝________.
sin x　 －sin x
5.已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为______.
解析　tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan(180°＋60°)
课堂小结
1.明确各诱导公式的作用
2.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.
3.已知角求值问题，一般要利用诱导公式一和公式二，将负角化为正角，将大角化为0～2π之间的角，然后利用特殊角的三角函数求解.必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”

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