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5.3
三角函数的图象与性质
第五章
5.3.2 正切函数的图象与性质
学习目标
1.借助图象理解正切函数在区间 内的性质.
2.能画出y＝tan x的图象.
3.会用正切函数的性质解决有关问题.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象
新知学习
正切函数的图象与性质
【思考】根据研究正弦函数和余弦函数的经验，你认为应该如何研究正切函数的
图象和性质？能用不同的方法研究正切函数吗？
【解答】应先作出正切函数的图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，
再从代数的角度对性质作出严格表述.
新知学习
图1
图2
正切函数的图象与性质
正切函数的图象与性质
正切函数无减区间，只有增区间，并且每个区间均为开区间，不能写成闭区间
【问】你能证明正切函数的周期性吗？
【答】①当k是偶数时，

②当k是奇数时，

综上，有

由周期函数的定义可知，正切函数的周求是 是它的最小正周期.
【再问】这有什么用？
【再答】可以先研究正切函数在 之间的图象和性质，再加以拓展.

正切函数的图象与性质
【问】正切函数的图象有怎样的特征？
【答】①图象关于原点对称
②图象在 轴上方的部分下凹；在 轴下方的部分上凸.
②图象被相互平行的直线 隔开，图象无限
接近这些直线，但永不相交。


正切函数的图象与性质
【单调性】观察正切曲线可知，正切函数在区间 上单调递增；
由周期性可知，正切函数在每个区间 上都单调递增
【问】由正切函数是奇函数，可以得到它的图象关于原点对称。结合图象，还能
发现其它的对称中心吗？有对称轴吗？
【答】正切函数的图象有无数个对称中心，包括图象与横轴的交点和渐近线与
横轴的交点。
正切函数不是轴对称图形，没有对称轴.
正切函数的图象与性质
【1】求函数 的定义域和周期.

【解】自变量 的取值满足条件
所以函数的定义域是
设 ，又 ，所以
即

因为 都有


所以，函数的周期为2
即时巩固
【2】观察正切曲线，直接写出满足下列条件的 的范围.
【解】


即时巩固
【3】求下列函数的周期.
【解】

所以函数 的周期为 .


所以函数 的周期为 .

即时巩固
【4】若 在 内为减函数，则（ ）
【解】由题意有 ，且 ，所以


答案选择C
即时巩固
随堂小测
√
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数
√
√
4.将tan 1，tan 2，tan 3按大小顺序排列为_ _____________.(用“<”连接)
tan 2(－∞，－1]∪[1，＋∞)
课堂小结

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