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(共57张PPT)
湘教版 数学 必修第一 册
课 标 要 求
1.理解并掌握同角三角函数的基本关系式sin2α+cos2α=1, =tan α.
2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明.
基础落实·必备知识一遍过
知识点　同角三角函数的基本关系
1.平方关系
(1)公式:sin2α+cos2α=1;
(2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.
2.商数关系
(1)公式: =tan α,cos α≠0;
(2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.
名师点睛
1.基本关系成立的前提是“同角”,它揭示了同角而不同名的三角函数关系,公式中的角可以是具体的数值,也可以是变量,可以是单项式表示的角,也可以是多项式表示的角.
3.sin2α是(sin α)2的简写,读作“sin α的平方”,不能将sin2α写成sin α2,前者是α的正弦的平方,后者是α2的正弦,两者是不同的.
过关自诊
1.sin22 024°+cos22 024°=(　　)
A.0 B.1
C.2 024 D.2 024°
B
解析 由平方关系知sin22 024°+cos22 024°=1.
2.若sin θ+cos θ=0,则tan θ=　　　　　.
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重难探究·能力素养速提升
探究点一 利用同角三角函数关系求值
1.已知某个三角函数值,求其余三角函数值
规律方法　1.已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤
第一步:由已知三角函数的符号,确定其角终边所在的象限;
第二步:依据角的终边所在象限分类讨论;
第三步:利用同角三角函数关系及其变形公式,求出其余三角函数值.
2.利用同角三角函数关系式求值时要注意常见“勾股数”的应用,即(3,4,5),(6,8,10),(5,12,13).
2.已知tan α,求关于sin α和cos α齐次式的值
【例2】 已知tan α=2,则
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1
规律方法　已知tan α,求关于sin α和cos α齐次式的值的基本方法
3.利用sin α+cos α,sin α-cos α与sin αcos α 之间的关系求值
【例3】 已知sin α+cos α= ,α∈(0,π),求tan α的值.
规律方法　1.由(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α可知如果已知sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三个式子中任何一个的值,那么就可以利用平方关系求出其余的两个.
2.sin θ±cos θ的符号的判定方法
(1)sin θ-cos θ的符号的判定方法:
由三角函数的定义知,当θ的终边
落在直线y=x上时,sin θ=cos θ,
即sin θ-cos θ=0;当θ的终边落在
直线y=x的上半平面区域内时,sin θ>cos θ,即sin θ-cos θ>0;当θ的终边落在直线y=x的下半平面区域内时,sin θ(2)sin θ+cos θ的符号的判定方法:由三角函数的定义知,当θ的终边落在直线y=-x上时,sin θ=-cos θ,即sin θ+cos θ=0;当θ的终边落在直线y=-x的上半平面区域内时,sin θ>-cos θ,即sin θ+cos θ>0;当θ的终边落在直线y=-x的下半平面区域内时,sin θ<-cos θ,即sin θ+cos θ<0.如图2所示.
变式训练1
C
D
探究点二 应用同角三角函数关系式化简
【例4】 化简下列各式:
规律方法　三角函数式的化简过程中常用的方法
(1)化切为弦,即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.
(2)对于含有根号的,常把根号下式子化成完全平方式,去根号,达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
变式训练2
探究点三 应用同角三角函数关系式证明恒等式
1.一般恒等式的证明
规律方法　三角恒等式的证明方法非常多,其主要方法有:
(1)从左向右推导或从右向左推导,一般由繁到简;
(2)左右归一,即证明左右两边都等于同一个式子;
(3)化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除差异;
变式训练3
2.给出限制条件的恒等式证明问题
【例6】 已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.
规律方法　含有条件的三角恒等式的证明的基本方法同前面,但应注意条件的利用,常用方法有:①直推法:从条件直推到结论;②代入法:将条件代入到结论中,转化为三角恒等式的证明;③换元法.
变式训练4
学以致用·随堂检测促达标
A 级 必备知识基础练
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A.tan α<0 B.sin αcos α>0
C.sin2α>cos2α D.tan2α<1
AC
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5.(多选题)若α是第二象限角,则下列各式中成立的是(　　)
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因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,
所以原式=sin α-cos α,所以B正确;
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B 级 关键能力提升练
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10.(多选题)以下各式化简结果为sin α的有(　　)
A.cos αtan α
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13.[2024甘肃兰州西北师大附中高一校考期末]回答下列两题.
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14.已知sin θ+cos θ= ,其中θ是△ABC的一个内角.
(1)求sin θcos θ的值;
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形.
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C 级 学科素养创新练
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