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湘教版 数学 必修第一 册
课 标 要 求
1.理解并掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切函数)的定义.
2.已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值.
3.理解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.
4.能利用三角函数线的定义,理解正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.
5.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点一　三角函数的概念
1.概念
前
提 如图,设α是一个任意角,在角α的终边OM上任取
不同于原点O的点P,利用点P的坐标(x,y)定义
定
义 正弦 　　　　　　　,其中r=
余弦 　　　　　　　,其中r=
正切 　　　　　　
2.三角函数的解析式和定义域
三角函数 解析式 定义域
正弦函数 y=sin α 　　
余弦函数 y=cos α 　 　
正切函数 y=tan α
R
R
过关自诊
B
2.(多选题)若角α的终边过点(0,1),则下列说法正确的是(　　)
A.sin α=-1
B.cos α=0
C.tan α不存在
D.cos α=1
3.三角函数值的大小与点P在角α终边上位置是否有关
提示 三角函数值是比值,是一个实数,它的大小与点P在终边上的位置无关,只与角α的终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关.
BC
知识点二　三角函数线的概念
前
提 设单位圆的圆心为直角坐标系
的原点O,角α的终边与单位圆交
于点P,过点P作x轴的垂线,垂足
为D,过点A(1,0)作单位圆的切线
x=1,如果tan α存在,设该切线与
角α的终边(当α为第一、四象限
角时)或其反向延长线(当α为第
二、三象限角时)相交于点T(1,y1)
定
义 正弦线 有向线段DP称为角α的正弦线,DP=y=sin α
余弦线 有向线段OD称为角α的余弦线,OD=x=cos α
定
义 正切线 有向线段AT称为角α的正切线,AT= =tan α
三角函数线 正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线
过关自诊
1.如果角α的终边落在坐标轴上,你能否发现其正弦线、余弦线的变化特点
提示 当角α的终边在x轴上时,点P与点D重合,这时正弦线变成了一点,它的数量为零,而余弦线的数量OD=1或-1.
当角α的终边在y轴上时,余弦线变成了一点,它的数量为零,而正弦线的数量DP=1或-1.
2.如何根据三角函数线确定三角函数值
提示 三角函数线与坐标轴正方向同向则三角函数为正值,反向则三角函数为负值,而三角函数的绝对值等于三角函数线的长度.
知识点三　三角函数值的符号
sin α,cos α,tan α在各个象限的符号.
角的终边在坐标轴上时不适合,要利用定义求值
名师点睛
1.正弦值的符号取决于纵坐标y的符号,它在x轴上方为正,下方为负;余弦值的符号取决于横坐标x的符号,在y轴右侧为正,左侧为负;正切值符号取决于横、纵坐标符号,同号为正,异号为负.
2.三角函数值符号的口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.
过关自诊
在单位圆中,确定下列三角函数值的符号:
重难探究·能力素养速提升
探究点一 利用三角函数的定义求三角函数值
【例1】 (1)已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0),且cos θ= x,
求sin θ+tan θ.
变式探究1
将本例(2)的条件“ x+y=0(x<0)”改为“y=2x”,其他条件不变,结果又如何
变式探究2
将本例(2)的条件“落在直线 x+y=0上”改为“过点P(-3a,4a)(a≠0)”,
求2sin α+cos α.
规律方法　1.已知角α的终边在直线上时,常用的解题方法有以下两种:
(1)在α的终边上任选特殊点的坐标,求出点到原点的距离后利用定义求三角函数值;
(2)在α的终边上任选一点P(x,y),P到原点的距离为r(r>0),
2.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,一定注意对字母正、负的辨别,若正、负未定,则需分类讨论.
探究点二 三角函数值符号的运用
1.根据角的象限确定三角函数值的符号
【例2】 判断下列各式的符号:
(1)sin 105°cos 230°;
解 ∵105°,230°分别为第二、第三象限角,
∴sin 105°>0,cos 230°<0.于是sin 105°cos 230°<0.
规律方法　根据确定的角判断其相应三角函数值的符号,首先利用终边相同的角将所给角转化为[0,2π)内的角,判断其所在象限后,结合三角函数特征确定符号.
2.根据三角函数值的符号确定角所在的象限
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
C
解析 由sin αtan α<0可知sin α,tan α异号,从而α为第二、第三象限角.
从而α为第三、第四象限角.综上可知,α为第三象限角,故选C.
规律方法　根据三角函数值的符号确定角所在的象限,应分别根据三角函数值的符号确定所在象限后取交集.
3.含绝对值的三角函数值域
A.3 B.-3
C.1 D.-1
BC
规律方法　涉及三角函数的绝对值问题,求解时要根据角所在的象限,去掉绝对值号分类讨论.
变式训练1
(1)若角θ满足sin θ<0,tan θ<0,则角θ是(　　)
A.第三象限角
B.第四象限角
C.第三象限角或第四象限角
D.第二象限角或第四象限角
B
解析 sin θ<0时,角θ可以是第三、四象限角,或终边在y轴负半轴上;
又tan θ<0时,角θ可以是第二、四象限角,因此角θ是第四象限角.故选B.
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
C
(3)判断下列各式的符号:
①sin 105°·cos 230°;
解 105°,230°分别为第二、第三象限角,
所以sin 105°>0,cos 230°<0,
所以sin 105°·cos 230°<0.
探究点三 利用三角函数线定义求三角函数值
【例5】 作出 的正弦线、余弦线和正切线,并利用三角函数线求出它们的正弦、余弦和正切.
规律方法　1.作正弦线、余弦线的步骤:
(1)在坐标系中,作角α的终边与单位圆交点P;
(2)过点P作x轴的垂线,设垂足为D,得正弦线DP、余弦线OD.
2.作正切线的步骤:
过点A(1,0)作单位圆的切线,与角α的终边或其反向延长线的交点设为T,得角的正切线AT.
变式训练2
分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线,并求出它们的正弦、余弦和正切.
(1)
(2)
探究点四 利用三角函数线比较三角函数值的大小
规律方法　利用三角函数线比较三角函数值的大小时,一般分三步:①准确作出角的终边与单位圆的交点并作出相应的三角函数线;②比较三角函数线的长度;③确定有向线段的正负.
变式训练3
(1)若a=sin 2,b=cos 2,则a,b的大小关系为(　　)
A.aC.a=b D.不能确定
B
解析 因为 <2<π,作出2弧度角的正弦线、余弦线如图所示分别为DP,OD.
易知DP>0,OD<0,因此sin 2>cos 2.
(2)sin 4,cos 4,tan 4的大小关系是(　　)
A.sin 4C.cos 4D
探究点五 利用三角函数线解三角不等式
【例7】 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合.
规律方法　利用三角函数线解简单不等式的方法
利用三角函数线求解不等式,通常采用数形结合的方法,求解关键是恰当地寻求点,一般来说,对于sin x≥b,cos x≥a(或sin x≤b,cos x≤a),只需作直线y=b,x=a与单位圆相交,连接原点和交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的x的范围;对于tan x≥c(或tan x≤c),则取点(1,c),连接该点和原点即得角的终边所在的位置,并反向延长,结合图象可得.
变式训练4
用三角函数线写出满足下列条件的角x的集合.
学以致用·随堂检测促达标
A 级 必备知识基础练
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3.若角α的终边经过点P(-1,-1),则(　　)
A
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4.已知点P(tan α,sin α)在第三象限,则角α的终边在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
D
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5.用三角函数线比较sin 50°和cos 50°的大小,正确的结果为(　　)
A.sin 50°>cos 50° B.sin 50°C.sin 50°=cos 50° D.sin 50°和cos 50°无法比较
A
解析 如图所示,50°角的正弦线为DP,余弦线为OD,△POD中,
∠POD=50°,根据大角对大边知,DP>OD,即sin 50°>cos 50°.故选A.
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6.已知角α的正切线是单位长度的有向线段,那么角α的终边(　　)
A.在x轴上
B.在y轴上
C.在直线y=x上
D.在直线y=x,或y=-x上
D
解析 由题意可知,|AT|=1,
∴AT=±1.则tan α=±1,角α的终边在直线y=±x上,故选D.
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A.正弦线 B.余弦线
C.正切线 D.不能确定
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8.(多选题)下列说法中正确的是(　　)
A.α一定时,单位圆中的正弦线一定
B.单位圆中,有相同正弦线的角相等
C.α和α+π有相同的正切线
D.具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上
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9.已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4,3)是角θ终边上一点,则sin θ=　　　　　　.
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10.在平面直角坐标系中,角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(- ,-1),则tan α=　　　　;cos α-sin α=　　　　　.
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B 级 关键能力提升练
12.在△ABC中,若sin Acos Btan C<0,则△ABC是(　　)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
C
解析 因为sin A>0,所以cos B,tan C中一定有一个小于0,即B,C中一定有一个钝角,故△ABC是钝角三角形.
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14.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-2,3] B.(-2,3)
C.[-2,3) D.[-2,3]
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15.(多选题)下列三角函数值的符号判断正确的是(　 　)
A.sin 165°>0 B.cos 280°>0
C.tan 170°>0 D.tan 310°<0
ABD
解析 165°是第二象限角,因此sin 165°>0,A正确;280°是第四象限角,
因此cos 280°>0,B正确;170°是第二象限角,因此tan 170°<0,故C错误;
310°是第四象限角,因此tan 310°<0,D正确.
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16.已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等,则α的终边在(　　)
A.第一象限的角平分线上
B.第四象限的角平分线上
C.第二、第四象限的角平分线上
D.第一、第三象限的角平分线上
C
解析 若角α的终边在直线y=-x上,则角α的正弦线、余弦线长度相同,方向相反.∴α的终边在第二、第四象限的角平分线上,故选C.
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A.sin θ>cos θ>tan θ
B.cos θ>tan θ>sin θ
C.sin θ>tan θ>cos θ
D.tan θ>sin θ>cos θ
D
解析 角θ在第一、三象限角分线的上方,
作出角θ的正弦线DP,余弦线OD,正切线AT,
由图可知tan θ>sin θ>cos θ,选D.
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C 级 学科素养创新练
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