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5.3
三角函数的图象与性质
第五章
5.3.1 正弦函数、余弦函数的图象与性质
学习目标
1.理解正弦函数、余弦函数图象的画法.
2.借助图象变换，了解函数之间的内在联系.
3.通过三角函数图象的三种画法（描点法、几何法、五点法），体会用“五点法”作图给我们的学习带来的好处，并会熟练地画出一些较简单的函数的图象.
4.借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质（如：周期性、奇偶性、单调性、最值等）.
5.运用整体代换的思想，令ωx+φ＝t，借助y＝sin t，y＝cos t的性质研究函数y＝sin（ωx+φ），y＝cos（ωx+φ）的性质.
核心素养：数学抽象、直观想象、
新知学习
正弦函数的图象
【探究】首先我们研究 的图像，从画函数
开始.如图，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆， O 与 轴正


半轴的交点为A(1,0)，在单位圆上讲点A绕着点O旋转 弧度到点B，根据定义有
点B的纵坐标 .由此，以 为横坐标， 为纵坐标化点，即得到函数图像上的点
【探究】若把 轴上 这一段分成12等份，让 的值分别为 … ，
它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按刚才画点

的方法，就可以画出自变量取这些值时，图像上对应函数值的点.
利用信息技术取到足够多的点，再将这些点用光滑的曲线连起来，就可以得到
比较精确的函数 的图像.

正弦函数的图象
【探究】由诱导公式一 可知，每经过 个单位长度，函
数 会重复出现，所以只需将 内的函数图像不段复制平移
即可得到 的图像(几何画法).
几何画法的步骤：
建系画图
12等分圆
找横坐标
连线得图
找纵坐标
左右平移
正弦函数的图象
五点画图法
【问题】在确定正弦函数的图像形状时，有哪些关键的点？
【答】观察图像可知，处于函数连接处和转折处的五个点起关键作用.

在非精确作图时，一般选取这五个点快速画出正弦函数的图像来解决问题.
五点画图法
【三种作图法的比较】
描点法
几何法
五点法
列表→描点→连线
利用单位圆在[0，2π]上取足够多的点连线
描最高点最低点,图像和坐标轴的三个交点
只能取近似值，误差较大
较为精确，但步骤繁琐
实用，高效
余弦函数的图象
【分析】对于函数 ，由诱导公式 ，得到

，而函数 的图像可以通过正弦

函数 的图像向左平移 个单位长度得到.所以，将正弦函数的图像向
左平移 个单位长度，就得到余弦函数的图像，如图.

余弦函数 的图像叫做余弦曲线，它和正弦曲线有相同形状
“波浪起伏”的连续光滑曲线.


【1】画出函数的简图：

【解】如图：
即时巩固
【2】画出函数的简图：
【解】如图：

即时巩固
【3】思考函数 和函数 的关系,并画出函数 的图像.
【解】
把函数 图像在 轴下方的部分翻折到 轴上方，加上原来上方的部分就可以得到函数 的图像(蓝色部分)，如图.
即时巩固
总结
【平移】
【对称】
左加右减，
上加下减.
新知学习
正弦函数、余弦函数的性质
【导学1】一般的函数图像都有哪些性质可以研究？
【解答】周期性、单调性、奇偶性、最值(极值)等等
【1】周期性：观察正弦函数的图像，可以发现，x在图像上，横坐标每隔2π个单位
长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律.实际上，这一点既可以从定义中看出，也能从诱导公式中得到反映.即自变量x 的值加上2π的整数倍时所对应的函数值，与x所对应的函数值相等.数学上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律.
【导学2】正弦函数 和余弦函数 的定义域和值域是什么？
【解答】定义域都是R，值域都是[-1，1]
周期函数的周期不止一个.例如2π，4π，6π以及-2π，-4π，-6π等.都是正弦
函数的周期.
如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数
就叫做f（x）的最小正周期.
根据上述定义，有如下结论：
【1】正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的的周期，最小正周期是2π
【2】余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的的周期，最小正周期是2π
周期性
【周期函数的理解】
（1）不是所有的函数都是周期函数.如y＝x，x2等都不是周期函数.
（2）一个周期函数的周期不只一个，若有最小正周期，则最小正周期只有一个.本书所涉及的周期，如果没有特殊说明，均指最小正周期.
（3）若T是函数f（x）的一个周期，则kT（k∈N*）也是函数f（x）的周期.
（4）周期函数的定义域一定是无限集.
（5）不是所有的周期函数都存在最小正周期.如：常函数f（x）＝C（C为常数），x∈R是周期函数，但没有最小正周期.当x为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对于函数f（x）的定义域内的每个值x，T为任意不为零的常数，都有f（x+T）＝C，因此f（x）是周期函数.由于T可以是任意不为零的常数，所以f（x）没有最小正周期.
周期性
思 考
求下列函数的周期：
【解】
即时巩固
值域与最值
奇偶性
【探究】观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线
关于y轴对称.所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
【注意】①判断函数的奇偶性时，一定要先判断函数的定义域是否关于原点对称，
只要定义域不关于原点对称，那么这个函数肯定不具备奇偶性.
②由奇偶性我们知道正弦曲线关于原点(0,0)对称，余弦曲线关于y轴(x=0)
对称.
③正弦曲线和余弦曲线即是中心对称图形，又是轴对称图形.
下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？
【解】(1)奇函数
(2)偶函数
(3)奇函数
(4)奇函数
即时巩固
单调性
【探究】由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期的区间里如
讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域.
如图可以看到：当 由 增大到
时，曲线逐渐上升， 的值由1减小
到-1. 的值变化情况如图所示：
这也就是说，正弦函数 在区间 上单调递增，在区间
上单调递减.
单调性
正弦函数在每一个闭区间 上都单调递增，其值从-1增
大到1；在每一个闭区间 上都单调递减，其值从1减小到-1.
由上述结果结合正弦函数的周期性我们可以知道：
单调性
余弦函数在每一个闭区间 上都单调递增，其值从-1增大到1；
在每一个闭区间 上都单调递减，其值从1减小到-1.
同样的道理结合余弦函数的周期性我们可以知道：
最大值与最小值
【整理】从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到：
①正弦函数当且仅当 时取得最大值1，
当且仅当 时取得最小值-1；
②余弦函数当且仅当 时取得最大值1，
当且仅当 时取得最小值-1；
【拓展】①正弦、余弦函数图像上最大值处一般称为波峰，最小值处称为波谷.
②正弦函数和余弦函数都不是定义域上的单调函数.
③正弦函数和余弦函数的图像既是轴对称图形也是中心对称图形.
R
R
[-1，1]
[-1，1]
最小正周期为2π
最小正周期为2π
奇函数
偶函数
【正弦函数和余弦函数的性质对比】
随堂小测
1.用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是
3.设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0)，则f(x)的奇偶性
A.与ω有关，且与φ有关 B.与ω有关，但与φ无关
C.与ω无关，且与φ无关 D.与ω无关，但与φ有关
解析　因为当φ＝kπ，k∈Z时，函数f(x)＝cos(ωx＋φ)＝±cos ωx，为偶函数；
所以f(x)的奇偶性与ω无关，但与φ有关.
＝±sin ωx，为奇函数.
解析　由y＝sin x在[0,2π]上的图象作关于x轴的对称图形，应为D项.
2.下列图象中，y＝－sin x在[0,2π]上的图象是
A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数
∴f (x)＝－cos 2x.
又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.
±π
6.函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________.
(－π，0]
解析　因为y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π故a∈(－π，0].
5.
课堂小结
1.对“五点法”画正弦函数图象的理解
(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图.
(2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点.
2.作函数y＝asin x＋b的图象的步骤：
3.用“五点法”画的正弦型函数在一个周期[0，2π]内的图象，如果要画出在其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出.
4.求函数的最小正周期的常用方法：
(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.
(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sin x|.
(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝ .
5.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性.
6.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的方法
7.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.
8.求三角函数值域或最值的常用方法
将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.

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